Théorème de Lax-Milgram

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Le théorème de Lax-Milgram – des noms de Peter Lax et Arthur Milgram – est un théorème de mathématiques s'appliquant à certains problèmes aux dérivées partielles exprimés sous une formulation faible (appelée également formulation variationnelle). Il est notamment l'un des fondements de la méthode des éléments finis.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient :

Sous ces hypothèses il existe un unique u de \mathcal{H} tel que l'équation a(u,v)=L(v) soit vérifiée pour tout v de \mathcal{H} :

(1) \quad \exists!\ u \in \mathcal{H},\ \forall v\in\mathcal{H},\quad a(u,v)=L(v)

Si de plus la forme bilinéaire a est symétrique, alors  u est l'unique élément de \mathcal{H} qui minimise la fonctionnelle J:\mathcal{H}\rightarrow\R définie par J(v) = \tfrac{1}{2}a(v,v)-L(v) pour tout v de \mathcal{H}, c'est-à-dire :

(2) \quad \exists!\ u \in \mathcal{H},\quad J(u) = \min_{v\in\mathcal{H}}\ J(v)

Démonstration[modifier | modifier le code]

Cas général[modifier | modifier le code]

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur f\in\mathcal{H} tel que

\forall v\in\mathcal H,\quad L(v)=\langle f,v\rangle.

Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu A\in\mathcal{L}(\mathcal{H}) tel que

\forall u,v\in\mathcal H,\quad a(u,v)=\langle Au,v\rangle.

La proposition (1) se réécrit alors :

\exists!\ u \in \mathcal{H},\ Au=f.

Pour prouver cette proposition, il suffit donc de montrer que A est une bijection de \mathcal{H} sur \mathcal{H}. On montre dans un premier temps que l'opérateur est injectif, puis qu'il est surjectif.

Par la coercivité de a et en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a pour tout v\in\mathcal{H}

\alpha\|v\|^2 \leq a(v,v) = \langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|

d'où \|Av\| \geq \alpha\|v\| pour tout v de \mathcal{H}, ce qui montre que A est injectif et d'image fermée. Notons \mathcal{Z} cette image. Par le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé on sait que \mathcal{H}= \mathcal{Z} \oplus \mathcal{Z}^{\perp}.

Soit ensuite un élément w de \mathcal{Z}^{\perp}, on a par définition \langle Aw,w\rangle = 0 et donc :

\alpha\|w\|^2 \leq a(w,w) = \langle Aw,w\rangle = 0

d'où w=0. Ainsi, \mathcal{Z}^{\perp} est réduit à \{0\}, ce qui montre que A est surjectif.

L'endomorphisme A est bijectif, il existe donc un unique u de \mathcal{H} tel que Au=f et il est donné par u=A^{-1}f.

Remarque[modifier | modifier le code]

Sans calculer u on a l'inégalité

\|u\| \leq \frac{\|L\|'}{\alpha}

\|\cdot\|' désigne la norme de l'espace dual \mathcal{H}'.

Cas symétrique[modifier | modifier le code]

Si la forme bilinéaire a est symétrique, on a pour tout w de \mathcal{H} :

J(u+w) = J(u)+\Big(a(u,w)-L(w)\Big)+\frac{1}{2}a(w,w)

Comme u est l'unique solution de la proposition (1), cela donne

J(u+w) = J(u)+\frac{1}{2}a(w,w)

Et comme a est coercive, on a :

J(u+w) \geq J(u) + \frac{\alpha}{2}\|w\|^2

On a donc J(u) \leq J(v) pour tout v\in\mathcal{H}, d'où le résultat (2).

Applications[modifier | modifier le code]

  • Ce théorème est à la base des méthodes aux éléments finis, on peut en effet montrer que si au lieu de chercher u dans \mathcal{H} l'on cherche u_n dans \mathcal{H}_n, un sous espace de \mathcal{H} de dimension finie n, alors d'une part :
    • Dans le cas où a est symétrique u_n est le projeté de u au sens du produit scalaire défini par a
    • Si l'on se donne (\varphi_i) une base de \mathcal{H}_n, le problème se ramène alors à la résolution d'un système linéaire :
\underline{\underline{A}} \underline{u_n} = \underline{b} avec A_{ij}=a(\varphi_j,\varphi_i) et b_i=L\varphi_i.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]

Articles connexes[modifier | modifier le code]