Théorème de Banach-Schauder

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Page d'aide sur l'homonymie Ce « théorème de l'application ouverte » ne doit pas être confondu avec le théorème de l'image ouverte, qui est un résultat d'analyse complexe.

En analyse fonctionnelle, le théorème de Banach-Schauder, également appelé théorème de l'application ouverte est un résultat fondamental qui affirme qu'une application linéaire continue surjective entre deux espaces de Banach (ou plus généralement : deux espaces vectoriels topologiques complètement métrisables) est ouverte. C'est une conséquence importante du théorème de Baire, qui affirme que dans un espace métrique complet, toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. Sous sa forme originelle, ce théorème a été démontré en juin 1929 par Juliusz Schauder[1], à partir du théorème de l'isomorphisme que Stefan Banach avait établi peu avant[2].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient E et F deux espaces vectoriels complètement métrisables (ou, ce qui est équivalent : métrisables et complets) sur un corps valué non discret (par exemple sur le corps des réels ou des complexes, auquel cas E et F sont des espaces de Fréchet s'ils sont localement convexes) et f une application linéaire continue de E vers F.

Si f est surjective, alors f est ouverte[3], c'est-à-dire que l'image par f de tout ouvert de E est un ouvert de F.

Dans le cas où E et F sont des espaces de Banach, dire que f est ouverte équivaut (par linéarité) à

\exists C>0,B_F(0,1)\subset f(B_E(0,C)).

Démonstration[modifier | modifier le code]

Pour plus de simplicité, la démonstration n'est faite ci-dessous que dans le cas où E et F sont des espaces de Banach.

On introduit les fermés suivants :

F_n = \overline{f(B_E(0,n))}

Comme f est surjective, on dispose de l'égalité :

F = \bigcup_{n \in\N} F_n

F est métrisable et complet, en particulier il vérifie la propriété de Baire, donc un de ces fermés, F_N est d'intérieur non vide : il contient une boule B_F(y,\eta).

Le fermé F_{2N} contient donc la boule B_F(0, \eta). Par homogénéité de f, on dispose ainsi d'un entier M tel que :

B_F(0,1) \subset \overline{f(B_E(0,M))}

Il ne reste plus qu'à faire « sauter la barre », et c'est ici que l'hypothèse supplémentaire suivant laquelle E et F sont des espaces de Banach intervient[4]. Par homogénéité de f, on déduit du résultat qui précède que :

\forall n \in\N, B_F(0,1/2^n) \subset \overline{f(B_E(0,M/2^n))}

Montrons que B_F(0,1) \subset f(B_E(0,2M)). Pour cela, donnons-nous un z \in B_F(0,1)

  • Il existe x_0 de norme inférieure (strictement) à M tel que z_1 = z - f(x_0) soit de norme inférieure à 1/2.
  • Il existe x_1 de norme inférieure à M/2 tel que z_2 = z_1 - f(x_1) soit de norme inférieure à 1/4.

On construit par récurrence une suite (x_n) de points de E telle que \|x_n\| \leq M/2^n et z_n = z - f(x_0 + \cdots + x_n) soit de norme inférieure à 1/2^{n+1}.

La série \sum x_n est absolument convergente, donc comme E est un espace de Banach, elle converge. De plus,

\left\|\sum_{n=0}^{+ \infty}x_n\right\|\le\sum_{n = 0}^{+\infty}\|x_n\|<M\sum_{n=0}^{+\infty}\frac1{2^n}=2M

et, par passage à la limite :

z=f\left(\sum_{n=0}^{+\infty} x_n\right)\in f(B_E(0,2M)),

ce qu'il fallait démontrer.

Conséquences[modifier | modifier le code]

Théorème de l'isomorphisme de Banach[modifier | modifier le code]

Le théorème de Banach-Schauder a une conséquence immédiate mais fondamentale, appelée théorème de l'isomorphisme de Banach, théorème de Baire-Banach ou plus simplement théorème de Banach, déjà évoqué :

Si f est une application linéaire bijective continue entre deux espaces vectoriels métrisables et complets sur un corps valué non discret, alors f est un homéomorphisme.

