Théorème de Banach-Steinhaus

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Le théorème de Banach-Steinhaus fait partie, au même titre que le théorème de Hahn-Banach et le théorème de Banach-Schauder, des résultats fondamentaux de l'analyse fonctionnelle. Publié initialement par Stefan Banach et Hugo Steinhaus en 1927, il a aussi été prouvé indépendamment par Hans Hahn, et a connu depuis de nombreuses généralisations.

La formulation originelle de ce théorème est la suivante :

Théorème — Une suite d'applications linéaires continues définies sur un espace de Banach est uniformément bornée si et seulement si elle est simplement bornée.

C'est une conséquence très importante de la propriété de Baire.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Sous sa forme la plus générale (d'où les hypothèses inutiles de convexité locale ont été éliminées), le théorème de Banach-Steinhaus s'énonce comme suit[1]:

Théorème —  Soit K le corps des réels ou des complexes et E un espace vectoriel topologique sur K. Les conditions suivantes sont équivalentes : (a) E est tonnelé ; (b) toute partie simplement bornée H de l'ensemble \mathcal{L}\left( E,F\right) des applications linéaires continues de E dans un espace vectoriel topologique arbitraire F sur K est équicontinue ; (c) toute partie simplement bornée H de l'ensemble \mathcal{L}\left( E,F\right) des applications linéaires continues de E dans un espace de Fréchet arbitraire F sur K est équicontinue.

Démontrons que (a) implique (b) dans le cas localement convexe (ce qui est la « forme classique » du théorème de Banach-Steinhaus). Soit donc E et F des espaces localement convexes et p une semi-norme continue sur F. Posons q=\sup\limits_{u\in H}\left( p\circ u\right). Puisque H est simplement bornée, on a q(x) < +\infty pour tout x\in E ; il est clair que q est une semi-norme sur E, semi-continue inférieurement. Comme E est tonnelé, q est une semi-norme continue, donc H est équicontinue.

On notera que la démonstration ci-dessus est fondée, en dernière analyse, sur le théorème de Hahn-Banach et non sur la propriété de Baire. Il existe des espaces tonnelés importants (notamment des limites inductives strictes d'espaces de Fréchet) qui ne sont pas des espaces de Baire, et on peut tout de même utiliser le théorème de Banach-Steinhaus sur ces espaces.

Pour tirer les conséquences pratiques du théorème ci-dessus, le lemme suivant est nécessaire :

Lemme — Soit E et F deux espaces localement convexes, F étant séparé, et H une partie équicontinue de \mathcal{L}(E,F).

(1) Dans H, les structures uniformes suivantes coïncident :
(a) celle de la convergence simple ;
(b) celle de la convergence uniforme dans les parties précompactes de E.
(2) Si un filtre \Phi sur H converge simplement vers une application u_0 de E dans F, alors u_0\in\mathcal{L}(E,F) et \Phi converge uniformément vers u_0 dans toute partie précompacte de E.
(3) Supposons l'ensemble F^E des applications de E dans F muni de la topologie de la convergence simple. Alors l'adhérence \bar H de H dans F^E est contenue dans \mathcal{L}(E,F) et est équicontinue.
(1) et (2) sont des propriétés générales des ensembles uniformément équicontinus d'applications, et (3) en est une conséquence, en utilisant le « principe de prolongement des identités ».

Corollaire —  (Théorème de Banach-Steinhaus) : Soit E un espace localement convexe tonnelé sur K ou le dual d'un espace de Fréchet, et F un espace localement convexe séparé sur K.

(a) Soit \left( u_{n}\right) une suite d'éléments de \mathcal{L}\left( E,F\right), convergeant simplement vers une application u de E dans F. Alors on a u\in \mathcal{L}\left( E,F\right), et \left( u_{n}\right) converge uniformément vers u sur toute partie précompacte de E.

(b) Sous les hypothèses considérées, soit plus généralement Z un espace métrisable, A une partie de Z, z \mapsto u_{z} une application de A dans \mathcal{L}\left( E,F\right) et z_{0} un point adhérent à A dans Z. Si pour tout x \in E, \lim\limits_{z\rightarrow z_{0},z\in A}u_{z}\left( x\right) =v\left(x\right) existe, alors u \in \mathcal{L}\left( E,F\right).

