Dérivée fonctionnelle

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La dérivée fonctionnelle est un outil mathématique du calcul des variations. Elle exprime la variation d'une fonctionnelle résultant d'une variation infinitésimale de la fonction fournie en argument.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit F[\phi] une fonctionnelle, c'est-à-dire une application d'un espace vectoriel vers son corps, sa dérivée fonctionnelle ou dérivée de Fréchet est l'application notée \frac{\delta F\left[\phi\right]}{\delta\phi(x)}, telle que:

\delta F\left[\phi\right]=\int\mathrm dx \frac{\delta F \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)} \delta\phi(x)

Une autre définition possible est plus proche de la définition d'une dérivée usuelle, c'est-à-dire faisant appel à la limite d'un taux d'accroissement. L'équivalence peut être montrée en imposant à la fonction \phi(x) une variation de grandeur \epsilon localisée au point  y , c'est-à-dire utilisant une fonction delta de Dirac:

\delta\phi\left[ x\right]=\epsilon \delta(x-y)

L'insertion dans la première définition donne alors :

\delta F\left[\phi\right]=F\left[\phi+\epsilon\delta(x-y)\right]-F\left[\phi\right]=\int \mathrm dx \frac{\delta F \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)} \epsilon\delta(x-y)=\epsilon\frac{\delta F \left[\phi\right]}{\delta \phi(y)}

En passant à la limite \epsilon\rightarrow 0, il vient :

\frac{\delta F \left[\phi\right]}{\delta \phi(y)}=\lim_{\varepsilon \to 0}\frac{F\left[\phi+\varepsilon\delta(x-y)\right]-F\left[\phi\right]}{\varepsilon}

Règles de calcul[modifier | modifier le code]

La dérivée fonctionnelle obéit à des règles semblables à celles du calcul différentiel ordinaire :

  1. Elle est linéaire.
  2. La dérivée fonctionnelle d'un produit de deux fonctionnelles F\left[\phi\right]=G\left[\phi\right]H\left[\phi\right] est donnée par :
    \frac{\delta F \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)}=\frac{\delta G \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)}H\left[\phi\right]+G\left[\phi\right]\frac{\delta H \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)}
  3. La dérivée fonctionnelle d'une fonctionnelle de fonctionnelle est donnée par la règle de la chaîne :
    \frac{\delta}{\delta\phi(y)}F\bigl[G\left[\phi\right]\bigr]=\int\mathrm dx \frac{\delta F\left[G\right]}{\delta G(x)}\frac{\delta G\left[\phi\right]}{\delta \phi (y)}

En physique[modifier | modifier le code]

La dérivée fonctionnelle est une technique standard de minimisation (par exemple, minimisation d'un potentiel énergétique). Les calculs ne sont la plupart du temps pas justifiés formellement (d'un point de vue mathématique), la règle informelle suivante étant la plus souvent appliquée :


\frac{\delta \phi(x)}{\delta \phi(z)} = \delta(x-z).

Cette équation se démontre à partir de l'équation aux limites ci-dessus.