Application linéaire

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire[1] mais beaucoup d'auteurs[2] réservent le mot de « transformation » à celles qui sont bijectives) est une application entre deux espaces vectoriels sur un corps K ou deux modules sur un anneau qui respecte l'addition des vecteurs et la multiplication scalaire définie dans ces espaces vectoriels ou modules, ou, en d'autres termes, qui « préserve les combinaisons linéaires ».

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit ƒ une application de E dans FE et F sont deux espaces vectoriels à gauche sur un corps K.

L'application ƒ est dite linéaire[3],[4] (ou « morphisme de K-espaces vectoriels ») si :

  • \forall x\in E,\forall y\in E,f(x+y)=f(x)+f(y),
  • \forall\lambda\in K,\forall x\in E,f(\lambda x)=\lambda f(x).

Une application ƒ possédant la première propriété est dite additive, et, pour la seconde, homogène. Elle possède ces deux propriétés à la fois si et seulement si :

  • \forall(x,y)\in E^2,\forall(\lambda,\mu)\in K^2,f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y),

ou plus simplement, si et seulement si :

  • \forall(x,y)\in E^2,\forall\mu\in K,f(x+\mu y)=f(x)+\mu f(y).

Autrement dit, ƒ préserve les combinaisons linéaires[5],[6], c'est-à-dire : pour toute famille finie (v_i)_{i\in I} de vecteurs et pour toute famille (\lambda_i)_{i\in I} de scalaires (i.e. d'éléments de K), f\left(\sum_{i\in I}\lambda_iv_i\right)=\sum_{i\in I}\lambda_if(v_i).

Un isomorphisme[7] d'espaces vectoriels est un morphisme bijectif.
Un endomorphisme est un morphisme ayant même espace vectoriel de départ et d'arrivée.
Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
Si l'espace vectoriel d'arrivée est le corps K, on parle de forme linéaire.

On note

  •  L_K(E;F) l'ensemble des applications linéaires de E dans F ; il peut aussi être noté[8] Hom(E, F) ou encore HomK(E, F).
  • {\rm Isom}_K(E;F) l'ensemble des isomorphismes de E sur F;
  •  L_K(E) l'ensemble des endomorphismes de E ;
  •  GL_K(E) (appelé aussi le groupe linéaire) le groupe des automorphismes de E.

(Le corps K en indice est parfois omis et implicite.)

Noyau et image[modifier | modifier le code]

Si ƒ est une application linéaire de E dans F, alors le noyau de ƒ, noté Ker(ƒ)[9], et l'image de ƒ, notée Im(ƒ)[9], sont définis par

\operatorname{Ker}(f)=\{\,x\in E \;|\; f(x)=0\,\}=f^{-1}(\{0\})
\operatorname{Im}(f)=\{\,f(x) \;|\; x\in E\,\}=f(E)

Ker provient de Kernel, traduction de « noyau » en allemand. Im provient de image.

Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est l'espace nul (c'est une propriété générale des morphismes de groupes). Une application (linéaire ou pas) est surjective si et seulement si son image est égale à son ensemble d'arrivée tout entier.

L'ensemble Ker(ƒ) est un sous-espace vectoriel de E et l'ensemble Im(ƒ) est un sous-espace vectoriel de F. Plus généralement[10],

L'espace vectoriel quotient F/Im(ƒ) s'appelle le conoyau[10] de ƒ.

Le théorème de factorisation affirme que ƒ induit un isomorphisme du quotient E/Ker(ƒ) sur l'image Im(ƒ).

Tout ce qui précède reste valide si « espace vectoriel » est remplacé par « module » et « corps » par « anneau ». Ce qui suit, en revanche, est spécifique aux espaces vectoriels sur un corps :

Deux espaces isomorphes ayant même dimension, il suit de l'isomorphisme ci-dessus la relation suivante (valable pour E et F de dimensions finies ou infinies), appelée théorème du rang :


  \dim(\operatorname{Ker}( f )) 
+ \dim(\operatorname{Im}( f )) 
= \dim( E ).

La dimension de Im(ƒ) est aussi appelée le rang de ƒ et est notée rg(ƒ).

Exemples[modifier | modifier le code]

  • L'endomorphisme appelé homothétie vectorielle de rapport a : f : x \mapsto a\cdot xa est un scalaire ;
  • l'application dérivation, de l'espace des applications dérivables de R dans R vers l'espace de toutes les applications de R dans R :
    d : \mathcal D(\R,\R)\to\mathcal F(\R,\R),\qquad h\quad\mapsto\quad h'
  • on peut considérer l'ensemble des polynômes K[d] à coefficients dans K, le corps des réels ou des complexes, et dont on a substitué à l'indéterminée la dérivation d ci-dessus. Alors K[d] est un anneau et l'ensemble C^{\infty }\left(\mathbb{R};K\right) des fonctions indéfiniment dérivables de \R dans K est un K[d]-module. Si p(d) est un élément de K[d] (qu'on appelle un opérateur différentiel), l'application f \mapsto p(d)f est un endomorphisme de C^{\infty }\left(\mathbb{R};K\right) qui est une homothétie de rapport p(d) pour la structure de K[d]-module.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Soit E et F deux espaces vectoriels (resp. deux modules) à gauche sur le corps (resp. l'anneau) K. L'ensemble L(E, F) des applications linéaires de E dans F est un espace vectoriel (resp. un module) sur le centre de K.
  • La composée de deux applications linéaires est linéaire. Plus précisément :
\forall f\in L(E;F),\ \forall g\in L(F;G),\quad g\circ f\in L(E;G).
  • Si E est un K-espace vectoriel (resp. un K-module libre), une application linéaire f \in L(E;F) est entièrement déterminée par l'image par f d'une base de E. Plus précisément : pour toute base (e_i)_{i\in I} de E et toute famille (f_i)_{i\in I} de vecteurs de F (indexée par le même ensemble I), il existe une unique application linéaire f de E dans F telle que pour tout indice i, f(e_i)=f_i.
  • Tout choix d'une base (e_i)_{i\in I} de E fournit une bijection de L(E;F) sur F^I, donc si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie sur un corps commutatif, alors la dimension de L(E, F) est également finie, et
\dim(L(E;F))=\dim(E)\times\dim(F).
  • Si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie (resp. des modules libres de type fini) à droite sur un corps (resp. un anneau) K, une application linéaire de E dans F se représente par une matrice dans des bases fixées dans E et F.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. David C. Lay, Algèbre linéaire, De Boeck,‎ 2004 (ISBN 978-2-80414408-1, lire en ligne), p. 77 et suivantes.
  2. Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques [détail des éditions], p. 164.
  3. (en) Michael Artin, Algebra [détail de l’édition], chap. 4.
  4. N. Bourbaki, Algèbre, chap. II, A-II-4, définition 4.
  5. Bourbaki, Algèbre, p. A-II-4, équation (5).
  6. Artin 1991, p. 109, formule (1.2).
  7. Artin 1991, p. 87, Definition 2.13.
  8. Bourbaki, Algèbre, p. A-II-6.
  9. a et b Artin 1991, p. 110, formule (1.5).
  10. a et b Bourbaki, Algèbre, p. A-II-7.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :