Base (algèbre linéaire)

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En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, une base d'un espace vectoriel est une famille de vecteurs de cet espace telle que chaque vecteur de l'espace puisse être exprimé de manière unique comme combinaison linéaire de vecteurs de cette base. En d'autres termes, une base est une famille de vecteurs à la fois libre et génératrice d'un espace vectoriel.

Introduction géométrique[modifier | modifier le code]

La figure montre la base canonique du plan.

La géométrie plane, celle d'Euclide, peut comporter une approche algébrique, celle de Descartes. En utilisant les coordonnées cartésiennes, on peut identifier un vecteur du plan à un couple de réels. Par exemple, la figure montre comment placer le vecteur \overrightarrow{u}=(-2,1). On se sert alors des deux vecteurs de référence (dessinés en rouge et bleu) pour le dessiner. Ainsi, tous les vecteurs du plan peuvent être exprimés de manière unique en termes de nombres vis-à-vis de deux vecteurs de référence. Ces deux vecteurs sont appelés base canonique du plan. En les notant respectivement \overrightarrow{i} et \overrightarrow{j}, un vecteur quelconque \overrightarrow{v} du plan s'exprime comme combinaison linéaire de ces deux vecteurs:

\overrightarrow{v}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j};

x et y sont des nombres réels. Par exemple,

\overrightarrow{u}=(-2,1)=-2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}=-2(1,0)+(0,1).

Cette écriture permet d'effectuer des calculs simplement. Par exemple, on peut additionner deux vecteurs \overrightarrow{w_1}=x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j} et \overrightarrow{w_2}=x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j} (où x_1, x_2, y_1 et y_2 sont des réels) de la façon suivante:

\overrightarrow{w_1}+\overrightarrow{w_2}=(x_1+x_2)\overrightarrow{i}+(y_1+y_2)\overrightarrow{j}.

Cette addition a une signification géométrique. Ainsi, il existe des connexions entre géométrie et calcul algébrique.

Le couple de vecteurs (i,j) forme une base du plan.

Cette base n'est pas unique. En fait, n'importe quel couple de vecteurs du plan choisi au hasard forme une base, à condition que les deux vecteurs ne soient pas colinéaires (c'est-à-dire qu'il s'agit d'une famille libre). Les deux vecteurs peuvent alors être utilisés pour exprimer tous les autres vecteurs (c'est-à-dire qu'il s'agit d'une famille génératrice). La décomposition selon ces deux vecteurs est alors unique. La figure ci-contre montre une autre base du plan. Travailler dans d'autres bases que la base canonique permet de simplifier grandement les calculs, si la base choisie est adaptée au problème.

Cette notion de base se généralise à toute structure vectorielle. Cela permet les mêmes avantages que pour les bases du plan, à savoir un cadre simple dans lequel tout vecteur possède une unique écriture, qui facilite les calculs dans cette structure.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Soit E un espace vectoriel sur un corps commutatif K.

Famille libre[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Famille libre.

Une famille finie (e_1,\ldots,e_n) de vecteurs de E est dite libre si :

\forall (\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \in K^n,\ \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i =0\Longrightarrow \forall i \in \{1,\ldots,n\},\ \lambda_i=0.

Dans le cas contraire, elle est dite liée.

Plus généralement, si (e_i)_{i \in I} est une famille (éventuellement infinie) de vecteurs de E, cette famille est dite libre si toutes ses sous-famille finies sont libres.

Famille génératrice[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Famille génératrice.

Une famille (e_1,\ldots,e_n) finie de vecteurs de E est dite génératrice de E si tout vecteur de E est une combinaison linéaire des vecteurs de cette famille :

\forall x \in E,\ \exists (\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in K^n,\ x=\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i.

Plus généralement, si (e_i)_{i \in I} est une famille (éventuellement infinie) de vecteurs de E, cette famille est dite génératrice de E si tout vecteur de E est une combinaison linéaire d'une partie finie de la famille (e_i)_{i \in I}.

Définition d'une base[modifier | modifier le code]

Une famille de vecteurs de E est une base de E si c'est une famille à la fois génératrice de E et libre[1]. De façon équivalente, une famille est une base de l'espace vectoriel E quand tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique en une combinaison linéaire de vecteurs de cette base.

On précise cette dernière caractérisation. Une famille finie B=(e_1,\ldots,e_n) est une base de E si et seulement si :

\forall x \in E,\ \exists ! (\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \in K^n,\ x=\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i.

Plus généralement, si B=(e_i)_{i \in I} est une famille (éventuellement infinie) de vecteurs de E, cette famille est une base de E si, pour tout vecteur x de E, il existe une unique famille (\lambda_i)_{i \in I} de scalaires qui est nulle sauf en un nombre fini d'indices et telle que :

x=\sum_{i\in I}\lambda_i e_i.

Les scalaires \lambda_i sont appelés coordonnées du vecteur x dans la base B.

Dimension[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Dimension d'un espace vectoriel.

