Algèbre sur un corps

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En mathématiques, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique (A , + , · , × ) telle que :

  1. (A, +, ·) est un espace vectoriel sur K ;
  2. la loi × est définie de A × A dans A (loi de composition interne) ;
  3. la loi × est bilinéaire.

Définitions[modifier | modifier le code]

Une algèbre sur un corps commutatif K est un K-espace vectoriel A muni d'une opération binaire × (c'est-à-dire que le « produit » x×y de deux éléments de A est un élément de A) bilinéaire, ce qui signifie que pour tous vecteurs x, y, z dans A et tous scalaires a, b dans K, les égalités suivantes sont vraies :

  • (x + y) × z = x × z + y × z,
  • x × (y + z) = x × y + x × z,
  • (a x) × (b y) = (a b) (x × y).

Les deux premières égalités traduisent la distributivité de la loi × par rapport à la loi +.

On dit que K est le corps de base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.

Un morphisme entre deux algèbres A et B sur K est une application f : AB telle que

x, yA, ∀aK, f(x × y) = f(x) × f(y) et f(x + ay) = f(x) + af(y).

Deux algèbres A et B sur K sont dites isomorphes s'il existe une bijection de A dans B qui soit un morphisme d'algèbres.

Généralisation[modifier | modifier le code]

Dans la définition, K peut être un anneau commutatif unitaire, et A un K-module. Alors, A est encore appelée une K-algèbre et on dit que K est l'anneau de base de A.

Article détaillé : algèbre sur un anneau.

Algèbres associatives, algèbres commutatives et algèbres unifères[modifier | modifier le code]

Une algèbre associative est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne x est associative. Lorsque cet anneau est un corps, il s'agit donc d'une

algèbre associative sur un corps (article détaillé).

Une algèbre est dite unifère si elle admet un élément neutre 1 pour la multiplication x. Une algèbre est dite commutative, si la loi de composition interne x est commutative.

Bases et tables de multiplication d'une algèbre sur un corps[modifier | modifier le code]

Tout espace vectoriel admet une base. Une base d'une algèbre A sur un corps K est une base de A pour sa structure d'espace vectoriel[1].

Si a=(a_i)_{i\in I} est une base de A, il existe alors une unique famille (c_{i,j}^k)_{i,j,k \in I} d'éléments du corps K tels que :

\displaystyle a_i\times a_j=\sum_{k\in I} c_{i,j}^k a_k.

Pour i et j fixés, les coefficients sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux. On dit que (c_{i,j}^k)_{i,j,k \in I} sont les constantes de structure[1] de l'algèbre A par rapport à la base a, et que les relations a_i\times a_j=\sum_{k\in I} c_{i,j}^k a_k constituent la table de multiplication de l'algèbre A[1].

Exemples d'algèbres de dimension finie[modifier | modifier le code]

Algèbres associatives et commutatives[modifier | modifier le code]

Nombres complexes[modifier | modifier le code]

L'ensemble des nombres complexes (ℂ, + , · , × ) est une ℝ-algèbre associative, unifère et commutative de dimension 2. Une base de l'algèbre ℂ est constituée des éléments 1 et i. La table de multiplication est constituée des relations :

1 i
1 1 × 1 = 1 1 × i = i
i i × 1 = i i × i = –1

Corps finis[modifier | modifier le code]

Tout corps fini est une algèbre associative, unifère et commutative de dimension n sur son sous-corps premier (Fp = ℤ/pℤ), donc son ordre est pn.

Par exemple le corps fini F4 est une algèbre de dimension 2 sur le corps F2 = ℤ/2ℤ dont la table de multiplication dans une base (1, a) est :

1 a
1 1 × 1 = 1 1 × a = a
a a × 1 = a a × a = 1 + a

Algèbres quadratiques[modifier | modifier le code]

On peut démontrer que toute algèbre unifère de dimension 2 sur un corps est associative et commutative[2]. Sa table de multiplication dans une base (1, x) est de la forme :

1 x
1 1 × 1 = 1 1 × x = x
x x × 1 = x x × x = a1 + bx

Une telle algèbre est appelée algèbre quadratique de type (a, b) (le type pouvant dépendre de la base choisie).

Par exemple : ℂ est une ℝ-algèbre quadratique de type (–1, 0) pour la base (1, i) et F4 est une F2-algèbre quadratique de type (1, 1).

Algèbres associatives et non commutatives[modifier | modifier le code]

Matrices carrées[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Matrice carrée.

L'ensemble \left(\mathcal M_n(\mathbb R), +,\cdot, \times \right) des matrices carrées d'ordre n ≥ 2 à coefficients réels est une ℝ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension n2.

Quaternions[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Quaternion.

L'ensemble (ℍ, + , · , × ) des quaternions est une ℝ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4.

1 i j k
1 1 × 1 = 1 1 × i = i 1 × j = j 1 × k = k
i i × 1 = i i × i = –1 i × j = k i × k = –j
j j × 1 = j j × i = –k j × j = –1 j × k = i
k k × 1 = k k × i = j k × j = –i k × k = –1

Biquaternions[modifier | modifier le code]

L'ensemble \scriptstyle(\mathbb B, +,\cdot, \times) des biquaternions est une ℂ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4 qui est isomorphe à l'algèbre \left(\mathcal M_2(\mathbb C), +,\cdot, \times \right) des matrices matrices carrées d'ordre 2 à coefficients complexes.

Algèbre unifère non associative[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Octonion.

L'ensemble des octonions \scriptstyle(\mathbb O, +,\cdot, \times) est une ℝ-algèbre unifère non associative et non commutative de dimension 8.

Algèbres non associatives et non unifères[modifier | modifier le code]

Produit vectoriel[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Produit vectoriel.

L'espace euclidien3 muni du produit vectoriel, (\mathbb R^3, +,\cdot, \wedge), est une ℝ-algèbre non associative, non unifère et non commutative (elle est anti-commutative) de dimension 3.

La table de multiplication dans une base orthonormale directe (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) est :

\vec{u} \vec{v} \vec{w}
\vec{u} \vec{u}\wedge\vec{u} =\vec{0} \vec{u}\wedge\vec{v} =\vec{w} \vec{u}\wedge\vec{w} =-\vec{v}
\vec{v} \vec{v}\wedge\vec{u} =-\vec{w} \vec{v}\wedge\vec{v} =\vec{0} \vec{v}\wedge\vec{w} =\vec{u}
\vec{w} \vec{w}\wedge\vec{u} =\vec{v} \vec{w}\wedge\vec{v} =-\vec{u} \vec{w}\wedge\vec{w} =\vec{0}

Crochet de Lie[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Crochet de Lie.

L'ensemble des matrices carrées d'ordre n ≥ 2 à coefficients réels, muni du crochet de Lie : [M, N]=MN-NM, \left(\mathcal M_n(\R), +,\cdot, [,] \right) est une ℝ-algèbre non associative, non unifère et non commutative de dimension n2. Elle est anti-commutative et possède des propriétés qui font de l'algèbre une algèbre de Lie.

Contre-exemple[modifier | modifier le code]

La ℝ-algèbre (ℍ, + , · , × ) des quaternions est un ℂ-espace vectoriel, mais n'est pas une ℂ-algèbre car la multiplication × n'est pas ℂ-bilinéaire : i·(j × k) ≠ j × (i·k).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, p. 10.
  2. N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, p. 13, proposition 1.