Espace séparable

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En mathématiques, et plus précisément en topologie, un espace séparable est un espace topologique contenant un sous-ensemble dénombrable et dense, c'est-à-dire si l'on peut trouver un ensemble dénombrable de points dont l'adhérence est égale à l'espace topologique tout entier.

Sommaire

[modifier] Lien avec les espaces à base dénombrable

Article détaillé : espace à base dénombrable.

Tout espace métrisable séparable est un espace à base dénombrable et a donc au plus la puissance du continu. Sont de ce type la plupart des espaces usuels. Être à base dénombrable est une propriété beaucoup plus forte, et bien plus intéressante, qu'être séparable.

L'hypothèse de séparabilité se retrouve abondamment dans les résultats d'analyse fonctionnelle.

Un sous-espace d'un espace séparable n'est pas en général séparable. Par contre, un sous-espace d'un espace à base dénombrable est encore à base dénombrable. A fortiori, par ce qui précède, un sous-espace d'un espace métrisable séparable est encore métrisable séparable. Mais il est possible de donner une démonstration directe de cette seconde assertion sans utiliser l'équivalence entre métrisable séparable et à base dénombrable.

Soit X est un espace métrique séparable, et soit A est un sous-espace de X. On va construire une suite dense dans A. Choisissons (x_n)_{n\in\N} une suite dense dans X, et supposons que la topologie de X soit définie par une distance d. Pour tous entiers n et m (avec m non nul), fixons, s'il en existe, un point an,m de A vérifiant d(a_{n,m},x_n)<\frac 1m . Soit a un point de A, et soit ε un nombre de l'intervalle ]0,1] . Par définition de la suite (x_n)_{n\in\N}, il existe un entier n suffisamment grand pour lequel on a d(x_n,a)<\frac \epsilon 3 . L'intervalle \left]\frac 3 {2\epsilon},\frac 3 \epsilon\right[ , de longueur supérieure à \frac 3 2 , contient au moins un nombre entier. Soit m un entier de \left]\frac 3 {2\epsilon},\frac 3 \epsilon\right[ , on a \frac 1 m \in \left]\frac \epsilon 3,\frac {2\epsilon} 3\right[ . On a d(x_n,a)<\frac \epsilon 3 < \frac 1 m . L'ensemble \left\{y \in A / d(y,x_n)<\frac 1m \right\} est non vide (puisqu'il contient le point a), et contient donc bien un point an,m . Et on a alors : d(a_{n,m},a)\le d(a_{n,m},x_n)+d(x_n,a)<\frac 1 m + \frac \epsilon 3 < \frac {2\epsilon} 3 + \frac \epsilon 3 = \epsilon .

La suite dénombrable (an,m) est donc bien dense dans A.

[modifier] Exemples

[modifier] L'ensemble \R des nombres réels

L'ensemble \mathbb{R} des nombres réels, muni de sa topologie usuelle, est séparable car \mathbb{Q} y est dense et de cardinal dénombrable.

[modifier] Espace métrique précompact

Tout espace métrique précompact est séparable.

Il existe de très gros espaces compacts non métrisables mais néanmoins séparables ; c'est le cas du compactifié de Stone-Cech de N qui a même puissance que l'ensemble des parties de R.

[modifier] Espaces de Lebesgue

Pour 1 \le p < \infty, l'espace L^p(\mathbb R) des fonctions dont la puissance p est intégrable, est séparable. Par contre, l'espace L^\infty(\mathbb R) des fonctions essentiellement bornées ne l'est pas.

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