Structure algébrique

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En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est un type particulier de structure. Sa spécificité par rapport aux autres types de structure est d'être formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement complétées par un ordre ou une topologie, le tout satisfaisant un certain nombre d'axiomes.

Les structures algébriques peuvent être examinées à l'aide de l'algèbre universelle, qui en exhibe un modèle universel. Leurs propriétés communes y sont traitées de manière unifiée, ce qui évite de recommencer leur étude à chaque nouveau type rencontré. Il n'en demeure pas moins utile de dresser une liste des structures algébriques usuelles et de les classer. C'est précisément l'objet de cet article.

Structures algébriques pures[modifier | modifier le code]

Ces structures ne comportent que des lois de composition.

Structures de base[modifier | modifier le code]

Elles ne comportent que des lois de composition internes. On peut notamment citer les structures de groupe, d’anneau et de corps commutatif.

Structures à une loi interne[modifier | modifier le code]

Ce sont les structures algébriques les plus simples.

  • Magma : un ensemble muni d'une loi interne. Les magmas sont parfois appelés groupoïdes, mais ce terme de groupoïde a un autre sens en théorie des catégories.
  • Quasigroupe : un magma tel que Chaque élément du magma apparaît une et une seule fois dans chaque ligne et chaque colonne de la table de sa loi.
(Ainsi, la table de la loi d'un quasigroupe fini est un carré latin).

Structures à deux lois internes[modifier | modifier le code]

Ces structures comportent deux lois de composition internes. Il est d'usage courant de qualifier d'additive la première loi et de multiplicative la seconde. Autrement dit, le premier opérateur est nommé addition (souvent noté \oplus pour le distinguer de l'addition usuelle) ; et le second est nommé multiplication ou produit (souvent noté \otimes). La seconde loi est distributive à droite et à gauche par rapport à la première loi.

  • Demi-anneau : un ensemble muni de deux structures de monoïde et où la multiplication est distributive par rapport à l'addition et où l'élément neutre de l'addition est absorbant pour la multiplication[1]. Un demi-anneau est aussi appelé semi-anneau.
  • Anneau : un pseudo-anneau dont la loi multiplicative est associative et unifère (c'est donc un monoïde pour la multiplication). C'est encore un demi-anneau où l'addition crée une structure de groupe abélien. Certains auteurs appellent anneau ce que l'on a appelé pseudo-anneau et appellent anneau unitaire ce que l'on a appelé anneau.
  • Anneau intègre: un anneau commutatif non nul et sans diviseur de zéro, c’est-à-dire que tout élément non nul de l'anneau est régulier pour la multiplication.
  • Corps : un anneau où l’élément neutre de l’addition n’est pas celui de la multiplication et où tout élément non nul a un inverse multiplicatif. À cause de l’influence anglaise (voir ci-dessous), un corps est souvent considéré comme implicitement commutatif, alors que dans la tradition française, il ne l'est pas nécessairement. Pour éviter toute ambiguïté, il vaut mieux indiquer :
    • « corps commutatif » pour un corps effectivement commutatif,
    • et « corps commutatif ou non », ou « corps quelconque », pour un corps non nécessairement commutatif. Un corps « en principe » non commutatif est appelé un corps gauche.

Structures à opérateurs externes[modifier | modifier le code]

Ces structures peuvent être considérées d’un point de vue algébrique ou géométrique.

Algébriquement, une structure externe est un ensemble muni d’une loi de composition externe sur une structure de base, et éventuellement d’une ou plusieurs lois de composition interne.

Géométriquement, c’est un ensemble E sur lequel agit un ensemble-opérateur S, encore appelé ensemble des opérateurs ou scalaires. Pour cela, l'ensemble E est muni d’une action, c’est-à-dire d’une application de S dans EE (ensemble des transformations de E, c'est-à-dire des applications de E dans E).

La correspondance entre les actions et les lois externes est bijective; c’est pourquoi les lois externes sont souvent appelées lois d’action.

Espaces homogènes[modifier | modifier le code]

Ces structures ne comportent qu'une seule loi, qui est externe, un exemple est :

Moduloïdes[modifier | modifier le code]

Structures possédant à la fois une loi de composition interne et une loi de composition externe.

  • Module sur un anneau, on distingue les modules à gauche et à droite sur un anneau non commutatif.
  • Espace vectoriel (sur un corps) : module sur un corps K, on doit distinguer également les espaces vectoriels à gauche et à droite si le corps n'est pas commutatif.
  • Espace affine (sur un corps) : espace homogène d'un espace vectoriel sur un corps K.

Algèbres[modifier | modifier le code]

Structures possédant deux lois internes et une loi externe.

  • Algèbre (sur un anneau commutatif) : un module (ou un espace vectoriel) muni en plus d’une loi de composition interne bilinéaire.
  • Algèbre associative : une algèbre (sur un anneau commutatif) dont la multiplication est associative.
  • Algèbre associative unitaire : une algèbre associative ayant un élément neutre pour la multiplication.
  • Algèbre commutative : une algèbre dont la multiplication est commutative.

Bialgèbres[modifier | modifier le code]

Structures possédant deux lois internes, une loi externe, et une loi "duale" de l'une des deux lois internes.