Théorème de l'homomorphisme de Banach[modifier | modifier le code]

Soit E et F deux espaces vectoriels topologiques et u une application linéaire continue de E dans F. On sait qu'il existe un isomorphisme algébrique \bar{u}:E/\ker \left( u\right) \tilde{\rightarrow}u\left( E\right) . Cet isomorphisme est continu (autrement dit, c'est un morphisme d'espaces vectoriels topologiques). Si de plus \bar{u} est un homéomorphisme, on dit que u est un homomorphisme d'espaces vectoriels topologiques (ou, pour employer le langage des catégories, un morphisme strict dans la catégorie des espaces vectoriels topologiques). L'application linéaire continue u est un morphisme strict si, et seulement si elle est une application ouverte de E dans u\left( E\right) . Le théorème suivant a été obtenu par Stefan Banach lorsque E et F sont des espaces de Fréchet [5] :

Si E et F sont deux espaces vectoriels métrisables et complets sur un corps valué non discret, alors une application linéaire continue u de E dans F est un morphisme strict si, et seulement si u\left( E\right) est fermé dans F.

La condition est nécessaire, car si u est un morphisme strict, E/\ker \left( u\right) et u\left( E\right) sont des espaces vectoriels topologiques isomorphes. Or, E/\ker \left( u\right) est complet[6], donc u\left( E\right) l'est aussi et il est fermé dans F. La condition est suffisante, car si u\left( E\right) est fermé dans F, c'est un espace vectoriel métrisable et complet. Donc u, qui est une application linéaire continue surjective de E dans u\left( E\right) , est ouverte de E dans u\left( E\right) d'après le théorème de Banach-Schauder, et est donc un morphisme strict.

Le théorème de l'isomorphisme de Banach est un cas particulier du théorème de l'homomorphisme (si u est continue et bijective de E dans F, alors son image, qui est égale à F, est fermée dans F, et le théorème de l'homomorphisme implique que u est un homéomorphisme).

Théorème du graphe fermé[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème du graphe fermé.

Le théorème de l'isomorphisme de Banach permet de démontrer un puissant critère de continuité des applications linéaires entre deux espaces vectoriels métrisables et complets sur un corps valué non discret, il s'agit du théorème du graphe fermé, également dû à Banach[7] :

Soit E et F deux espaces vectoriels métrisables et complets sur un corps valué non discret, et f une application linéaire de E dans F. f est continue si et seulement si son graphe est une partie fermée de E \times F.
Plus généralement, soit E et F deux espaces vectoriels topologiques sur un corps valué non discret K. On suppose que E est métrisable et complet. On suppose également qu'il existe un suite \left( F_{n}\right) d'espaces vectoriels métrisables et complets sur K et, pour tout n, une application linéaire injective continue v_{n} de F_{n} dans F telle que F soit la réunion des sous-espaces v_{n}\left( F_{n}\right). Soit alors u une application linéaire de E dans F. Elle est continue si (et, si F est séparé, seulement si) son graphe est une partie fermée de E \times F, et dans ce cas il existe un entier n tel que u\left( E\right) \subset v_{n}\left( F_{n}\right)[8].

La démonstration du théorème du graphe fermé à partir du théorème de l'isomorphisme de Banach figure à l'article Théorème du graphe fermé. On a démontré ci-dessus le théorème de l'isomorphisme de Banach à partir du théorème de Banach-Schauder.

Réciproquement, on peut démontrer le théorème de Banach-Schauder à partir du théorème du graphe fermé en procédant comme suit. Soit E et F deux espaces vectoriels métrisables et complets sur un corps valué non discret K, et f une application linéaire continue surjective de E sur F. Écrivons f=\bar{f}\circ \pi\pi :E\twoheadrightarrow E/\ker \left( f\right) est la surjection canonique et où \bar{f} est un isomorphisme algébrique de E/\ker \left( f\right) sur F. Par définition de la topologie quotient, \bar{f} est continue et pour tout ouvert \Omega de E, \pi \left( \Omega \right) est un ouvert de E/\ker \left( f\right). Enfin, E/\ker \left( f\right) est un espace vectoriel métrisable et complet sur K (voir supra). Puisque \bar{f} est continue, son graphe est fermé, donc celui de \bar{f}^{-1} l'est également, par conséquent \bar{f}^{-1} est continue d'après le théorème du graphe fermé. Par suite, \bar{f}\left( \pi \left( \Omega \right) \right) =f\left( \Omega \right) est un ouvert de F, ce qui montre que f est ouverte.