(c) Si E est tonnelé, soit \Phi un filtre sur \mathcal{L}(E,F), contenant une partie simplement bornée ou à base dénombrable, et convergeant simplement vers une application u de E dans F. Alors u \in \mathcal{L}(E,F) et \Phi converge uniformément vers u dans toute partie précompacte de E.


Le principe de condensation des singularités s'énonce comme suit[3],[4]:

Théorème —  Soit E et F deux espaces vectoriels topologiques tels que E est un espace de Baire. Si une partie H de \mathcal{L}\left( E,F\right) n'est pas équicontinue, l'ensemble des x \in E tels que H\left( x\right) n'est pas bornée dans F est le complémentaire d'un ensemble maigre. En conséquence, si \left( H_{n}\right) est une suite de parties de \mathcal{L}\left( E,F\right) dont aucune n'est simplement bornée, l'ensemble des x \in E tels que H_{n}\left( x\right) est non borné dans F pour tout entier n est non maigre.

Voyons maintenant la forme que prend le théorème de Banach-Steinhaus dans le cas où E est un espace de Banach et F est un espace vectoriel normé. On considère une famille (f_i)_{i \in I} d'applications linéaires continues de E dans F. On suppose que cette famille est simplement bornée, c'est-à-dire :

\forall x \in E, \sup_{i \in I} \|f_i(x)\| < + \infty

Alors (f_i)_{i \in I} est uniformément bornée, c'est-à-dire qu'il existe une constante K telle que :

\forall i \in I, \|f_i\| \leq K

\|f_i\| est la norme d'opérateur de f_i.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Voyons une démonstration directe dans le dernier cas considéré ci-dessus. Elle repose sur le fait qu'un espace de Banach est un espace de Baire, c'est-à-dire que toute réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide est d'intérieur vide.

Considérons A_n l'ensemble des éléments de E tels que \forall i \in I, \|f_i(x)\| \leq n.

A_n = \bigcap_{i \in I} \{x \in E : \|f_i(x)\| \leq n\}

A_n est une intersection de fermés, c'est donc un fermé. La famille (f_i)_{i \in I} est simplement bornée, cette hypothèse se traduit par l'égalité ensembliste :

E = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n

Comme E n'est pas d'intérieur vide, il existe n_0 \in \mathbb{N} tel que A_{n_0} ne soit pas d'intérieur vide : il contient une boule fermée de centre a et de rayon  r > 0 .

Prenons un point x de E situé dans la boule unité fermée :

 \forall i \in I, \|f_i(x)\| = \tfrac 1r \|f_i(rx)\| \leq \tfrac 1r \|f_i(a)\| + \tfrac 1r \|f_i(a + rx)\| \leq \frac{n_0}r+\frac{n_0}r

c'est-à-dire : (f_i)_{i \in I} est uniformément bornée (par \tfrac{2n_0}r ).

Principe de condensation des singularités[modifier | modifier le code]

On a en fait démontré le principe de condensation des singularités. Avec les mêmes notations que ci-dessus, l'alternative est :

ou bien \sup_{i \in I} \Vert f_i \Vert <+\infty
ou bien il existe un ensemble résiduel U (c’est-à-dire une intersection dénombrable d'ouverts denses ; une telle partie est dense d'après le théorème de Baire) tel que
 \forall x\in U, \sup_{i \in I}\Vert f_i(x)\Vert=+\infty

En effet, la démonstration précédente montre que, si \sup_{i \in I} \Vert f_i \Vert =+\infty, alors nécessairement, chaque A_n~ est un fermé d'intérieur vide. Il suffit alors de prendre pour U~ le complémentaire de \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n.

Exemples d'applications[modifier | modifier le code]

Application aux sommes de Riemann[modifier | modifier le code]

Article détaillé : somme de Riemann.

Soit E~ l'espace des fonctions continues sur [0,1]~ à valeurs réelles, muni de la norme \| f \|_\infty = \sup_{t \in [0,1]~} |f(t)| , de sorte que E est bien un espace de Banach, et F = \mathbb R. Pour chaque entier n\in\mathbb{N}, soit u_n~ l'opérateur défini par :

u_n(f) = n \int_0^1 f(t) dt - \sum_{k=1}^n f(k/n).

