Vecteur nul

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Dans un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, le vecteur nul est l'unique vecteur représentant l'élément neutre pour l'addition vectorielle. Son existence est donnée par la définition de la structure d'espace vectoriel. Il peut être noté 0_E\, ou \mathbf{0} ou encore \vec{0}, ou tout simplement 0.

Comme tout élément neutre, le vecteur nul est unique. La preuve est élémentaire : si a et b sont deux vecteurs nuls d'un même espace vectoriel E, alors a=a+b=b.

Propriétés et remarques[modifier | modifier le code]

  • Il est le résultat de la multiplication par le scalaire 0_K\, de n'importe quel vecteur de E.
  • Pour tous espaces vectoriels E et F, et toute application linéaire f:E\rightarrow F, le vecteur nul de E est envoyé par f sur le vecteur nul de F : f(0_E)=0_F.
  • L'image réciproque du sous-espace vectoriel de E réduit au vecteur nul par une application linéaire f est appelée noyau de l'application linéaire f.
  • L'espace vectoriel réduit au vecteur nul est l'unique espace vectoriel qui ne possède qu'un seul élément, le vecteur nul. Il est appelé l'espace nul.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • K étant un corps commutatif, dans l'espace vectoriel (K, +, \cdot ), le vecteur nul est l'élément neutre additif de K, c'est-à-dire 0_K.
  • Dans le K-espace vectoriel Kn, le vecteur nul est le n-uplet (0, \ldots, 0)0 est l'élément neutre pour l'addition du corps K.
  • Si E est un sous-espace vectoriel de F, le vecteur nul de E est le vecteur nul de F.
  • Pour tout ensemble X, le vecteur nul de l'espace \mathcal{F}(X,R) des fonctions réelles sur X est la fonction nulle, qui à tout point de X associe 0.
  • Dans l'espace vectoriel \mathcal{C}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) des fonctions continues de \mathbb{R} dans \mathbb{R}, le vecteur nul est la fonction nulle.
  • Dans l'espace vectoriel K[X] des polynômes à coefficients dans un corps commutatif K, le vecteur nul est le polynôme nul.
  • Lorsque les vecteurs sont définis à partir de bipoints équipollents, le vecteur nul est représenté par la classe des couples (A,A) formés d'un seul point A.
  • L'unique K-espace vectoriel à ne contenir que le vecteur nul est par définition l'espace nul. Pour tout espace vectoriel E, il existe une unique injection de l'espace nul \{0\} vers E, qui envoie 0 sur 0_E. La dimension de l'espace nul est 0.