Théorème de Fréchet-Kolmogorov

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Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec Théorème de Fréchet-Riesz.

En analyse fonctionnelle, le théorème de Fréchet-Kolmogorov (noms auxquels on adjoint parfois Riesz et/ou Weil) donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble de fonctions soit relativement compact dans l'espace Lp. Il constitue une variante Lp du théorème d'Ascoli, dont il peut se déduire.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient p\in[1,\infty[ et B\subseteq L^p(\mathbb{R}^n).

Le sous-ensemble B est relativement compact si et seulement si les trois propriétés suivantes ont lieu simultanément :

  1. B est borné,
  2. \lim_{r\to\infty}\int_{|x|>r}\left|f\right|^p=0 uniformément sur B,
  3. \lim_{a\to 0}\Vert\tau_a f-f\Vert_{L^p(\mathbb{R}^n)} = 0 uniformément sur B, où \tau_a f désigne la translatée de f par a, c'est-à-dire \tau_a f(x)=f(x-a).

Références[modifier | modifier le code]