Pour toute fonction f~, {u_n(f) \over n} n'est autre que l'erreur commise dans le calcul de l'intégrale de f~ lorsque l'on prend une somme de Riemann correspondant à une subdivision régulière de [0,1]~ en n~ intervalles égaux. Cette erreur est un O(\tfrac1n) pour les fonctions de classe C^1~ ou lipschitziennes, mais il n'en est pas de même pour les fonctions continues en général. En effet, on montre que  \| u_n \| = 2n , de sorte que  \sup_{n\in \mathbb N} \| u_n \| = + \infty  et donc que le complémentaire de A~ est dense. Une fonction f~ appartenant à ce complémentaire vérifie donc  \sup_{n\in \mathbb N} \|u_n(f)\| = + \infty , ce qui signifie que l'ensemble u_n(f)~ n'est pas borné et donc que l'erreur commise {u_n(f) \over n} n'est pas un O(\tfrac1n).

Le théorème de Banach-Steinhaus donne une preuve de l'existence d'objets vérifiant telle ou telle propriété, mais cette preuve n'est pas constructive.

Application aux séries de Fourier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : noyau de Dirichlet.

Si f est une fonction (disons continue) de période 2\pi\,, on vérifie que la somme partielle n-ième de sa série de Fourier est

S_n(f)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(x-t)dt, avec D_n(t)=\frac{\sin (2n+1)\frac{t}{2}}{\sin\frac{t}{2}} (noyau de Dirichlet)

Pour n fixé, la norme de l'application f\mapsto S_n(f)(x), vue comme forme linéaire sur l'espace des fonctions continues et de période 2\pi, muni de la norme sup, est égale à \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \vert D_n(t)\vert dt

On vérifie que le nombre L_n=\int_{-\pi}^\pi \vert D_n(t)\vert dt appelé constante de Lebesgue, tend vers l'infini comme \log(n).

D'après le théorème de Banach-Steinhaus, il existe donc une fonction f\, telle que \vert S_n(f)(x)\vert tende vers l'infini quand n\, tend vers l'infini. Ainsi, la série de Fourier de f\, diverge en x\,.

Si on utilise la version forte du théorème de Banach-Steinhaus, on voit même que l'ensemble des fonctions continues de période 2\pi\, dont la série de Fourier diverge en x\, est dense pour la topologie de la convergence uniforme.

Cet argument est d'autant plus remarquable qu'il n'est pas très facile de trouver des exemples explicites.

Application aux espaces de Montel[modifier | modifier le code]

Un espace de Montel est tonnelé, et dans un tel espace les parties fermées bornées et les parties compactes coïncident. Le théorème de Banach-Steinhaus, sous sa forme générale, a donc la conséquence suivante :

Théorème —  Soit E^{\prime} le dual d'un espace de Montel E.

(a) Dans E^{\prime}, toute suite faiblement convergente est fortement convergente.

(b) Plus généralement, soit Z un espace métrisable, A une partie de Z, z \mapsto u_{z} une application de A dans E^{\prime} et z_{0} un point adhérent à A dans Z. Si pour tout x \in E, \lim\limits_{z\rightarrow z_{0},z\in A}<u_{z},x> =v(x) existe, alors v \in E^{\prime} et \lim\limits_{z\rightarrow z_{0},z\in A}u_{z} =v dans E^{\prime} fort.

En particulier, soit \mathcal{E}^{\prime}(\Omega) (resp. \mathcal{D}^{\prime}(\Omega)) l'espace des distributions à support compact (resp. l'espace des distributions) sur une variété différentiable paracompacte de dimension finie \Omega (par exemple un ouvert de \R^{n}) ; puisque l'espace \mathcal E(\Omega) (resp. \mathcal D(\Omega)) des fonctions indéfiniment différentiables (resp. des fonctions indéfiniment différentiables à support compact) sur \Omega est un espace de Montel (mais non de Baire !), les suites faiblement convergentes et les suites fortement convergentes dans \mathcal E^{\prime}(\Omega) (resp. \mathcal D^{\prime}(\Omega)) coïncident, ce qui simplifie beaucoup l'étude de la convergence des suites de distributions (la topologie forte des distributions étant une limite projective d'espaces (DF) compliquée). En effet, pour vérifier qu'une suite de distributions (T_{i}) (dans \mathcal{E}^{\prime}(\Omega) ou dans \mathcal{D}^{\prime}(\Omega)) tend vers une limite T, il suffit de vérifier que pour toute fonction test \phi, la suite de nombres complexes (<T_{i},\phi>) tend vers <T,\phi>. Il n'est pas nécessaire, alors, de préciser au sens de quelle topologie (T_{i}) tend vers T.