On notera qu'on a montré ci-dessus que du théorème du graphe fermé on déduit le théorème de l'isomorphisme, et que de ce dernier on déduit le théorème de Banach-Schauder. Finalement, sous les hypothèses considérées, les énoncés de tous ces théorèmes sont équivalents : ceux du théorème de Banach-Schauder, du théorème de l'isomorphisme de Banach, du théorème de l'homomorphisme de Banach, et du théorème du graphe fermé.

Théorème fondamental de Banach[modifier | modifier le code]

Tous les résultats qui précèdent se déduisent du théorème fondamental de Banach ci-dessous, dont la démonstration est un peu plus longue que celle qui a été donnée plus haut du théorème de Banach-Schauder[9],[10] :

Si E et F sont deux espaces vectoriels métrisables et complets sur un corps valué non discret et u est une application linéaire continue de E dans F, alors ou bien u est un morphisme strict surjectif ou bien, u(E) est un sous-ensemble maigre de F.

Voyons comment on démontre le théorème de Banach-Schauder à partir de ce théorème fondamental : soit E et F vérifiant les propriétés indiquées, et u une application linéaire surjective de E dans F. Puisque u(E)=F, u(E) n'est pas maigre d'après le théorème de Baire, donc u est un morphisme strict.

Supplémentaire topologique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Supplémentaire topologique.

Dans un espace vectoriel topologique, deux sous-espaces supplémentaires algébriques sont dits supplémentaires topologiques lorsque les projecteurs associés sont continus. Une condition nécessaire pour cela est que les deux sous-espaces soient fermés. Dans le cas par exemple d'un espace de Fréchet, elle est suffisante[11]. On peut le démontrer directement, ou le voir comme une corollaire du cas particulier suivant du théorème de Banach-Schauder (où l'on ne suppose pas que la somme est directe) :

  • Soient E un espace vectoriel topologique métrisable et complet sur un corps valué non discret et M, N deux sous-espaces fermés de somme fermée. Alors, l'application somme
    M\times N\to M+N
    est ouverte.

Cette conclusion se traduit, lorsque E est un espace de Banach, par l'existence d'une constante C > 0 telle que pour tout wM + N, il existe mM et nN tels que

w=m+n\quad\text{et}\quad\max(\|m\|,\|n\|)\le C\|w\|.

On peut en déduire le corollaire suivant, utilisé par exemple pour démontrer des propriétés d'orthogonalité dans un espace de Banach[12],[13] :

d(x,M\cap N) \le D\Big(d(x,M)+d(x,N)\Big).

Variantes dans le cas localement convexe[modifier | modifier le code]

Nous considérons ci-dessous le cas où E et F sont des espaces vectoriels topologiques localement convexes sur le corps des réels ou des complexes. Il convient tout d'abord de donner quelques définitions.

Définitions[modifier | modifier le code]