Structures algébriques ordonnées[modifier | modifier le code]

Groupes ordonnés et anneaux ordonnés[modifier | modifier le code]

On s'intéresse ici aux structures algébriques compatibles avec une relation d'ordre.

  • Un anneau ordonné est un anneau commutatif muni d'une relation d'ordre pour laquelle il est groupe ordonné pour l'addition et tel que le produits de deux éléments supérieurs ou égaux à 0 sont supérieurs ou égaux à 0.

Treillis[modifier | modifier le code]

Ensembles munis de deux lois internes, qui peuvent aussi s’interpréter comme la borne supérieure et la borne inférieure des couples au sens des relations d'ordre.

  • Treillis : un ensemble muni de deux lois de composition internes commutatives, associatives et idempotentes satisfaisant la loi d’absorption.

Structures algébriques topologiques[modifier | modifier le code]

Structures et topologies, distances, normes ou produits scalaires[modifier | modifier le code]

Les structures algébriques peuvent également posséder des caractéristiques additionnelles topologiques.

Ainsi, en allant du général au particulier (topologie > distance > norme > produit scalaire) :

  • Une structure algébrique peut être munie d'une topologie, devenant ainsi un espace topologique pour lequel chacune de ses lois externes et internes sont continues.
  • Un demi-groupe topologique est un demi-groupe muni d'une topologie rendant continue sa loi de composition interne.
  • Un monoïde topologique est un demi-groupe topologique unifère. C'est aussi un monoïde muni d'une topologie rendant continue sa loi de composition interne.
  • Un groupe topologique est un groupe muni d'une topologie rendant continue sa loi de composition interne, ainsi que l'application qui à tout élément du groupe associe son inverse.
  • Un anneau topologique est un anneau muni d'une topologie pour laquelle le groupe additif sous-jacent est un groupe topologique et le monoïde multiplicatif sous-jacent est un monoïde topologique.
  • Un corps topologique est un corps muni d'une topologie qui en fait un anneau topologique et pour laquelle le groupe multiplicatif des éléments non nuls est un groupe topologique.
  • Un corps valué est un corps (commutatif ou non) muni d'une valeur absolue. C'est un corps topologique pour la topologie définie par cette valeur absolue.
  • Un module topologique sur un anneau topologique A est un module sur A muni d'une topologie pour laquelle il est un groupe topologique et pour laquelle la loi externe est continue.
  • Un espace vectoriel topologique sur un corps topologique (par exemple le corps des nombres réels ou le corps des nombres complexes) est un module topologique sur ce corps topologique.
  • Une algèbre topologique sur un anneau topologique commutatif A est une algèbre sur cet anneau topologique A, munie d'une topologie pour laquelle elle est un module topologique sur A et pour laquelle la multiplication est continue.
  • Les espaces semi-normés (ou espaces vectoriels semi-normés) sont des espaces vectoriels réels ou complexes (ou sur un corps valué non discret) munis d'une semi-norme. Les espaces semi-normés sont des espaces pseudométriques, car il est toujours possible de construire un écart à partir d’une semi-norme : on prend comme écart entre deux vecteurs la semi-norme de leur différence.
  • Un cas important est celui des espaces vectoriels possédant une norme, qui définit la « longueur » d’un vecteur :
  • Les espaces normés (ou espaces vectoriels normés) sont des espaces vectoriels réels ou complexes (ou sur un corps valué non discret) munis d'une norme. Les espaces normés sont des espaces métriques, car il est toujours possible de construire une distance à partir d’une norme : on prend comme distance entre deux vecteurs la norme de leur différence.
  • Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet.
  • Un espace affine normé est un espace affine attaché à un espace vectoriel normé. C'est un espace métrique : il est possible de définir la distance entre deux points comme la norme du vecteur qui va du premier point au second.
  • Les espaces préhilbertiens sont des espaces vectoriels réels ou complexes munis d'un produit scalaire. Ces espaces vectoriels sont des espaces normés : la norme d'un vecteur y est la racine carrée de son carré scalaire. Quelques cas importants ont reçu un nom :

Structures et géométrie différentielle et algébrique[modifier | modifier le code]

  • Un groupe de Lie réel ou complexe est un groupe muni d'une structure de variété analytique réelle ou complexe (ou de variété différentielle dans le réel, c'est suffisant) pour laquelle la loi de composition est analytique (ou indéfiniment différentiable dans le cas réel), ainsi que l'appelle qui à un élément associe son inverse. Les groupes de Lie réels et complexes sont des groupes topologiques. Un groupe topologique est le groupe topologique sous-jacent à au plus un groupe de Lie réel, et ainsi on peut dire, sans ambiguïté, que certains groupes topologiques sont des groupes de Lie réels. On peut aussi définir les groupes de Lie sur un corps valué complet commutatif K dont la valeur absolue est non triviale (en particulier sur le corps des nombres p-adiques) en remplaçant les variétés analytiques réelles ou complexes par les variétés K-analytiques.

Structures algébriques et catégories[modifier | modifier le code]

Toute structure algébrique possède sa propre notion d’homomorphisme, une application compatible avec ses lois de composition. En ce sens, toute structure algébrique définit une catégorie.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. cette dernière propriété disparait dans la définition de l'anneau car elle est automatiquement vérifiée.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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