La même conclusion vaut pour l'espace \mathcal S^{\prime}(\R^{n}) des distributions tempérées sur \R^{n}. En effet, l'espace de Schwartz \mathcal S(\R^{n}) des fonctions déclinantes est un espace de Montel.

Exemples : convergence de suites de distributions[modifier | modifier le code]

Convergence vers la distribution de Dirac[modifier | modifier le code]

Soit T_{i}, où i est un entier \geq 1, une fonction positive définie sur la droite réelle, dont le support est inclus dans l'intervalle \left[ 0,1/i\right] et dont l'intégrale entre -\infty et +\infty est égale à 1. Ce peut être par exemple la fonction définie par T_{i}(x)=i pour 0\leq x \leq 1/i et T_{i}(x)=0 ailleurs ; mais T_{i} peut être également une fonction continue, ou même indéfiniment dérivable. Soit \phi \in \mathcal E(\R). On a

\left\langle T_{i},\phi \right\rangle =\int_{0}^{1/i}i\phi \left(
t\right) dt=\phi \left( c_{i}\right)

c_{i} \in [0, 1/i], d'après la première formule de la moyenne. Par conséquent, (<T_{i},\phi>)\rightarrow \phi(0)=<\delta,\phi>\delta est la distribution de Dirac. En conséquence, (T_{i}) \rightarrow \delta dans \mathcal E^{\prime}(\R) (cette convergence a également lieu dans \mathcal D^{\prime}(\R) et dans \mathcal S^{\prime}(\R)). C'est la raison pour laquelle on dit parfois, par abus de langage, que « la fonction de Dirac est la fonction qui vaut 0 en dehors de l'origine, qui vaut + \infty en ce point, et dont l'intégrale sur la droite réelle vaut 1 ».

Régularisation d'un signal par un filtre passe-bas[modifier | modifier le code]

Considérons un filtre passe-bas de fonction de transfert G_{\tau }\left( p\right) =\frac{1}{1+\tau p}, où p désigne la variable de Laplace. Lorsque la constante de temps \tau tend vers 0^{+}, G_{\tau }\left( p\right) tend vers 1. On peut donc penser que pour \tau >0, le filtre considéré a un effet régularisant, et que lorsque \tau diminue cet effet régularisant devient de moins en moins marqué jusqu'à disparaître par passage à la limite. C'est ce que montre le théorème de Banach-Steinhaus, en utilisant le fait que le produit de convolution est continu de \mathcal{D}_{+}^{\prime }\left( \mathbb{R}\right) \times \mathcal{D}_{+}^{\prime }\left( \mathbb{R}\right) dans \mathcal{D}_{+}^{\prime }\left( \mathbb{R}\right) (où \mathcal{D}_{+}^{\prime }\left( \mathbb{R}\right) est le sous-espace de \mathcal D^{\prime}(\R) dont les éléments sont les distributions à support positif)[5]. En effet, la réponse impulsionnelle du filtre (à savoir la transformée de Laplace inverse de G_{\tau }\left( s\right)) est g_{\tau }\left( t\right) =\left( 1/\tau \right) e^{-t/\tau }\Upsilon \left(t\right), où \Upsilon est la fonction de Heaviside. Soit \phi \in \mathcal{D}\left( \mathbb{R}\right). On a

\left\langle g_{\tau },\phi \right\rangle \left( t\right) =\frac{1}{\tau 
}\int_{0}^{+\infty }e^{-\frac{t}{\tau }}\phi \left( t\right)
dt=\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\phi \left( \tau x\right) dx.