  • Soit G un espace topologique. Un sous-ensemble S de G est dit séquentiellement fermé si pour toute suite (sn) d'éléments de S convergeant dans G vers un élément s, on a sS. Tout sous-ensemble fermé de G est séquentiellement fermé. Les espaces G pour lesquels la réciproque est vraie sont appelés les espaces séquentiels. Les espaces métrisables en font partie.
  • Un espace topologique G est dit de Baire si pour toute suite (F_{n}) de fermés d'intérieur vide, leur réunion est d'intérieur vide.
  • Un espace localement convexe est dit convexe-Baire si pour toute suite (F_{n}) de fermés convexes d'intérieur vide, leur réunion est d'intérieur vide[14]. Un espace localement convexe qui est un espace de Baire est donc un espace convexe-Baire (la réciproque étant fausse en général). En particulier, un espace de Fréchet est convexe-Baire.
  • Un espace localement convexe est dit ultrabornologique s'il est séparé et est limite inductive d'une famille d'espaces de Banach. Un espace bornologique séparé et complet est ultrabornologique, en particulier un espace de Fréchet est ultrabornologique et un espace localement convexe séparé limite inductive d'espaces de Fréchet est ultrabornologique[15]. Un espace ultrabornologique est tonnelé.
  • Un espace topologique P est dit polonais s'il est homéomorphe à un espace métrique séparable et complet. Un espace topologique S est souslinien s'il existe un espace polonais P et une application continue surjective de P sur S. Un espace souslinien est séparable. Un espace de Fréchet séparable, le dual faible d'un espace de Fréchet séparable et le dual fort d'un espace de Fréchet-Montel séparable sont sousliniens[16]. Une réunion dénombrable d'espaces localement convexes sousliniens est un espace localement convexe souslinien[14].
  • Un espace topologique séparé X est dit K-analytique s'il existe un espace topologique Y qui est une intersection dénombrable d'unions dénombrables d'espaces compacts et une application continue surjective f:Y\twoheadrightarrow X[17]. Un espace topologique complètement régulier (par exemple un espace vectoriel topologique séparé) K-analytique est également dit K-souslinien[18]. Un espace souslinien est K-souslinien ; le dual faible d'un espace de Fréchet (non nécessairement séparable) est K-souslinien, et un espace de Fréchet réflexif muni de sa topologie affaiblie est K-souslinien[16]. Une réunion dénombrable d'espaces localement convexes K-sousliniens est un espace localement convexe K-souslinien[14].
  • Un espace localement convexe séparé est dit K-ultrabornologique s'il est une limite inductive d'une famille d'espaces localement convexes K-sousliniens et de Baire[19].
  • Un espace topologique X est dit quasi-souslinien s'il existe un espace polonais P et une application T:P \rightarrow \mathcal{P}(X) (où \mathcal{P}(X) désigne l'ensemble des parties de X) telle que (a) \bigcup \left\{ T\left( p\right) :p\in P\right\} =X et (b) si (p_{n}) est une suite de points de P convergeant vers p dans P et z_{n}\in T\left( p_{n}\right) pour tout entier positif n, alors la suite (z_{n}) admet une valeur d'adhérence dans X appartenant à T(p). Un espace K-souslinien (et donc un espace souslinien) est quasi-souslinien. Si E est un espace de Fréchet, alors son bidual E'' muni de la topologie faible \sigma \left( E^{\prime \prime }, E^{\prime}\right) est quasi-souslinien (il est K-souslinien si, et seulement si E^{\prime}, muni de la topologie de Mackey (en) \tau(E',E''), est tonnelé). Une réunion dénombrable d'espaces quasi-sousliniens est quasi-souslinien[14]. Si l'on se restreint à la classe des espaces localement convexes, la notion d'espace semi-souslinien est un peu plus faible que celle d'espace quasi-souslinien. Un espace de Fréchet (non nécessairement séparable ni réflexif), de même que son dual fort, est semi-souslinien, et une réunion dénombrable d'espaces semi-sousliniens est un espace semi-souslinien[14].
  • Soit E un espace localement convexe, \mathfrak{T} sa topologie. On note \mathfrak{T}^{f} la topologie définie comme suit sur son dual E^{\prime} : un sous-espace Q de E^{\prime} est fermé dans la topologie \mathfrak{T}^{f} si pour tout sous-ensemble équicontinu A de E^{\prime}, Q\cap A est fermé dans A pour la topologie induite sur A par la topologie faible \sigma(E',E). Un espace localement convexe E est dit ptakien (resp. infra-ptakien) si tout sous-espace de E^{\prime}, fermé pour la topologie \mathfrak{T}^{f} (resp. faiblement dense et fermé pour la topologie \mathfrak{T}^{f}) est faiblement fermé (resp. coïncide avec E^{\prime})[20]. Un espace ptakien est infra-ptakien, et la question de savoir s'il existe des espaces infra-ptakiens qui ne sont pas ptakiens est longtemps restée ouverte ; mais Valdivia lui a donné en 1984 une réponse affirmative[21]. Les espaces infra-ptakiens (et donc les espaces ptakiens) sont complets. Un espace de Fréchet, de même que le dual fort d'un espace de Fréchet réflexif, est ptakien. Un espace localement convexe faiblement complet est ptakien.

Résultats[modifier | modifier le code]

Soit E un espace ultrabornologique et F une limite inductive d'une suite d'espaces de Fréchet. Toute application linéaire continue surjective de F sur E est ouverte[23].
Soit E un espace ultrabornologique et F un espace localement convexe souslinien. Toute application linéaire f surjective de F sur E et dont le graphe est un sous-ensemble borélien de E\times F[25] est continue et ouverte.
  • Le résultat ci-dessous est dû à Martineau[19] :
Soit E un espace K-ultrabornologique et F un espace localement convexe K-souslinien. Toute application linéaire continue surjective de F sur E est ouverte.
Soit E un espace tonnelé et F un espace infra-ptakien (resp. ptakien). Toute application linéaire bijective (resp. surjective) de F sur E dont le graphe est fermé est un isomorphisme d'espace vectoriel topologique (resp. est continue et ouverte).
  • Le résultat ci-dessous est dû à Valdivia[14]:
Soit E un espace convexe-Baire (resp. métrisable convexe-Baire) et F un espace semi-souslinien ; toute application linéaire surjective de F sur E dont le graphe est fermé (resp. séquentiellement fermé) est continue et ouverte. Soit E un espace localement convexe, métrisable et de Baire et F un espace localement convexe souslinien (resp. quasi-souslinien) ; toute application linéaire surjective de F sur E dont le graphe est séquentiellement fermé (resp. dont le graphe est fermé) est continue et ouverte.
  • D'autres variantes du théorème de Banach-Schauder existent[27], notamment celle due à de Wilde[28].

