Inégalité de Bessel

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En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne ou hilbertienne, l'inégalité de Bessel est un résultat étroitement lié à la question de la projection orthogonale. Elle tient son nom du mathématicien allemand Friedrich Wilhelm Bessel.

Énoncé pour une famille finie[modifier | modifier le code]

Dans tout l'article E désigne un espace préhilbertien sur le corps des réels ou celui des complexes. Le produit scalaire est noté < , > et la norme associée : || ||. La valeur absolue ou le module d'un scalaire λ est noté |λ|. Une famille de vecteurs est dite orthonormale si ces vecteurs sont de norme 1 et orthogonaux deux à deux.

Énoncé pour une famille finie —  Soit (e1, … , en) une famille orthonormale de vecteurs. Alors pour tout vecteur x de E, l'inégalité suivante est vérifiée :

\sum_{i=1}^n \left|\langle x,e_i \rangle\right|^2\leq\|x\|^2.

En outre il y a égalité si et seulement si x est dans l'espace vectoriel engendré par les vecteurs e1, … , en.

Généralisation à une famille quelconque[modifier | modifier le code]

Le résultat précédent s'étend au cas où la famille (ei) est indexée par un ensemble I quelconque (ni fini, ni nécessairement dénombrable) :

Énoncé dans le cas général —  Soit (ei) une famille orthonormale de vecteurs. Alors pour tout vecteur x de E, l'inégalité suivante est vérifiée :

\sum_{i \in I} \left|\langle x,e_i \rangle\right|^2\leq\|x\|^2,

et l'ensemble des indices i tels que 〈ei, x〉 soit non nul est au plus dénombrable.

Cas d'égalité et unicité des coefficients de Fourier — En outre il y a égalité si et seulement si x est dans l'adhérence du sous-espace vectoriel engendré par la famille, et dans ce cas x s'écrit de manière unique comme somme d'une famille de terme général λiei. La somme est la suivante :

x=\sum_{i\in I} \langle x,e_i\rangle e_i.

Si la famille (ei) est simplement orthogonale et formée de vecteurs non nuls, l'inégalité de Bessel s'écrit :

\sum_{i\in I} \left|\frac{\langle x,e_i \rangle}{\|e_i\|}\right|^2\leq\|x\|^2.

Si E est un espace de Hilbert, et si la famille est une base de Hilbert, alors la majoration est une égalité dénommée égalité de Parseval.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]