Quasigroupe

En mathématiques, un quasigroupe est un ensemble muni d'une loi de composition interne (un magma) pour laquelle (en pensant cette loi comme une multiplication), il est possible de diviser, à droite comme à gauche, le quotient à droite et le quotient à gauche étant uniques. En d'autre termes l'opération de multiplication à droite est bijective, de même que celle de multiplication à gauche. La loi n'est pas nécessairement associative, et si elle l'est, le quasigroupe est un groupe.

Présentation

La table de Cayley d'une loi de groupe vérifie une propriété dite de réarrangement ^{[réf. nécessaire]} :

chaque élément du groupe apparait une fois et une seule dans chaque ligne et chaque colonne de la table.

Mais une loi dont la table satisfait cette propriété n'est pas nécessairement la loi d'un groupe. La loi obtenue est cependant « quasiment » celle d'un groupe, d'où le nom de quasigroupe donné aux structures correspondantes.

La propriété de réarrangement peut s'exprimer de manière plus formelle :

- dire qu'un élément apparait une fois et une seule sur chaque ligne revient à affirmer que pour tous x et z, l'équation   x * y = z   a une et une seule solution en y;

- de même, dire qu'un élément apparait une fois et une seule sur chaque colonne revient à affirmer que pour tous y et z, l'équation   x * y = z   a une et une seule solution en x.

Définition formelle

Un quasigroupe est un magma ( E , $*$ ) non vide telle que pour chaque couple (a, b) l'équation a * x = b a une unique solution en x de même que l'équation y * a = b possède une unique solution en y.

Un carré latin est une matrice n × n remplie avec n symboles différents d'une façon telle que chaque symbole apparaisse exactement une fois par ligne et une fois par colonne. La table d'un quasigroupe fini est un carré latin, et un carré latin est la table de la loi d'un quasigroupe fini.

Principales propriétés

• La loi d'un quasigroupe est régulière (ou simplifiable).

En effet, si   x * y   =   x * z   , alors il existe   c   tel que   c   =   x * y   et   c   =   x * z   .

Mais d'après la propriété de réarrangement, l'équation   c   =   x * y   a une et une seule solution en y. Donc   y = z   et la loi est régulière à gauche.

On montre de manière analogue que la loi est régulière à droite.

• La réciproque est valide dans le cas fini : un magma (E, *) fini muni d'une loi de composition interne régulière est un quasigroupe.

Démonstration

Par contraposée, montrons que si (E,*) n'est pas un quasigroupe alors la loi * n'est pas régulière.

Si (E,*) n'est pas un quasigroupe, alors il existe (a,b) tel que les équations en x et y, a * x = b et y * a = b :

- soit n'admettent pas de solution. Dans ce cas, supposons sans perte de généralité que l'équation a * x = b n'a pas de solution.

Soit n le nombre d'éléments du magma. Comme l'équation a * x = b n'a pas de solution, les éléments du magma du type a * x où x parcourt les éléments du magma sont au plus n-1. Par le lemme des tiroirs, il existe donc deux éléments distincts z et t tels que a * z = a * t; ce qui contredit la régularité à gauche de *. En supposant que y * a = b n'a pas de solution, on aurait obtenu par un argument identique que * n'est pas régulière à droite.

- soit admettent au moins deux couples distincts (u,v) et (w,t) de solutions. On a donc u distinct de w ou v distinct de t.

Si u est distinct de w, alors a * u = b = a * w n'implique pas u=w ce qui contredit la régularité à gauche de *. De même, si v est distinct de t, on contredit la régularité à droite de *. CQFD.

• Il existe des magmas infinis réguliers qui ne sont pas des quasigroupes.

Il suffit de considérer l'addition sur $\mathbb{N}^*$. En effet, c'est un magma régulier car si a + x = a + y ou x + a = y + a, alors clairement x=y. Par contre, ce n'est pas un quasigroupe car 1 + x = 1 n'a aucune solution.

• La « division » est toujours possible dans un quasigroupe.

Soit « • » la correspondance de E × E dans E définie par :

$\forall x \in E , \forall y \in E , \forall z \in E , [ ( x , y ) \bullet z ] \Leftrightarrow [ z * y = x ] \,$

Cette correspondance est intuitivement « l'opération inverse » de l'opération $* \,$, autrement dit une « division »;

C'est une application car * est régulière. C'est donc une loi de composition interne : ( E , • ) est un magma, et la « division » • s'applique donc à tous les couples de E ².

Structures dérivées

• Un quasigroupe avec un élément neutre est appelé une boucle (loop en anglais). D'après la définition des quasigroupes, tout élément d'une boucle a un inverse à droite et un inverse à gauche.

• Un Moufang ou une boucle de Moufang (en) est un quasigroupe ( E , $*\,$) dans lequel, pour tous a, b et c :

$( a * b ) * ( c * a ) = ( a * ( b * c )) * a \,$

Comme son nom le suggère, une boucle de Moufang est une boucle ; en effet :

Pour un a dans E, s'il éxiste e un élément de E   tel que   a * e = a   , alors pour tout x dans E,   (x * a) * x = (x * (a * e)) * x = (x * a) * (e * x) ;

donc   x = e * x   et e est un élément neutre à gauche.

Pour tout y appartenant à E,   y * e = e * (y * e)   , car e est neutre à gauche ;

ainsi   (y * e) * e = (e * (y * e)) * e = (e * y) * (e * e) = y * e ,

d'où   y * e = y   , et e est donc neutre à droite.

Donc e est un élément neutre.

Exemples de quasigroupes

• Tout groupe est un quasigroupe. En effet :   a * x = b   si et seulement si   x = a^-1 * b   , et   y * a = b   si et seulement si   y = b * a^-1 .

Inversement, tout quasigroupe associatif est un Moufang, donc une boucle, et toute boucle associative est un groupe.

Ceci montre qu'un quasigroupe est un groupe si et seulement si sa loi est associative.

• Tout système triple de Steiner (en).
• L'ensemble des éléments non nuls d'une algèbre de dimension finie sans diviseurs de zéro (par exemple les octonions non nuls).
• Rⁿ avec l'opération x * y = (x + y) / 2. Plus généralement, tout espace vectoriel sur un corps commutatif de caractéristique différente de 2 muni de cette opération est un quasigroupe.

Voir aussi

• Structure algébrique
• Loi de composition interne

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quasigroup » (voir la liste des auteurs)