Calcul des variations
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En analyse fonctionnelle, le calcul des variations (ou calcul variationnel) est un ensemble de méthodes permettant de déterminer les points critiques ou les extrémales de fonctionnelles à l'aide de l'équation d'Euler-Lagrange.
L'application des théories de Galois, d'Abel et de la transformée de Laplace permit d'en faire toute une branche fructueuse des mathématiques. Elle trouve de nombreuses applications en physique mathématique, comme les principes variationnels ou la recherche de courbes ou surfaces minimales comme celles associées aux théorèmes isopérimétriques, de courbes brachistochrones et de géodésiques.
Sommaire |
Variations première et seconde [modifier]
Équation de Jacobi [modifier]
Points conjugués et condition de Legendre [modifier]
Condition de Weierstrass [modifier]
Revenons-en à l'expression de l'intégrale
et considérons un champ 
d'extrémales se composant d'une famille de ces courbes à un paramètre 
. Chacune d'elles satisfait naturellement à l'équation d'Euler-Lagrange :
.En adoptant la représentation paramétrique : 
, 
et , fonctions de 
, et décrivent des courbes 
et 
lorsque varie, et la variation de 
d'une extrémale à l'autre est[1]
![\delta W = \left[ \left( f + \frac{\partial f}{\partial y'} (Y' - y') \right) \delta x \right]_{0 \to 1}](http://upload.wikimedia.org/math/a/c/1/ac10687cdcef4d85bf0c2264b6c5b71f.png)
,où 
est le coefficient angulaire de la tangente à l'extrémale et 
celui de la tangente à la courbe ou .
Notes [modifier]
- En tenant compte de la formule
![\textstyle\delta W = [L_1\,\delta t_1]_{Q'_1P_1} - [L_0\,\delta t_0]_{Q'_0P_0} + \int_{(Q'_0, t_0)}^{(Q'_1, t_1)} L\;\mathrm dt - \int_{(Q_0, t_0)}^{(Q_1, t_1)} L\;\mathrm dt](//upload.wikimedia.org/math/b/5/9/b59df4957fe758fe0f6067d0261b39d2.png)
établie plus haut[Où ?].
![\textstyle\delta W = [L_1\,\delta t_1]_{Q'_1P_1} - [L_0\,\delta t_0]_{Q'_0P_0} + \int_{(Q'_0, t_0)}^{(Q'_1, t_1)} L\;\mathrm dt - \int_{(Q_0, t_0)}^{(Q_1, t_1)} L\;\mathrm dt](http://upload.wikimedia.org/math/b/5/9/b59df4957fe758fe0f6067d0261b39d2.png)
Voir aussi [modifier]
Bibliographie [modifier]
- H. Goldstein (1980). Classical Mechanics (Second Edition), Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts. ISBN 0-201-02969-3.
Liens externes [modifier]
- Yves Colin de Verdières, « Un principe variationnel pour les empilements de cercles », Inventiones mathematicae, Springer Verlag, vol. 104, no 1, décembre 1991, p. 655-669 (ISSN 0020-9910) [texte intégral, lien DOI]
