Demi-groupe

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Page d'aide sur l'homonymie Cet article concerne la structure algébrique. Pour les applications aux équations différentielles, voir C0-semigroup (en) ou Semi-groupes.

En mathématiques, un demi-groupe ou semi-groupe est une structure algébrique consistant en un ensemble muni d'une loi de composition interne associative. Par définition il s'agit donc d'un magma associatif. Il est dit commutatif si sa loi est de plus commutative.

Un monoïde est un demi-groupe unifère, c'est-à-dire possédant un élément neutre[1],[2].

Exemples[modifier | modifier le code]

  • L'ensemble vide.
  • L'ensemble ℕ des entiers naturels pour l'addition.
  • L'ensemble ℕ des entiers naturels pour la multiplication.
  • Tout groupe.
  • Tout pseudo-anneau est un demi-groupe pour la multiplication.
  • Tout ensemble ordonné dans lequel toute paire d'éléments possède une borne inférieure interprétée comme le produit de ces deux éléments, on obtient ainsi un demi-groupe commutatif dont tout élément est idempotent. La réciproque est vraie : soit S un tel demi-groupe et posons aRb si ab = a, alors S est partiellement ordonné par R et toute paire d'éléments possède une borne inférieure.
  • En particulier, l'ensemble des parties d'un ensemble, muni de l'union, ou muni de l'intersection, est un demi-groupe, et même un monoïde.
  • L'ensemble des mots sur un alphabet (même infini), muni de la loi de concaténation, est un demi-groupe, et même un monoïde, le mot vide étant l'élément neutre.
  • Pour tout semi-groupe S, l'ensemble des parties de S est un semi-groupe pour l'opération définie, pour des sous-ensembles A et B de S, par
A\cdot B=\{ab\mid a\in A, b\in B\}.

Adjonction d'un élément neutre[modifier | modifier le code]

Soit S un demi-groupe. Il est d'usage de noter S^1 le monoïde obtenu par l'ajout d'un élément neutre à S s'il n'en a pas déjà un. Formellement

S^1=\begin{cases}S&\text{si }S\mathrm{~contient~un~\acute el\acute ement~neutre~;}\\ S\cup\{1\}&\text{sinon.}\end{cases}

Dans le deuxième cas, 1 est un élément qui ne figure pas dans S, et la multiplication de S est étendue à S\cup\{1\} en posant

a\cdot1=1\cdot a=a pout tout a dans S\cup\{1\}.

Sous-demi-groupe[modifier | modifier le code]

Un sous-demi-groupe d'un demi-groupe S est un sous-ensemble de S fermé sous l'opération de S. Un sous-monoïde d'un monoïde M est un sous-demi-groupe de M qui contient l'élément neutre de M.

Ainsi l'ensemble ℕ des nombres naturels, muni de la multiplication, est un demi-groupe commutatif dont l'ensemble 2ℕ des nombres pairs est un sous-demi-groupe : à noter que ℕ est un monoïde avec élément neutre 1 alors que 2ℕ n'est qu'un demi-groupe.

Un sous-demi-groupe d'un monoïde M peut être un monoïde sans être un sous-monoïde de M. Par exemple dans le monoïde multiplicatif ℕ ci-dessus, le sous-demi-groupe {0} est le monoïde trivial, mais n'est pas un sous-monoïde de ℕ, car il ne contient pas l'élément neutre de ℕ.

Inverses[modifier | modifier le code]

Il existe dans les demi-groupes une notion de pseudoinverse (à comparer avec celle de matrice pseudoinverse) et une notion d'inverse (nécessairement différente de celle d'« inverse » au sens d'élément symétrique dans les groupes, puisqu'un demi-groupe ne possède pas nécessairement d'élément neutre) ; (voir aussi Inverse (homonymie)) :

x est un pseudoinverse[3] de a si axa=a.
b est un inverse de a si aba = a et bab= b.

Tout inverse est évidemment un pseudoinverse. Réciproquement, si x est un pseudoinverse de a alors[4] b=xax est un inverse de a, puisque aba = a(xax)a = (axa)(xa) = a(xa) = a et bab = (xax)ab = x(axa)b = (xa)(xax) = x(axa)x = xax = b.

Un demi-groupe régulier est un demi-groupe dans lequel tout élément admet au moins un pseudoinverse ou (ce qui, d'après ce qui précède, est équivalent) au moins un inverse.

Un demi-groupe inversif est un demi-groupe dans lequel tout élément admet un unique inverse[5].

Symétrisation[modifier | modifier le code]

Un demi-groupe S est simplifiable si, pour tout a,b,c dans S, l'égalité ab=ac implique b=c et, de même ba=ca implique b=c. Un monoïde commutatif simplifiable S peut toujours être plongé dans un groupe. Le procédé de construction est appelé la symétrisation du monoïde. On considère pour cela la relation d'équivalence notée \sim de S\times S définie, pour ( m , n ), ( p , q )\in S\times S par :

( m , n ) \sim ( p , q ) \Leftrightarrow  m + q = p + n.