Pour finir, mentionnons un résultat important, relatif aux espaces de Fréchet et aux espaces de Schwartz, et qui découle de ce qui précède :

Corollaire — Soit E et F des espaces localement convexes, tous deux de type (F) (autrement dit, des espaces de Fréchet) ou (DFS) (autrement dit, des espaces (DF) qui sont des espaces de Schwartz). Alors une application linéaire continue u : F \rightarrow E dont le graphe est fermé, est continue et ouverte.

En effet, si E et F sont de type (F), ils sont métrisables et complets. S'ils sont de type (DFS), E est ultrabornologique et F est souslinien.

On notera que les résultats ci-dessus sont étroitement liés à ceux figurant à l'article Théorème du graphe fermé.

Exemple d'application[modifier | modifier le code]

Soient E=L^1(S^1)\, l'espace de Banach des fonctions intégrables sur le cercle, et F=c_0(\Z)\, l'espace des suites complexes indexées par les entiers relatifs et tendant vers zéro. L'application f\mapsto \big(\widehat{f}(n)\big)_{n\in\Z} qui associe à la fonction f la suite de ses coefficients de Fourier est continue et injective de E dans F, mais n'est pas surjective. En effet, si tel était le cas, il existerait une constante C>0\, telle que, pour toute fonction f\in E,

\Vert f\Vert_1\le C\sup_{n\in\Z}\vert \widehat{f}(n)\vert.

En appliquant une telle inégalité à la suite des noyaux de Dirichlet D_k\,, on arrive à une contradiction. En effet, \Vert D_k\Vert_1 est d'ordre \log(k) alors que les \vert \widehat{D_k}(n)\vert sont bornés par 1.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Schauder 1930, Satz 2.
  2. Banach 1929, p. 238, Thm. 7. Il faut prend garde au fait que Banach appelle « opération additive » ce qui appelons maintenant une application linéaire, et « opération linéaire » ce qui est pour nous une application linéaire continue.
  3. Bourbaki 2006a, I.3.3
  4. On peut encore faire « sauter la barre » dans le cas où E et F sont des espaces métriques, E étant complet, par un raisonnement un peu plus long : voir Bourbaki 2006a, §I.3, Lemme 2.
  5. Banach 1932, p. 40, Thm. 4
  6. Bourbaki 2006b, §IX.3, Prop. 4
  7. Banach 1932, p. 41, Thm. 7
  8. Bourbaki 2006a, §I.3., Prop. 1.
  9. Banach 1932, p. 38, Thm. 3
  10. Bourbaki 2006a, §I.3., Thm. 1.
  11. Köthe 1969, 15.12(6)
  12. Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions], p. 21-22
  13. (en) Tosio Kato (en), Perturbation Theory for Linear Operators, Springer, coll. « Grundlehren Math. Wiss. (de) » (no 132),‎ 1995, 2e éd. (ISBN 978-3-540-58661-6, lire en ligne), p. 220
  14. a, b, c, d, e et f Valdivia 1982
  15. Bourbaki 2006a, §III.4, exerc. 20 et 21.
  16. a et b Treves 2007
  17. Choquet 1954
  18. Rogers 1964
  19. a et b Martineau 1968
  20. Un espace ptakien (ou espace de Ptak) est également appelé un espace B-complet, tandis qu'un espace infra-ptakien est également appelé un espace B_{r}-complet.
  21. Valdivia 1984
  22. Grothendieck 1955, Introduction, IV, Thm. B.
  23. Bourbaki 2006a, §II.4, Corol. de la Prop. 10.
  24. Schwartz 1966
  25. Il suffit pour cela que f soit continue.
  26. Ptak 1958
  27. Köthe 1979
  28. de Wilde 1978

Références[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Théorème de Bartle-Graves