Théorème de Baire

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Le théorème de Baire, dit aussi lemme de Baire, est un théorème de topologie dû au mathématicien René Baire. On dit qu'un espace topologique est un espace de Baire si toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. De façon équivalente, un espace topologique est de Baire si toute union dénombrable de fermés d'intérieurs vides est d'intérieur vide, ou encore, si le seul ouvert maigre est le vide. Le lemme de Baire donne des conditions suffisantes pour que certains espaces soient de Baire.

Énoncé[modifier | modifier le code]

  1. Tout espace localement compact est de Baire ;
  2. Tout espace métrique complet (notamment tout espace de Banach) est de Baire ;
  3. Tout ouvert d'un espace de Baire est de Baire.

Un espace E est dit « complètement de Baire » si tout fermé de E est également de Baire[1]. Pour les espaces localement compacts et les espaces complètement métrisables, cette propriété supplémentaire est automatique.

Quelques applications[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Vincent Kieftenbeld, Three Topics in Descriptive Set Theory, Denton, Texas, UNT,‎ 2010 (lire en ligne), p. 24.
  2. (es) F. Sunyer i Balaguer (ca) et E. Corominas, « Condiciones para que una función infinitamente derivable sea un polinomio », Rev. Mat. Hisp.-Amer., vol. 4, no 14,‎ 1954, p. 26-43
  3. (en) H. D. Brunk et R. P. Boas, « Necessary and Sufficient Condition for a Polynomial », Amer. Math. Monthly, vol. 66, no 7,‎ Aug. - Sep. 1959, p. 599 (lire en ligne) (effacer .pdf dans la fenêtre du navigateur pour accéder au fichier)
  4. (en) William F. Donoghue, Distributions and Fourier transforms, Academic Press,‎ 1969, 2e éd. (ISBN 978-0-08087344-2, lire en ligne), p. 53
  5. Un tel espace contient même un sous-espace homéomorphe à l'espace de Baire ℕω : (en) Vladimir I. Bogachev, Measure Theory, vol. 1, Springer,‎ 2007 (ISBN 9783540345145, lire en ligne), p. 8, lemme 6.1.16.
  6. La dimension d'un tel espace est donc égale à son cardinal en supposant l'hypothèse du continu, mais aussi sans cette hypothèse : (en) Lorenz Halbeisen et Norbert Hungerbühler (de), « The cardinality of Hamel bases of Banach spaces », East-West Journal of Mathematics, vol. 2,‎ 2000, p. 153-159 (lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Théorème d'Osgood (de)