Ici, la loi de S est notée additivement. On montre que l'ensemble des classes d'équivalences de S\times S pour la relation \sim est un groupe. Par identification d'un élément x de S avec la classe d'équivalence contenant (x,0) (où 0 est l'élément neutre), on plonge S dans ce groupe.

Cette construction est utilisée par exemple pour construire le groupe additif ℤ des entiers relatifs à partir du monoïde additif ℕ des entiers naturels.

Idéaux[modifier | modifier le code]

Une partie[6] I d'un demi-groupe S est un idéal à gauche (à droite) si SI\subset I, IS\subset I. C'est un idéal (bilatère) s'il est à la fois un idéal à droite et à gauche. Pour tout élément a de S, l'ensemble S^{1}a, aS^{1}, S^{1}aS^{1} est l'idéal à gauche, à droite, bilatère engendré par a. Un idéal est propre s'il est non vide et distinct du demi-groupe tout entier.

Un zéro d'un demi-groupe S est un élément 0 tel que 0s=s0=0 pout tout s dans S. Par exemple, le nombre 0 est un zéro des entiers naturels pour la multiplication. Si un demi-groupe possède un zéro, il est unique. Le zéro, s'il existe, est un idéal bilatère propre si S ne se réduit pas à cet élément.

Quotient de Rees[modifier | modifier le code]

Soit S un demi-groupe est soit I un idéal de S. Le quotient de Rees S/I de S par I est le demi-groupe quotient de S par la congruence de Rees \mathcal{J}, définie par

x\mathcal{J}y \iff x=y \text{ ou } x,y\in I.

Si I est vide, S/I=S. Si I=S, S/I est un singleton. Si I\ne\emptyset, S, on emploie la construction suivante[7] : On dénote la classe de I par 0, et on identifie les autres classes à leur unique élément. Alors S/I=(S\setminus I)\cup\{0\}, avec la mutiplication * définie comme suit : 0 est un zéro, et

x*y=\begin{cases}0&\text{si }xy\in I \\xy&\text{sinon}.\end{cases}

Le quotient de Rees est nommé ainsi d'après son concepteur, le mathématicien David Rees.

Exemple 
Dans le monoïde libre A^* engendré par un alphabet A à deux lettres au moins, on considère l'idéal des mots contenant un mot carré, c'est-à-dire l'ensemble des mots de la forme xyyz, où x, y, z sont des mots, et y n'est pas le mot vide. Le quotient de Rees est composé des mots sans carré de A^*, et d'un zéro. Si A est composé de deux lettres a et b, le quotient de Rees est fini et formé de a, b, ab, ba, aba, bab, du mot vide et du zéro. Si A a plus de deux lettres, ce quotient de Rees est infini.

Demi-groupe simple et 0-simple[modifier | modifier le code]

  • Un demi-groupe S est simple si ses seuls idéaux sont \emptyset et S.
  • Un demi-groupe S est 0-simple s'il possède un zéro noté 0, si S^2\ne\{0\} et si \emptyset, 0 et S sont ses seuls idéaux. Comme S^2 est un idéal non vide, la seule possibilité qui reste est S^2=S. Un demi-groupe 0-simple ne se réduit donc pas à son zéro.
Exemples 
Le demi-groupe bicyclique est simple. Tout groupe est simple en tant que demi-groupe.
Un 0-groupe est un demi-groupe de la forme G\cup\{0\}, où G est un groupe et où 0 est un élément qui joue le rôle d'un zéro et qui n'est pas dans G. La loi de G est donc étendue à G\cup\{0\} par 0s=s0=0 pour s dans G\cup\{0\}. On écrit en général G^0 pour G\cup\{0\}. Plus généralement, si S est un demi-groupe non vide, on note S^0 le demi-groupe avec zéro obtenu en ajoutant un zéro à S. Un 0-groupe est un demi-groupe 0-simple.

Idéal minimal[modifier | modifier le code]

Le produit I_1I_2\cdots I_n d'idéaux I_1, I_2,\ldots,I_n est un idéal contenu dans leur intersection. Il en résulte que si les idéaux I_1, I_2,\ldots,I_n ne sont pas vides, leur intersection ne l'est pas non plus.

Un idéal non vide I est minimal s'il ne contient pas d'autre idéal non vide. Ainsi, un idéal minimal, vu comme demi-groupe, est un demi-groupe simple. Comme l'intersection de deux idéaux non vides est un idéal non vide, un demi-groupe possède au plus un seul idéal minimal. L'existence d'un idéal minimal est assurée dans le cas d'un demi-groupe fini (on prend simplement l'intersection de tous les idéaux non vides).