Qu'elles soient finies ou non, toutes les bases d'un espace vectoriel E ont la même cardinalité, appelée la dimension de E. En particulier, si E admet une famille génératrice finie, toute base de E est finie, et la dimension de E est le nombre de vecteurs qu'elle comprend. Ce résultat, qui justifie la définition de la dimension, porte des noms différents selon les auteurs : théorème de la dimension, théorème d'équicardinalité des bases, etc.

Toute famille libre de E a alors un cardinal inférieur ou égal à dim(E), et toute famille génératrice de cet espace a un cardinal supérieur ou égal à dim(E).

Par exemple, Kn est de dimension n car sa base canonique possède exactement n vecteurs.

Les solutions à l'équation différentielle linéaire d'ordre deux f''+hf'+k=0 forment un espace vectoriel réel de dimension 2 : ce résultat s'appuie sur le théorème de Cauchy-Lipschitz.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Le ℝ-espace vectoriel ℝn admet une base C particulière, appelée base canonique, définie par
C=\{e_1=(1,0,\ldots,0),\ e_2=(0,1,\ldots,0),\ \ldots\ ,e_n=(0,0,\ldots,1)\}.
La dimension de ℝn est donc n.
  • L'espace vectoriel Mn,p(K) des matrices de taille n×p à coefficients dans un corps K admet pour base l'ensemble formé des matrices élémentaires de Mn,p(K), c'est-à-dire des matrices ayant un coefficient égal à 1 et tous les autres nuls. La dimension de Mn,p(K) est donc np.
  • L'espace vectoriel des polynômes sur un corps K admet pour base {Xk | k ∈ ℕ} (plus généralement, toute famille de polynômes étagée en degré convient). La dimension de K[X] est donc l'infini dénombrable.

Existence[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de la base incomplète.

Tout espace vectoriel admet une base d'après le théorème suivant[2],[3] :

Théorème de la base incomplète — Soient E un espace vectoriel, G une partie génératrice de E et L une partie libre. Alors il existe FG\L tel que LF soit une base de E

Autrement dit, toute famille libre de E peut toujours être « complétée » pour obtenir une base de E en choisissant des vecteurs parmi une famille génératrice arbitrairement prescrite. En particulier, la famille vide peut être complétée en une base de E.

Ce théorème prouve également qu'une famille de vecteurs est une base (i.e. libre et génératrice) si et seulement si elle est libre maximale ou encore (c'est équivalent) génératrice minimale.

L'existence d'une base est équivalente en théorie des ensembles[4] à l'axiome du choix. En particulier, la démonstration du théorème de la base incomplète repose sur le lemme de Zorn. Cependant, l'existence d'une famille génératrice finie permet de démontrer l'existence d'une base sans invoquer l'axiome du choix.

Changement de base[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Matrice de passage.

Il n'y a pas a priori d'unicité d'une base dans un espace vectoriel. Il peut donc être naturel de vouloir passer de l'expression d'un vecteur dans une base donnée à celle dans une autre base, par exemple pour faciliter les calculs.

Soit E un espace vectoriel sur un corps K. On suppose que (e_i)_{i \in I} et (e'_i)_{i \in I} sont deux bases de cet espace. Les e'_i sont en particulier des vecteurs de E, donc s'expriment comme combinaisons linéaires des vecteurs de la base (e_i). On peut donc en déduire, par substitution, les nouvelles expressions des vecteurs.

Par exemple, dans le ℝ-espace vectoriel ℝ2, on a la base canonique (e_1=(1,0),e_2=(0,1)). Il est facile de vérifier que les vecteurs e'_1=(1,1) et e'_2=(1,-1) forment une base de ℝ2. On peut exprimer ces nouveaux vecteurs par

e'_1=(1,1)=e_1+e_2\quad \text{et}\quad e'_2=(1,-1)=e_1-e_2.

Et en résolvant le système d'équations, on obtient

e_1=\frac{1}{2}\left(e_1'+e_2'\right)\quad \text{et} \quad e_2= \frac{1}{2}\left(e_1'-e_2'\right).

Pour un vecteur x=\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 de ℝ2 (avec \lambda_1 et \lambda_2 des réels), on peut donc l'exprimer en fonction de la nouvelle base :

x=\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2=\frac{\lambda_1}{2}\left(e_1'+e_2'\right)+ \frac{\lambda_2}{2}\left(e_1'-e_2'\right)=\frac{\lambda_1+\lambda_2}{2}e_1'+\frac{\lambda_1-\lambda_2}{2}e_2'.

Application linéaire[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Application linéaire.

Une application linéaire φ d'un espace vectoriel E vers un espace vectoriel F est entièrement déterminée par l'image d'une base de E par φ. En effet, soit (e_i) une base de E. Alors si l'image de chaque vecteur de la base est connue (par exemple si \varphi(e_i)=f_i), l'image de tout vecteur de E est donnée par linéarité :

\varphi(x)=\varphi \left(\sum \alpha_i e_i\right)=\sum \alpha_i \varphi(e_i)= \sum \alpha_i f_i.

L'utilisation des matrices comme représentants des applications linéaires dans une base donnée n'est possible que grâce à cette propriété.

