Inégalité de Cauchy-Schwarz

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En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz[1], ou encore inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz[2], se rencontre dans de nombreux domaines tels que l'algèbre linéaire, l'analyse avec les séries et en intégration.

Cette inégalité s'applique dans le cas d'un espace vectoriel sur le corps des nombres réels ou complexes muni d'un produit scalaire. Dans le cas complexe, le produit scalaire désigne une forme hermitienne définie positive. Son contexte général est donc celui d'un espace préhilbertien.

Cette inégalité possède de nombreuses applications, comme le fait d'établir l'inégalité triangulaire montrant que la racine carrée de la forme quadratique associée au produit scalaire est une norme, ou encore que le produit scalaire est continu. Elle fournit des justifications ou des éclairages dans des théories où le contexte préhilbertien n'est pas central.

Elle doit son nom à Viktor Bouniakovski, Augustin Louis Cauchy[3] et Hermann Amandus Schwarz[4].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Le théorème s'énonce couramment de la façon suivante :

Théorème 1 — Soit (E, 〈⋅, ⋅〉) un espace préhilbertien réel ou complexe. Alors, pour tous vecteurs x et y de E,

 |\langle x,y\rangle|\leqslant \|x\|\ \|y\|.

De plus, les deux membres sont égaux si et seulement si x et y sont linéairement dépendants.

Démonstrations[modifier | modifier le code]

Les démonstrations présentées ici sont valables aussi bien dans le cadre d'un espace préhilbertien complexe que réel, sauf bien sûr la dernière.

Lorsque y = 0, l'énoncé est clairement vrai, par conséquent on supposera y non nul.

En outre, pour la première démonstration, qui est la plus connue, on suppose que le nombre 〈x, y〉 est réel. On obtient la généralisation du cas étudié par multiplication du vecteur x (ou y) par un nombre complexe convenable de module égal à 1. Ceci étant, 〈x, y〉 devient réel sans changer de module ; ║x║ et ║y║ ne varient pas non plus[5].

Inégalité[modifier | modifier le code]

Posons, pour tout réel t,

P(t)=\|\,x+ty\,\|^2=\|\,x\,\|^2+2t\langle x,y\rangle+ t^2\|\,y\,\|^2.

Comme y est non nul et le produit scalaire défini, ║y2 est non nul également. Par construction, cette expression polynomiale du second degré est positive ou nulle pour tout réel t. On en déduit que son discriminant est négatif ou nul :

 4 \langle x,y\rangle^2 - 4 \|\,x\,\|^2\|\,y\,\|^2\le 0,

d'où l'inégalité annoncée.

Une variante plus directe est de poser

t_0=-\langle x,y\rangle/\|\,y\,\|^2

et d'utiliser que

0\le P(t_0)=\|\,x\,\|^2-\langle x,y\rangle^2/\|\,y\,\|^2.

(Ce t0 n'est autre que la valeur en laquelle P atteint son minimum, mais cette propriété n'est pas utilisée.)

Cas d'égalité[modifier | modifier le code]

Si (x, y) est lié alors x = λy pour un certain scalaire λ et l'on en déduit immédiatement :

|\langle x,y\rangle|=|\lambda|\ \|\,y\,\|^2=\|\,x\,\|\ \|\,y\,\|.

Réciproquement, si |〈x, y〉| = ║x║║y║ alors le discriminant ci-dessus est nul donc P admet une racine réelle (double) t, et pour ce t on a

\|\,x+ty\,\|^2=P(t)=0,

donc x = –ty, si bien que (x, y) est lié.

Ou plus directement (avec le t0 de la variante ci-dessus) : l'hypothèse équivaut à P(t0) = 0 donc à x = –t0y.

Variante géométrique[modifier | modifier le code]

Une variante[6] utilise l'identité du théorème de Pythagore.

Si y est non nul, un calcul direct permet de voir que pour λ = 〈x, y〉/║y2, les vecteurs λy et x – λy sont orthogonaux. Alors, par le théorème de Pythagore on a :

\|x \|^2= \|\lambda y \|^2+ \|x-\lambda y \|^2\ge \|\lambda y \|^2=|\langle x,y\rangle |^2/ \|y \|^2,

qui donne l'inégalité souhaitée.

Cette démonstration consiste en fait[6] à calculer la norme du projeté orthogonal du vecteur x sur la droite vectorielle engendrée par y. L'égalité correspond donc au cas où x et y sont linéairement dépendants.

Le cas particulier ℝn[modifier | modifier le code]

Dans l'espace euclidien ℝn muni du produit scalaire usuel\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^nx_iy_i, où x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n et y=(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{R}^n, une alternative aux démonstrations générales ci-dessus est de déduire l'inégalité (et le cas d'égalité) d'une identité très similaire à celle de la variante géométrique, l'identité de Lagrange, qui s'écrit :

\langle x,y\rangle^2+\sum_{1\le i<j\le n}(x_iy_j-x_jy_i)^2= \|x\|^2\ \|y\|^2.

