C*-algèbre

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En mathématiques, une C*-algèbre (complexe) est une algèbre de Banach involutive, c’est-à-dire un espace vectoriel normé complet sur le corps des complexes, muni d'une involution notée *, et d'une structure d'algèbre complexe. Elle est également nommée algèbre stellaire. Les C*-algèbres sont des outils importants de la géométrie non commutative. Cette notion a été formalisée en 1943 par Israel Gelfand et Irving Segal (en).

Les algèbres stellaires sont centrales dans l'étude des représentations unitaires de groupes localement compacts.

Définition[modifier | modifier le code]

Une algèbre stellaire A est une algèbre de Banach complexe

  • munie d'une involution
     *:A\rightarrow A:x\mapsto x^*
     (x + \lambda y)^* = x^* + \bar\lambda y^*   ;   (xy)^* = y^* x^*  ;  (x^*)^* = x
    pour tous x, y dans A et tout complexe λ
  • telle que la norme et l'involution sont liées par
     \|xx^*\|=\|x\|^2
    pour tout x dans A.

Par la seconde condition, \|xx^*\|=\|x\|^2\leq \|x\| \|x^*\| et donc, par symétrie, on obtient :

  \|x \| = \|x^*\| .

Un *-homomorphisme est un morphisme d'algèbres involutives. Il vérifie en particulier

f(x^*)=f(x)^*.

Cette définition — pourtant purement algébrique — implique que f est automatiquement continu, et même 1-lipschitzien[1] : voir plus loin. Si f est injectif alors c'est une isométrie. Si f est bijectif, son inverse est un *-homomorphisme ; auquel cas, f est appelé *-isomorphisme.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Si X est un espace localement compact, l'algèbre involutive C0(X) des fonctions continues de X dans ℂ qui tendent vers zéro à l'infini, munie de la norme de convergence uniforme, est une C*-algèbre commutative. Lorsque X est compact, C0(X) est donc simplement l'algèbre (unitaire) des fonctions continues de X dans ℂ. Lorsque X n'est pas compact, C0(X) n'a pas d'unité mais seulement une unité approchée, dont l'existence résulte du théorème de Tietze-Urysohn.
  • Si H désigne un espace de Hilbert, toute sous-algèbre fermée pour la norme d'opérateurs de l'algèbre des opérateurs bornés sur H est une C*-algèbre, a priori non commutative.

Spectre des éléments d'une C*-algèbre[modifier | modifier le code]

Tout comme pour les opérateurs dans un espace de Hilbert, on peut définir le spectre des éléments d'une C*-algèbre. Le spectre de x est l'ensemble de ses valeurs spectrales :

\sigma(x)=\{\lambda\in\C\mid x - \lambda 1~\text{n'est pas inversible}\}.

Cette définition suppose que l'algèbre contenant x ait une unité. Cependant, si ce n'est pas le cas, on peut toujours définir le spectre en adjoignant une unité à l'algèbre.

Pour tout élément x normal dans une C*-algèbre (à la différence des *-algèbres de Banach), la norme de x est égale à son rayon spectral :

\|x\|=\sup\{|\lambda|\mid\lambda\in\sigma (x)\}.

Ceci s'applique en particulier pour tout x autoadjoint (en), par exemple pour x = yy*, dont la norme est le carré de celle de y. Ainsi la structure algébrique détermine la norme (et donc la topologie). C'est cette propriété qui fait que les *-morphismes (resp. injectifs) sont automatiquement continus (resp. isométriques).

Classification des C*-algèbres commutatives[modifier | modifier le code]

Une C*-algèbre commutative A est isométriquement isomorphe à C0(X) où X est localement compact, et même compact si A a une unité. L'isomorphisme est construit via la transformée de Gelfand, et passe par l'étude des caractères de l'algèbre A.

Le calcul fonctionnel continu[modifier | modifier le code]

Si x est un élément normal d'une C*-algèbre A (c’est-à-dire commutant à son adjoint), alors il existe un *-isomorphisme isométrique entre l'algèbre des fonctions continues sur le spectre de x et la sous-C*-algèbre de A engendrée par x et 1. Autrement dit, pour tout f continue sur σ(x), on peut définir f(x) de manière unique, comme un élément de A. Ce calcul fonctionnel prolonge le calcul fonctionnel polynomial, et σ(f(x)) = f(σ(x)) (théorème spectral).

La construction GNS[modifier | modifier le code]

On doit à Gelfand, Naimark et Segal la construction (en) d'un isomorphisme isométrique (ou représentation fidèle) entre toute C*-algèbre, et une sous-algèbre fermée de l'algèbre des opérateurs sur un certain espace de Hilbert (que l'on construit en même temps que l'isomorphisme). La théorie des C*algèbres peut donc se ramener à la théorie des opérateurs sur les espaces de Hilbert.

Remarques[modifier | modifier le code]

Le fait que les C*-algèbres commutatives sont des algèbres de fonctions permet de penser la théorie des C*-algèbres comme une théorie des fonctions non commutatives. Mais comme l'étude des fonctions continues sur un espace compact est équivalente à l'étude de la topologie de cet espace (par théorème de Banach-Stone), on donne plus volontiers à l'étude des C*-algèbres le nom de topologie non commutative (en).

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1964, rééd. J. Gabay, 1996 (ISBN 978-2-87647-013-2), p. 7.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]