Si l'image d'une base par une application linéaire est une base, alors l'application linéaire est bijective. Cela définit de manière unique un changement de base. La matrice associée est alors dite matrice de passage.

Cette propriété fournit également un isomorphisme naturel entre un K-espace vectoriel E de dimension finie n et Kn. En effet, il suffit d'associer à chaque vecteur d'une base de E l'un des vecteurs de la base canonique de Kn de manière unique. Et puisqu'une application linéaire est entièrement déterminée par l'image d'une base, et que cette image est une base, l'application linéaire est bijective, d'où l'isomorphisme.

Base d'un espace dual[modifier | modifier le code]

Article détaillé : base duale.

Soit E un K-espace vectoriel. L'ensemble des formes linéaires sur E forment un K-espace vectoriel appelé espace dual de E noté E^*. Si E est de dimension finie, alors E^* est aussi de dimension finie et sa dimension est égale à celle de E. Ils sont donc isomorphes.

Si (e_1, \ldots, e_n) est une base de \ E, on définit sur celle-ci les formes linéaires notées  (e_1^*,\ldots,e_n^*) par :

\forall (i,j) \in \{1,\ldots, n \}^2,\ e_i^*(e_j)=\delta_{i,j}

\delta_{ij} est le symbole de Kronecker.

La famille de formes linéaires  (e_1^*,\ldots,e_n^*) forme une base de  E^*; appelée base duale de la base (e_1, \ldots, e_n).

Inversement, si  (f_1^*,\ldots, f_n^*) est une base de \ E^*, il existe une unique base  (f_1,\ldots, f_n) de E telle que:

\forall (i,j) \in \{1, \ldots, n \}^2,\ f_i^*(f_j)=\delta_{i,j}

La base  (f_1,\ldots, f_n) s'appelle la base antéduale de la base (f_1^*, \ldots, f_n^*).

Généralisation de la notion de base[modifier | modifier le code]

Lorsque l'espace vectoriel étudié dispose d'une structure plus riche, un raffinement de la notion de base est possible.

Base orthonormée[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Base orthonormée.

Dans le cas d'un espace euclidien, une base est dite orthonormée si les vecteurs de cette base sont deux à deux orthogonaux et sont de norme égale à 1.

Par exemple, la base canonique de \R^n est orthonormée pour le produit scalaire usuel.

Base de Hilbert[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Base de Hilbert.

Dans un espace préhilbertien de dimension infinie, une famille finie de vecteurs orthogonaux deux à deux ne peut pas engendrer tout l'espace.

Soit H un espace préhilbertien sur un corps K=\R\ \mathrm{ou}\ \C et F=(e_i) une famille de vecteurs de Hi est élément d'un ensemble I (fini ou infini).

La famille F est une base de Hilbert de H si

  • F est une famille orthonormée de H et
  • F est « génératrice », au sens élargi suivant :

 \forall x\in H,\ \exists (\lambda_i)_{i\in I}\in K^I,\ x= \sum_{i\in I} \lambda_i e_i.

Dans le cas où H est de dimension finie, cette définition coïncide avec celle de base orthonormée.

Base de Schauder[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Base de Schauder.

Dans le cas où E est un espace de Banach séparable de dimension infinie, on peut généraliser la notion de base dans le sens suivant : on dit que la famille (e_n)_{n\in\N} d'éléments de E est une base de Schauder pour E si, pour tout x\in E, il existe une unique suite (a_n)_{n\in\N} de scalaires telle que

 x =\lim_n\sum_{k=0}^n a_k e_k,

avec convergence en norme dans E. Les scalaires (a_n)_{n\in\N} sont appelés coordonnées de x.

Une base de Hilbert (séparable) est une base de Schauder. Dans le cas où E est de dimension finie, les notions de base (algébrique) et base de Schauder coïncident.

Base d'un module[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Module sur un anneau.

Un module est une structure algébrique identique à celle d'espace vectoriel à la différence près que l'ensemble des scalaires ne forment plus un corps mais un anneau.

Certaines propriétés vraies pour les espaces vectoriels ne sont plus vraies pour les modules. Par exemple l'existence d'une base n'y est plus assurée, et on ne peut pas nécessairement y développer de théorie de la dimension, même dans un module engendré par un nombre fini d'éléments.

Cependant, on peut quand même définir une notion de base, identique à celle des espaces vectoriels. Un module qui possède une base s'appelle un module libre.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Serge Lang, Algebra [détail des éditions], 1965, p. 84.
  2. N. Bourbaki, Algèbre, p. A-II-95, Théorème 2.
  3. Lang 1965, p. 85, Theorem 2.
  4. Plus précisément, l'équivalence a été démontrée en 1984 dans la théorie des ensembles ZF avec Axiome de fondation, voir Andreas Blass, Existence of bases implies the axiom of choice (Axiomatic Set Theory (ed. J. E. Baumgartner, D. A. Martin, and S. Shelah) Contemp. Math. 31 (1984) 31-34), accessible sur le site de l'auteur.