Si un demi-groupe S possède un zéro 0, il est à lui tout seul l'idéal minimal de S. Un idéal I de S est 0-minimal s'il est non vide, différent de 0, et ne contient pas d'autre idéal non vide. Un idéal 0-minimal I, vu comme demi-groupe, est un demi-groupe 0-simple sauf si I^2=0.

Exemple 
Le demi-groupe S=\{s,t,0\} défini par xy=0 pour x, y \in S possède deux idéaux 0-minimaux, à savoir \{s,0\} et \{t,0\}.


Historique[modifier | modifier le code]

L'étude des demi-groupes, en tant que structure algébrique, commence avec des travaux russes, notamment de Anton Suschkewitsch, qui détermina en 1928 la structure des semi-groupes simples finis[8], et Evgenii Sergeevich Lyapin. Quelques années plus tard, des travaux fondateurs ultérieurs furent menés par David Rees, James Alexander Green (en), Alfred H. Clifford et Gordon Preston[9]. La théorie des demi-groupes finis s'est beaucoup développée, en liaison avec la théorie des automates, sous l'impulsion de Marcel-Paul Schützenberger et Samuel Eilenberg notamment. Elle est directement liée aux variétés de langages formels[10].

Depuis 1970 paraît un périodique consacré à la théorie des demi-groupes, appelé Semigroup Forum.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Cette définition est conforme à N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, vol. I, Paris, édition de 1970, ch. I, § 2, n° 1, déf. 2, p. I.12. Dans l'édition de 1964, « monoïde » avait un sens différent.
  2. Une certaine confusion dans la terminologie a pu exister en langue française due, en partie du moins, au fait qu'en 1904, le mathématicien français J.-A. de Séguier, dans Éléments de la Théorie des Groupes Abstraits, proposait le terme « semi-groupe » pour désigner un demi-groupe simplifiable. Cette distinction est maintenant abandonnée.
  3. Kilp, Knauer et Mikhalev 2000, page 33.
  4. Clifford et Preston 1961, Lemma 1.14.
  5. Le terme « inversif » apparaît dans G. Thierrin, « Sur les éléments inversifs et les éléments unitaires d'un demi-groupe inversif », C. R. Acad. Sci. Paris vol. 234 (1952) pp. 33-34. On dit aussi « inverse », en analogie avec le terme anglais.
  6. Howie accepte l'idéal vide, Grillet demande qu'il ne soit pas vide.
  7. Voir par exemple Grillet 1995, p. 17-18.
  8. Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit, 1928.
  9. (en) G. B. Preston, « Personal reminiscences of the early history of semigroups »,‎ 1990 (consulté le 2009-05-12).
  10. Pin 1986.

Littérature[modifier | modifier le code]

Histoire des demi-groupes
Ouvrages historiques
  • (en) Alfred H. Clifford et Gordon B. Preston, The algebraic theory of semigroups, vol. I, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Mathematical Surveys » (no 7-Part I),‎ 1961, xv+224 p. (ISBN 978-0-8218-0271-2[à vérifier : isbn invalide])
  • (en) Alfred H. Clifford et Gordon B. Preston, The algebraic theory of semigroups, vol. II, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Mathematical Surveys » (no 7-Part II),‎ 1967, xv+350 p. (ISBN 978-0-8218-0272-4)
  • (en) Evgueni S. Lyapine, Semigroups, American Mathematical Society, coll. « Translations of Mathematical Monographs » (no 3),‎ 1963
    Deux autres éditions suivent, une première en 1968 avec un chapitre additionnel, et une deuxième, en 1974, avec un autre chapitre en plus.
Ouvrages classiques
  • (en) John M. Howie, Fundamentals of semigroup theory, Oxford University Press, coll. « London Mathematical Society Monographs. New Series » (no 12),‎ 1995, x+351 p. (ISBN 0-19-851194-9)
  • (en) Pierre Antoine Grillet, Semigroups : An introduction to the structure theory, Marcel Dekker, coll. « Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics » (no 193),‎ 1995, xii+398 p. (ISBN 0-8247-9662-4)
  • Gérard Lallement, Semigroups and combinatorial applications, John Wiley & Sons, coll. « Pure and Applied Mathematics »,‎ 1979, xi+376 p. (ISBN 0-471-04379-6)
  • (en) Jean-Éric Pin, Varieties of Formal Languages, Plenum Press,‎ 1986
Ouvrages récents
  • (en) Mati Kilp, Ulrich Knauer et Alexander V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories. : with Applications to Wreath Products and Graphs, Walter de Gruyter, coll. « De Gruyter Expositions in Mathematics » (no 29),‎ 2000, xviii+529 p. (ISBN 3-11-015248-7)
  • (en) Attila Nagy, Special classes of semigroups, Kluwer Academic Publishers, coll. « Advances in Mathematics (Dordrecht) » (no 1),‎ 2001, viii+269 p. (ISBN 0-7923-6890-8, résumé)

Articles connexes[modifier | modifier le code]