Application linéaire

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En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire mais beaucoup d'auteurs réservent le mot de « transformation » à celles qui sont bijectives) est une application entre deux espaces vectoriels sur un corps K ou deux modules sur un anneau qui respecte l’addition des vecteurs et la multiplication scalaire définie dans ces espaces vectoriels ou modules, ou, en d’autre termes, qui « préserve les combinaisons linéaires ».

Définitions

Soit ƒ une application de E dans F où E et F sont deux espaces vectoriels à gauche sur un corps K.

L'application ƒ est une application linéaire (ou morphisme de K-espaces vectoriels) si et seulement si :

• $\forall x\in E,\forall y\in E,f(x+y)=f(x)+f(y),$
• $\forall\lambda\in K,\forall x\in E,f(\lambda x)=\lambda f(x).$

Une application ƒ possédant la première propriété est dite additive, et, pour la seconde, homogène. Elle possède ces deux propriétés à la fois si et seulement si :

• $\forall(x,y)\in E^2,\forall(\lambda,\mu)\in K^2,f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y),$

ou plus simplement, si et seulement si :

• $\forall(x,y)\in E^2,\forall\mu\in K,f(x+\mu y)=f(x)+\mu f(y).$

Un isomorphisme est un morphisme bijectif.

Un endomorphisme est un morphisme ayant même espace vectoriel de départ et d'arrivée.

Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.

Si l'espace vectoriel d'arrivée est le corps K on parle de forme linéaire.

On note

• $L_K(E;F)$ l’ensemble des applications linéaires de E dans F ;
• $Isom_K(E;F)$ l’ensemble des isomorphismes de E sur F;
• $L_K(E)$ l’ensemble des endomorphismes de E ;
• $GL_K(E)$ (appelé aussi le groupe linéaire) le groupe des automorphismes de E.

(Le corps K en indice est parfois omis et implicite.)

Noyau et image

Si ƒ est une application linéaire de E dans F, alors le noyau de ƒ, noté Ker(ƒ), et l’image de ƒ, notée Im(ƒ), sont définis par

$\operatorname{Ker}(f)=\{\,x\in E \;|\; f(x)=0\,\}=f^{-1}(\{0\})$

$\operatorname{Im}(f)=\{\,f(x) \;|\; x\in E\,\}=f(E)$

Ker provient de Kernel, traduction de « noyau » en allemand. Im provient de image. L'ensemble Ker(ƒ) est un sous-espace vectoriel de E et l'ensemble Im(ƒ) est un sous-espace vectoriel de F. Plus généralement,

• L'image réciproque d'un sous-espace vectoriel de F par f est un sous-espace vectoriel de E ;
• Et l'image directe d'un sous-espace vectoriel de E par f est un sous-espace vectoriel de F.

Le théorème de factorisation affirme que f induit un isomorphisme de l'espace vectoriel quotient E/kerf sur l'image im f.

Tout ce qui précède reste valide si « espace vectoriel » est remplacé par « module » et « corps » par « anneau ». Ce qui suit, en revanche, est spécifique aux espaces vectoriels sur un corps :

Deux espaces isomorphes ayant même dimension, il suit de l'isomorphisme ci-dessus la relation suivante, valable pour un espace E de dimension finie, appelée théorème du rang :

$\dim(\operatorname{Ker}( f )) + \dim(\operatorname{Im}( f )) = \dim( E ) \,$.

Le nombre dim( Im(ƒ) ) est aussi appelé rang de ƒ et est noté rg(ƒ).

Exemples

• l'endomorphisme appelé homothétie vectorielle de rapport a : $f : x \mapsto a\cdot x$ où a est un scalaire, à savoir un élément du corps de base ;
• l’application dérivation, de l'espace des applications dérivables de R dans R vers l'espace de toutes les applications de R dans R :

  d : $\mathcal D(\R,\R)\to\mathcal F(\R,\R),\qquad h\quad\mapsto\quad h'$

• on peut condidérer l'ensemble des polynômes $K[d]$ à coefficients dans K, le corps des réels ou des complexes, et dont on a substitué à l'indéterminée la dérivation $d$ ci-dessus. Alors $K[d]$ est un anneau et l'ensemble $C^{\infty }\left(\mathbb{R};K\right)$ des fonctions indéfiniment dérivables de $\R$ dans K est un $K[d]$-module. Si $p(d)$ est un élément de $K[d]$ (qu'on appelle un opérateur différentiel), l'application $f \mapsto p(d)f$ est un endomorphisme de $C^{\infty }\left(\mathbb{R};K\right)$ qui est une homothétie de rapport $p(d)$ pour la structure de $K[d]$-module.