Puisque \phi est continue et à support compact, elle est bornée, et le théorème de convergence dominée montre que

\lim\limits_{\tau \rightarrow 0^{+}}\left\langle g_{\tau },\phi
\right\rangle=\phi \left( 0\right) =\left\langle \delta
,\phi \right\rangle

d'où on déduit que g_{\tau } \rightarrow \delta dans \mathcal{D}_{+}^{\prime }\left( \mathbb{R}\right) quand \tau \rightarrow 0^{+}. Supposons que l'entrée du filtre soit une fonction u localement intégrable, discontinue et à support positif. Alors la sortie du filtre est la convolée y_{\tau }=g_{\tau }\star u. Cette fonction y_{\tau } est continue[6] et, d'après ce qui précède, converge vers u dans \mathcal{D}_{+}^{\prime }\left( \mathbb{R}\right) quand \tau \rightarrow 0^{+}.

Peigne de Dirac[modifier | modifier le code]

Soit

\Delta_{n,m} =\sum\limits_{j=-n }^{m }\delta_{(j)}

\delta_{(j)} est la distribution de Dirac au point j, et \phi \in \mathcal S(\R). On a

\left\langle \Delta _{n,m},\phi \right\rangle =\sum\limits_{j=-n}^{m}\phi
\left( j\right).

Or \phi \left( j\right) =O\left( 1/j^{2}\right) , par conséquent (d'après le résultat classique sur les séries de Riemann), \lim\limits_{n,m\rightarrow +\infty }\left\langle \Delta _{n,m},\phi\right\rangle existe pour toute fonction test \phi \in \mathcal S(\R). Il s'ensuit que la suite double (\Delta_{n,m}) converge dans l'espace des distributions tempérées \mathcal S^{\prime}(\R) (muni de sa topologie forte). La limite est le peigne de Dirac (qui est donc une distribution tempérée)

\Delta=\sum\limits_{j=-\infty }^{\infty }\delta_{(j)}.

Exemple : convergence d'une suite d'hyperfonctions[modifier | modifier le code]

Soit

\Gamma _{N}=\sum_{n=0}^{N}a_{n}\delta ^{\left( n\right) }

et soit \phi \in \mathcal O(\left\{ 0\right\} )\mathcal O(\left\{ 0\right\} ) désigne l'espace des germes de fonctions analytiques dans un voisinage de 0 dans \R ; il s'agit d'un espace (DFS), qui est donc un espace de Montel, et son dual est l'espace  \mathcal B(\left\{ 0\right\} ) des hyperfonctions ayant pour support \left\{ 0\right\}. On a

<\Gamma _{N},\phi>=\sum_{n=0}^{N}(-1)^{n}a_{n}\phi^{(n)}(0) .

Le développement de Taylor de \phi au voisinage de 0 s'écrit

\phi \left( t\right) =\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\phi ^{\left( n\right)
}\left( 0\right) }{n!}t^{n}

et par conséquent cette série entière doit être convergente avec un rayon r suffisamment petit. La suite de nombres complexes <\Gamma _{N},\phi> est alors convergente si, et seulement si pour n suffisamment grand, \left\vert a_{n}\right\vert <r^{n}/n!. Cette condition est satisfaite pour r aussi petit que l'on veut si, et seulement si

\lim .\sup \sqrt[n]{n!\left\vert a_{n}\right\vert }=0

qui est donc, d'après le théorème de Banach-Steinhaus, la condition nécessaire et suffisante pour que la suite (\Gamma_{N}) converge dans  \mathcal B(\left\{ 0\right\} ). On peut donc écrire

\mathcal{B}\left( \left\{ 0\right\} \right) =\left\{
\sum\nolimits_{n=0}^{\infty }a_{n}\delta ^{n}:a_{n}\in \mathbb{C}
,\lim .\sup \sqrt[n]{n!\left\vert a_{n}\right\vert }=0\right\}.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Adasch, Ernst et Keim 1978, §7
  2. Bourbaki 2006, §IV.3, cor. de la prop.2
  3. Bourbaki 2006, §III.3, exerc. 10
  4. Schaefer 1999, p. 117, Chap. III, exerc. 12
  5. Schwartz 1966, p. 170
  6. Bourlès 2010, p. 427

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]