Conséquences et applications[modifier | modifier le code]

Conséquences[modifier | modifier le code]

L'inégalité de Cauchy-Schwarz a des applications importantes. Elle permet notamment de montrer que l'application x\mapsto\sqrt{\langle x,x\rangle} est une norme car elle vérifie l'inégalité triangulaire. Une conséquence est que le produit scalaire est une fonction continue pour la topologie induite par cette norme.

Elle permet également de définir l'angle non orienté entre deux vecteurs non nuls d'un espace préhilbertien réel, par la formule :

\cos\widehat{(x,y)}=\frac{\langle x,y\rangle}{\|x\| \|y\|}.

Dans le cas de l'espace euclidienn muni du produit scalaire canonique, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :

\left|\sum_{i=1}^n x_{i}y_{i}\right|\leqslant\left (\sum_{i=1}^n x_{i}^{2}\right)^{1/2}\left (\sum_{i=1}^n y_{i}^{2}\right)^{1/2}.

Dans le cas des fonctions mesurables à valeurs complexes de carré intégrable[7], elle s'écrit

\left|\int f\overline g\, \right| \leqslant \left( \int  |f|^2\,\right)^{1/2}\left( \int |g|^2\, \right)^{1/2}.

Cette inégalité est un cas particulier des inégalités de Hölder.

Autres applications[modifier | modifier le code]

Généralisation[modifier | modifier le code]

L'inégalité seule est vraie dans le contexte un peu plus général d'un semi-produit scalaire (i.e. sans supposer que la forme quadratique associée est définie), en notant encore ║∙║ la semi-norme associée :

Théorème 2[10] — Soit (E, 〈⋅, ⋅〉) un espace vectoriel réel (resp. complexe) muni d'une forme bilinéaire symétrique positive (resp. d'une forme hermitienne positive). Alors, pour tous vecteurs x et y de E ,

 |\langle x,y\rangle|\leqslant \|x\|\ \|y\|.

Pour démontrer ce théorème 2, il suffit[10] de reprendre la preuve de l'inégalité du théorème 1 ci-dessus, en traitant à part le cas ║y║ = 0 (qui peut arriver ici car la forme quadratique n'est pas forcément définie). Dans ce cas, la positivité de P(t) rend nul 〈x, y〉 et l'inégalité tient aussi.

Cette inégalité fournit le corollaire suivant.

Corollaire[10] — Pour qu'une forme bilinéaire symétrique positive (resp. une forme hermitienne positive) soit définie, (il faut et) il suffit qu'elle soit non dégénérée.

En effet, si la forme 〈⋅, ⋅〉 est positive et non dégénérée et si x est un vecteur de semi-norme nulle, le théorème 2 montre que pour tout vecteur y on a x, y〉 = 0 donc, par non dégénérescence, x = 0.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. On trouve par exemple cette expression chez S. Lang, Analyse Réelle, InterEditions, Paris, 1977 (ISBN 2729600595), p. 148.
  2. Par exemple (en) O. A. Ladyzhenskaya, The boundary value problems of mathematical physics, Springer-Verlag, 1985 (ISBN 3-540-90989-3), p. 2.
  3. Augustin Louis Cauchy, Œuvres 2 III, 1821, p. 373.
  4. (de) Hermann Amandus Schwarz, « Über ein die Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung » Acta Societatis scientiarum Fennicae, vol. 15, 1888, p. 318 [lire en ligne].
  5. A Kirillov et A. Gvichiani, Théorèmes et problèmes d'analyse fonctionnelle, éd. Mir, 1982, p. 88.
  6. a et b (en) Michael C. Reed (de) et Barry Simon (en), Functional Analysis.
  7. f et g sont vues comme éléments de l'espace de Lebesgue L2 ou ℒ2, selon qu'on applique le théorème 1 énoncé en début d'article ou le théorème 2 du paragraphe Généralisation.
  8. Francine et Marc Diener, Chapitre 5 Expression et mesure de l'interdépendance, p. 27 [lire en ligne].
  9. Laurent Albera, Résumé de cours en calcul des probabilités (JJ bellanger), Université de Rennes I, III Espérance mathématique, p. 6-7 [lire en ligne].
  10. a, b et c Roger Godement, Cours d'algèbre, Hermann (1966) p. 476-477 (Selon cet auteur, l'inégalité de Cauchy-Schwarz n'est pas le théorème 1 — qu'il ne mentionne même pas — mais le théorème 2.)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]