Théorème de Baire

Le théorème de Baire, dit aussi lemme de Baire, est un théorème de topologie dû au mathématicien René Baire (1874-1932). Un espace topologique est dit de Baire si toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. De façon équivalente, un espace topologique est de Baire si une union dénombrable de fermés d'intérieur vide est d'intérieur vide.

Énoncé

1. Un espace topologique localement compact $E$ est de Baire ;
2. Un espace métrique complet $(E,d)$ (notamment un espace de Banach) est de Baire ;
3. Tout ouvert d'un espace de Baire est un espace de Baire.

Démonstration

Dans ce qui suit, $\text{int}(A)$ désigne l'intérieur d'une partie $A$ de $E$.

1. Soit E un espace localement compact. Nous utiliserons que dans E, tout ouvert non vide contient un compact d'intérieur non vide. En effet, tout ouvert contenant un point x contient un voisinage compact de x, puisque x possède un système fondamental de voisinages compacts.

Soient $(U_n)_{n\in\N}$ une suite d'ouverts denses dans E et V un ouvert non vide quelconque ; nous voulons montrer que l'intersection des U_n rencontre V.

Puisque U₀ est dense, il rencontre V. L'ouvert $U_0\cap V$ étant non vide, il contient un compact K₀ d'intérieur non vide. Une fois K₀ choisi, $U_1 \cap \text{int}(K_0)$ est un ouvert non vide, donc contient un compact K₁ d'intérieur non vide.

En itérant cette construction, on obtient une suite décroissante de compacts non vides K_n tels que $K_0\subset V$ et $\forall n\in\N, K_n\subset U_n$.

Alors $V\cap\bigcap_{n\in\N}U_n$ contient l'intersection des K_n qui (d'après le théorème des compacts emboités) est non vide, ce qui prouve le résultat.

2. Dans le cas où $E$ est un espace métrique complet, le raisonnement est analogue en utilisant cette fois que dans un espace métrique, tout ouvert non vide contient une boule fermée de rayon strictement positif (donc d'intérieur non vide). On construit ainsi une suite décroissante de boules fermées B_n de rayons <1/(n+1), telles que $B_0\subset V$ et $\forall n\in\N, B_n\subset U_n$.

Alors $V\cap\bigcap_{n\in\N}U_n$ contient l'intersection des B_n, qui (d'après le théorème des fermés emboités) est non vide, ce qui prouve le résultat.

3. Soient O un ouvert d'un espace de Baire E et (U_n) une suite d'ouverts de O denses dans O, autrement dit chaque U_n est un ouvert de E, inclus dans O, et dont l'adhérence (dans E) contient O. Soit U l'intersection des U_n, il s'agit de prouver que son adhérence contient O. Posons $W=E\setminus\overline O$ et $V_n=U_n\cup W$. Alors les V_n sont des ouverts denses de E, donc leur intersection est dense, autrement dit l'adhérence de U contient $E\setminus\overline W$. Or ce dernier ensemble contient O, ce qui conclut.

Quelques applications

• Analyse fonctionnelle :
  • Théorèmes de l'application ouverte, du graphe fermé, de l'isomorphisme de Banach ;
  • Théorème de Banach-Steinhaus ;
  • Théorème de la limite simple de Baire ;
  • Théorème de Baire-Brenef (voir le paragraphe Spectre et ensemble de valeurs propres) ;
  • L'ensemble des fonctions nulle part dérivables contient un G_δ dense pour la norme de la convergence uniforme dans l'ensemble des fonctions continues sur un intervalle I.
• Connexité du tipi de Cantor ;
• Théorème de superposition de Kolmogorov ;
• Caractérisation des polynômes réels : Si $\ f$ est une fonction $C^{\infty}$ telle que $\scriptstyle(\forall x\in\R)(\exists n\in\N)(f^{(n)}(x)=0)$, alors c'est un polynôme (on peut noter l'inversion de quantificateurs avec la caractérisation évidente $\scriptstyle(\exists n\in\N)(\forall x\in\R)(f^{(n)}(x)=0)$). Ici, $f^{(n)}$ désigne la dérivée n-ième de $f$.
• Un espace vectoriel normé réel n'est jamais complet s'il admet une base infinie dénombrable.

Liens externes

• Gilles Godefroy, texte sur le théorème
• BwataBaire, un wiki qui se propose de recenser diverses applications du lemme de Baire, et de réfléchir aux relations qu'il entretient avec des phénomènes similaires.