Propriétés

• Soit E et F deux espaces vectoriels (resp. deux modules) à gauche sur le corps (resp. l'anneau) K. L'ensemble L(E,F) des applications linéaires de E dans F est un espace vectoriel (resp. un module) sur le centre C de K.

Démonstration

Montrons que L(E, F) est un sous-espace vectoriel (resp. un sous-module) de l'espace vectoriel (resp. du module) des applications de E dans F sur C. Il est non vide car contient l'application nulle. Si a et b sont deux applications linéaires, leur somme est encore linéaire. Enfin que si λ est un élément de C, l'application λa est aussi linéaire, car elle évidemment additive et pour tout $\alpha \in K$ et tout $x \in E$,

$(\lambda a)(\alpha x)=\lambda(a(\alpha x))=\lambda(\alpha a(x))=\alpha \lambda((a(x))=\alpha(\lambda a)(x)$.

• La composée de deux applications linéaires est linéaire. Plus précisément :

$\forall f\in L(E;F),\ \forall g\in L(F;G),\quad g\circ f\in L(E;G).$

• Si E est un K-espace vectoriel (resp. un K-module libre), une application linéaire $f \in L(E;F)$ est entièrement déterminée par l'image par $f$ d'une base de $E$. Plus précisément : pour toute base $(e_i)_{i\in I}$ de $E$ et toute famille $(f_i)_{i\in I}$ de vecteurs de $F$ (indexée par le même ensemble $I$), il existe une unique application linéaire $f$ de $E$ dans $F$ telle que pour tout indice $i$, $f(e_i)=f_i$.

Démonstration

Unicité.

Soit $f$ une telle application. Pour tout vecteur $x$ de $E$, si $(x_i)_{i\in I}$ désigne la famille presque nulle de ses coordonnées dans la base $(e_i)_{i\in I}$, on a (par linéarité de $f$) :

$f(x)=f(\sum_{i\in I}x_ie_i)=\sum_{i\in I}x_if(e_i)=\sum_{i\in I}x_if_i$,

ce qui détermine complètement $f$.

Existence.

Soit $f:E\to F$ définie en chaque vecteur $x$ de $E$ par la formule ci-dessus. Pour tout indice $i$, en appliquant cette formule à $x=e_i$, on trouve bien $f(e_i)=f_i$. D'autre part, $f$ est bien linéaire car pour tous vecteurs $x, y$ de $E$, de coordonnées $(x_i)_{i\in I}, (y_i)_{i\in I}$ dans $(e_i)_{i\in I}$, et pour tous scalaires $\lambda, \mu$, la définition de $f$ donne :

$f(\lambda x+\mu y)=f\left(\lambda\sum_{i\in I}x_ie_i+\mu\sum_{i\in I}y_ie_i\right) =f\left(\sum_{i\in I}(\lambda x_i+\mu y_i)e_i\right)$

$=\sum_{i\in I}(\lambda x_i+\mu y_i)f_i =\lambda\left(\sum_{i\in I}x_if_i\right)+\mu\left(\sum_{i\in I}y_if_i\right) =\lambda f(x)+\mu f(y)$.

• Tout choix d'une base $(e_i)_{i\in I}$ de $E$ fournit une bijection de $L(E;F)$ sur $F^I$, donc si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie sur un corps commutatif, alors la dimension de L(E,F) est également finie, et

$\dim(L(E;F))=\dim(E)\times\dim(F)$.

Démonstration

On utilise l'application fournie par la proposition précédente (à toute famille $(f_i)_{i\in I}$ de vecteurs de $F$ on associe l'unique application linéaire qui envoie les $e_i$ sur les $f_i$) ; l'application de $F^I$ dans $L(E,F)$ ainsi définie est bijective. Si $\dim(E)=\mathrm{Card}(I)=n$ et $\dim(F)=m$, on en déduit (en notant $K$ le corps des scalaires) :

$\dim(L(E;F))=\dim(F^I)=\dim\left((K^m)^n\right)=\dim(K^{mn})=mn$.

• Si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie (resp. des modules libres de type fini) à droite sur un corps (resp. un anneau) K, une application linéaire de E dans F se représente par une matrice dans des bases fixées dans E et F.

Notes et références

• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Chap. II. 

Voir aussi

• Opérateur borné entre espaces vectoriels normés
• Application multilinéaire