C*-algèbre

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En mathématiques, une C*-algèbre (complexe) est une algèbre de Banach involutive, c’est-à-dire un espace vectoriel normé complet sur le corps des complexes, muni d'une involution notée $*$, et d'une structure d'algèbre complexe. Elle est également nommée algèbre stellaire. Les C*-algèbres sont des outils importants de la géométrie non commutative. Cette notion a été formalisée en 1943 par Israel Gelfand et Irving Segal (en).

Les algèbres stellaires sont centrales dans l'étude des représentations unitaires de groupes localement compacts.

Définition

Une algèbre stellaire A est une algèbre de Banach complexe

• munie d'une involution $*:A\rightarrow A:x\mapsto x^*$ $(x + \lambda y)^* = x^* + \bar\lambda y^*  ; (xy)^* = y^* x^*  ; (x^*)^* = x$ pour tout x, y dans A, et $\lambda$ nombre complexe
• telle que la norme et l'involution sont liées par $\|xx^*\|=\|x\|^2$ pour tout x dans A.

Par la seconde condition, $\|xx^*\|=\|x\|^2\leq \|x\| \|x^*\|$ et donc, par symétrie, on obtient :

$\|x \| = \|x^*\| .$

Un *-homomorphisme est un morphisme d'algèbres involutives. Il vérifie donc

$f(x^*)=f(x)^*.$

Cette condition implique que $f$ est 1-lipschitzienne (et donc continue). Si $f$ est injective alors c'est une isométrie. Si $f$ est bijective, son inverse est un *-homomorphisme ; auquel cas, f est appelée *-isomorphisme.

Exemples

• Si $X$ est un espace localement compact, l'algèbre involutive $C_0 (X)$ des fonctions continues de $X$ dans ℂ qui tendent vers zéro à l'infini, munie de la norme de convergence uniforme, est une C*-algèbre commutative. Lorsque $X$ est compact, $C_0 (X)$ est donc simplement l'algèbre (unitaire) des fonctions continues de $X$ dans ℂ. Lorsque $X$ n'est pas compact $C_0 (X)$ n'a pas d'unité mais seulement une unité approchée, dont l'existence résulte du théorème de Tietze-Urysohn.
• Si $H$ désigne un espace de Hilbert, toute sous-algèbre fermée pour la norme d'opérateurs de l'algèbre des opérateurs bornés sur $H$ est une C*-algèbre, a priori non commutative.

Spectre des éléments d'une C*-algèbre

Tout comme pour les opérateurs dans un espace de Hilbert, on peut définir le spectre des éléments d'une C*-algèbre. Le spectre de $x$ est l'ensemble de ses valeurs spectrales :

$\sigma(x)=\{\lambda\in\C~|~x - \lambda 1~\text{n'est pas inversible}\}$.

Cette définition suppose que l'algèbre contenant $x$ ait une unité. Cependant, si ce n'est pas le cas, on peut toujours définir le spectre en adjoignant une unité à l'algèbre.

Pour tout élément $x$ normal dans une C*-algèbre (à la différence des *-algèbres de Banach), la norme de $x$ est égale à son rayon spectral :

$||x||=\sup\{|\lambda|~|~\lambda\in\sigma (x)\}.$

Ceci s'applique en particulier pour tout x autoadjoint, par exemple pour x=yy*, dont la norme est le carré de celle de y. Ainsi la structure algébrique détermine la norme (et donc la topologie). C'est cette propriété qui fait que les *-morphismes (resp.injectifs) sont automatiquement continus (resp. isométriques).

Classification des C*-algèbres commutatives

Une C*-algèbre commutative $A$ est isométriquement isomorphe à $C_0 (X)$ où $X$ est localement compact, et même compact si $A$ a une unité. L'isomorphisme est construit via la transformée de Gelfand, et passe par l'étude des caractères de l'algèbre $A$.

Le calcul fonctionnel continu

Si $x$ est un élément normal d'une C*-algèbre $A$ (c’est-à-dire commutant à son adjoint), alors il existe un *-isomorphisme isométrique entre l'algèbre des fonctions continues sur le spectre de $x$ et la sous-C*-algèbre de $A$ engendrée par $x$ et 1. Autrement dit, pour tout $f$ continue sur $\sigma (x)$, on peut définir $f(x)$ de manière unique, comme un élément de $A$. Ce calcul fonctionnel prolonge le calcul fonctionnel polynomial, et $\sigma (f(x)) = f(\sigma (x))$ (théorème spectral).

La construction GNS

On doit à Gelfand, Naimark et Segal la construction (en) d'un isomorphisme isométrique (ou représentation fidèle) entre toute C*-algèbre, et une sous-algèbre fermée de l'algèbre des opérateurs sur un certain espace de Hilbert (que l'on construit en même temps que l'isomorphisme). La théorie des C*algèbre peut donc se ramener à la théorie des opérateurs sur les espaces de Hilbert.

Remarques

Le fait que les C*-algèbres commutatives sont des algèbres de fonctions permet de penser la théorie des C*-algèbre comme une théorie des fonctions non commutatives. Mais comme l'étude des fonctions continues sur un espace compact est équivalente à l'étude de la topologie de cet espace (par théorème de Banach-Stone), on donne plus volontiers à l'étude des C^*-algèbres le nom de topologie non commutative (en).

Voir aussi

Articles connexes

• Représentation de Gelfand (en)
• Calcul fonctionnel continu (en)
• Spectre d'une C*-algèbre (en)
• C*-algèbre approximativement finie (en)
• Analyse fonctionnelle : L'étude des C*-algèbres, notamment par son aspect spectral, est une branche de l'analyse fonctionnelle.
• Algèbre d'opérateurs : L'étude des C*-algèbres peut se ramener, par la construction GNS, à celle des opérateurs sur un espace de Hilbert.
• K-théorie : Les outils de K-théorie, développés d'abord pour l'étude des fibrés, peuvent être adaptés à l'étude des C*-algèbres. On obtient en quelque sorte une topologie algébrique non commutative.
• Géométrie non commutative : Ce domaine cherche des analogues aux notions de la géométrie différentielle (connexions, cohomologie...) dans le cadre non commutatif des algèbres d'opérateurs.

Liens externes

• (en) Pierre de la Harpe et Vaughan Jones, An introduction to C*-algebras, [lire en ligne]
• (en) William Arveson (en), An Invitation to C*-algebras, Springer, coll. « GTM » (n^o 39), 1976 (ISBN 978-0-387-90176-3) [lire en ligne]