Espace de Banach

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, on appelle espace de Banach un espace vectoriel normé sur un sous-corps K de ℂ (en général, K=ℝ ou ℂ), complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie induite par sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel topologique. Les espaces de Banach possèdent de nombreuses propriétés qui font d'eux un outil essentiel pour l'analyse fonctionnelle.

Caractérisation par les séries

Un espace vectoriel normé E est un espace de Banach si et seulement si toute série absolument convergente de cet espace est convergente.

En effet, si E est complet alors les sommes partielles d'une série absolument convergente forment une suite de Cauchy donc la série converge et réciproquement, si dans E toute série absolument convergente est convergente alors, pour toute suite de Cauchy (x_n), soit (s_n) une sous-suite telle que ║s_n+1 – s_n║ ≤ 2^–n ; la série de terme général s_n+1 – s_n est absolument convergente donc convergente et si s est sa somme alors (s_n) converge vers s donc (x_n) aussi, ce qui prouve que E est complet.

Exemples

1. Les espaces euclidiens ℝⁿ et les espaces hermitiens ℂⁿ munis de la norme $\|(x_1,\ldots,x_n)\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i \overline{x_i}} \,$ où $\overline{x_i}$ désigne le conjugué de $x_i$.
2. L'espace des fonctions (à valeurs réelles ou complexes) continues et bornées sur un espace topologique X, muni de la norme $\scriptstyle||f|| = \sup_{x \in X}(|f(x)|)$. En particulier, l'espace des fonctions continues sur un espace X compact, comme un intervalle réel [a,b].
3. Pour tout réel p supérieur ou égal à 1, l'espace L^p des classes de fonctions mesurables (à valeurs réelles ou complexes) sur un espace mesuré X, et dont la puissance p-ième est intégrable (l'exemple 1 en est un cas particulier, avec p=2 et X fini).
4. L'espace L^∞ (dont l'exemple 2 est un sous-espace, lorsque l'espace topologique X est le support d'une mesure borélienne).
5. Les espaces de Hilbert.

Propriété des fermés emboîtés

Article détaillé : Théorème des fermés emboités.

Comme tout espace métrique complet, un espace de Banach vérifie la propriété suivante :

Soit une suite décroissante de fermés non vides dont la suite des diamètres tend vers 0. Alors l'intersection des fermés est non vide et réduite à un singleton.

Cette propriété permet de démontrer que tout espace métrique complet (en particulier tout espace de Banach) est de Baire.

Théorème de Banach-Steinhaus

Article détaillé : Théorème de Banach-Steinhaus.

Soient E un espace de Banach et F un espace vectoriel normé. Soit $\scriptstyle(u_i)_{i\in I}$ une famille d'éléments de ℒ(E,F) et soit A l'ensemble des vecteurs x de E tels que $\scriptstyle\sup_{i\in I} \|u_i(x)\| < + \infty$. Alors, ou bien A est maigre, c'est-à-dire réunion dénombrable d'ensembles rares (un ensemble est rare si l'intérieur de son adhérence est vide) et son complémentaire est dense, ou bien $\scriptstyle\sup_{i\in I} \| u_i \| < + \infty$. En particulier, si A=E, seule la seconde éventualité est possible (la dernière norme utilisée est la norme d'opérateur (ou norme subordonnée)).

Bibliographie

• Stefan Banach, Théorie des opérations linéaires, Warszawa, 1932 (Monografie Matematyczne; 1) Zbl 0005.20901
• N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Springer-Verlag, 1987 
• (en) Bernard Beauzamy, Introduction to Banach Spaces and their Geometry, North-Holland, 1985, 2^e éd. [lire en ligne] 
• (en) William B. Johnson (de) et Joram Lindenstrauss, Handbook of the Geometry of Banach Spaces, vol. 1, Elsevier, 2001 (ISBN 978-0-08053280-6) [lire en ligne] 
• (en) M. I. Kadets (en) et B. M. Levitan (en), « Banach space », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104) [lire en ligne] 

Voir aussi

• Espace polonais
• Espace de Fréchet
• Espace de Sobolev
• Algèbre de Banach
• Variété de Banach