Espace de Hardy

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Les espaces de Hardy, dans le domaine mathématique de l'analyse fonctionnelle, sont des espaces de fonctions analytiques sur le disque unité 𝔻 du plan complexe.

Le cas hilbertien : l'espace H2(𝔻)[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Soit f une fonction holomorphe sur 𝔻, on sait que f admet un développement de Taylor en 0 sur le disque unité :

\forall z\in\mathbb D,\qquad f(z) = \sum_{n=0}^{+ \infty} \, \hat{f}(n)\ z^n.

On dit alors que f est dans l'espace de Hardy H2(𝔻) si la suite \scriptstyle(\hat{f}(n)) appartient à 2 . Autrement dit on a :

 H^2(\mathbb{D}) = \lbrace f \in Hol(\mathbb{D}) : \sum_{n=0}^{+ \infty} \, |\hat f(n)|^2< +\infty \rbrace

On définit alors la norme de f par :

\|f\|_2:=\left(\sum_{n=0}^{+ \infty}|\hat{f}(n)|^2\right)^\frac12.

Exemple[modifier | modifier le code]

La fonction z\mapsto\log(1-z)= - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n} appartient à H2(𝔻).

Une autre expression de la norme[modifier | modifier le code]

Pour f holomorphe sur 𝔻 et pour 0 ≤ r <1 on définit :

M_2(f,r):=\left(\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\vert f(re^{it})\vert^2~\mathrm dt\right)^\frac12.
  • la fonction r ↦ M2(f,r) est croissante sur [0,1[.
  • f∈H2(𝔻) si et seulement si \scriptstyle\lim_{r\to1^-}M_{2}(f,r)<+\infty et on a :
 \vert \vert f \vert \vert_{2}^{2} = \lim_{r\to1^-}{\frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^\pi\vert f(r e^{it}) \vert^2~\mathrm dt} = \sup_{ 0 \leq r <1}\frac1{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} \vert f(r e^{it}) \vert^2~\mathrm dt.

Quelques propriétés de l'espace H2(𝔻)[modifier | modifier le code]

  • L'espace de Hardy H2(𝔻) est isomorphiquement isométrique (en tant qu'espace vectoriel) à ℓ2. C'est donc un espace de Hilbert.
  • Pour tout f∈H2(𝔻) et pour tout z dans 𝔻 on a :
 \vert f(z) \vert \leq  \frac{\vert \vert f \vert \vert_{2} }{\sqrt{1-\vert z \vert^2}}.

Cela signifie que l'application linéaire d'évaluation f ↦ f(z), de H2(𝔻) dans ℂ, est continue pour tout z dans 𝔻 et sa norme est plus petite que :

\frac1{\sqrt{1- \vert z \vert^2}}.

En fait on peut montrer que la norme est exactement égale à cette constante.

Les deux prochaines propriétés sont alors des conséquences directes de cette dernière.

  • Soit (fn) une suite d'éléments de H2(𝔻) qui converge en norme vers f alors (fn) converge uniformément sur tout compact de 𝔻 vers f.
  • Soit (fn) une suite d'éléments de H2(𝔻) incluse dans la boule unité. Alors on peut en extraire une sous-suite qui converge uniformément sur tout compact de 𝔻.

Le cas général[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Pour 0 < p < + ∞ on définit l'espace de Hardy Hp(𝔻) comme étant l'espace des fonctions analytiques f sur le disque unité telles que :

\sup_{ 0<r<1}\left(\int_0^{2\pi}|f(r e^{it})|^p~\frac{\mathrm d t}{2 \pi}\right) < + \infty.

On définit alors :

\|f\|_p=\sup_{ 0<r<1}\left(\int_0^{2\pi}|f(r e^{ i t})|^p~\frac{\mathrm d t}{2 \pi}\right)^\frac1p.

Quelques propriétés[modifier | modifier le code]

  • Pour p ≥ 1, Hp(𝔻) est un espace de Banach.
  • Soit f∈Hp(𝔻) pour p ≥ 1. Alors pour presque tout t (au sens de la mesure de Lebesgue) :
    f^*( e^{ i t}):= \lim_{r\to1^-} f(r.e^{i t})
    existe et l'application f ↦ f* est une isométrie de Hp(𝔻) sur le sous-espace \scriptstyle H^p_* de \scriptstyle L^p\left([0, 2 \pi], \frac{\mathrm d t}{2 \pi}\right) où :
    H^p_*=\left\{\left.f \in L^p\left([0, 2 \pi],\frac{\mathrm d t}{2 \pi}\right)~\right|~\forall n\le-1,~\hat f(n)=0\right\}.
  • On a une autre caractérisation de la norme grâce aux propriétés des fonctions sous-harmoniques : Pour toute f∈Hp(𝔻), on a :
\|f\|_p=\lim_{r\to1^-}\left(\int_0^{2\pi}|f(re^{it})|^p\frac{\mathrm d t}{2\pi}\right)^\frac1p.

Factorisation de Beurling[modifier | modifier le code]

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Peter L. Duren (en), Theory of Hp Spaces, Dover,‎ 2000 (ISBN 978-0-48641184-2, lire en ligne)

Article connexe[modifier | modifier le code]

Noyau de Poisson