Théorème de Lax-Milgram

Le théorème de Lax-Milgram – des noms de Peter Lax et Arthur Milgram (en) – est un théorème de mathématiques s'appliquant à certains problèmes aux dérivées partielles exprimés sous une formulation faible (appelée également formulation variationnelle). Il est notamment l'un des fondements de la méthode des éléments finis.

Énoncé

Soient :

• $\mathcal{H}$ un espace de Hilbert réel ou complexe muni de son produit scalaire noté $\langle.,.\rangle$, de norme associée notée $\|.\|$
• $a(.\, ,\,.)$ une forme bilinéaire (ou une forme sesquilinéaire si $\mathcal{H}$ est complexe) qui est
  • continue sur $\mathcal{H}\times\mathcal{H}$ : $\exists\,c>0, \forall (u,v)\in \mathcal{H}^2\,,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|$
  • coercive sur $\mathcal{H}$ (certains auteurs disent plutôt $\mathcal{H}$-elliptique) : $\exists\,\alpha>0, \forall u\in\mathcal{H}\,,\ a(u,u) \geq \alpha\|u\|^2$
• $L(.)$ une forme linéaire continue sur $\mathcal{H}$.

Sous ces hypothèses il existe un unique $u$ de $\mathcal{H}$ tel que l'équation $a(u,v)=L(v)$ soit vérifiée pour tout $v$ de $\mathcal{H}$ :

$(1) \quad \exists!\ u \in \mathcal{H},\ \forall v\in\mathcal{H},\quad a(u,v)=L(v)$

Si de plus la forme bilinéaire $a$ est symétrique, alors $u$ est l'unique élément de $\mathcal{H}$ qui minimise la fonctionnelle $J:\mathcal{H}\rightarrow\R$ définie par $J(v) = \tfrac{1}{2}a(v,v)-L(v)$ pour tout $v$ de $\mathcal{H}$, c'est-à-dire :

$(2) \quad \exists!\ u \in \mathcal{H},\quad J(u) = \min_{v\in\mathcal{H}}\ J(v)$

Démonstration

Cas général

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur $f\in\mathcal{H}$ tel que

$\forall v\in\mathcal H,\quad L(v)=\langle f,v\rangle.$

Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu $A\in\mathcal{L}(\mathcal{H})$ tel que

$\forall u,v\in\mathcal H,\quad a(u,v)=\langle Au,v\rangle.$

La proposition $(1)$ se réécrit alors :

$\exists!\ u \in \mathcal{H},\ Au=f.$

Pour prouver cette proposition, il suffit donc de montrer que $A$ est une bijection de $\mathcal{H}$ sur $\mathcal{H}$. On montre dans un premier temps que l'opérateur est injectif, puis qu'il est surjectif.

Par la coercivité de $a$ et en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a pour tout $v\in\mathcal{H}$

$\alpha\|v\|^2 \leq a(v,v) = \langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|$

d'où $\|Av\| \geq \alpha\|v\|$ pour tout $v$ de $\mathcal{H}$ (*), ce qui montre que $A$ est injectif.

Pour la surjectivité, considérons $\mathcal{Z}$ l'image de l'opérateur $A$ dans $\mathcal{H}$.

L'inégalité (*) implique que, si $A u_n$ est une suite de Cauchy, alors $u_n$ est une suite de Cauchy, dans $\mathcal{H}$ complet donc converge vers $u \in \mathcal{H}$. Et $A$ est continue, donc $A u_n$ converge vers $A u$.

$\mathcal{Z}$ est donc un sous-espace fermé de $\mathcal{H}$ et par le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé on sait que $\mathcal{H}= \mathcal{Z} \oplus \mathcal{Z}^{\perp}$.

Soit ensuite un élément $w$ de $\mathcal{Z}^{\perp}$, on a par définition $\langle Aw,w\rangle = 0$ et donc :

$\alpha\|w\|^2 \leq a(w,w) = \langle Aw,w\rangle = 0$

d'où $w=0$. Ainsi, $\mathcal{Z}^{\perp}$ est réduit à $\{0\}$, ce qui montre que $A$ est surjectif.

L'endomorphisme $A$ est bijectif, il existe donc un unique $u$ de $\mathcal{H}$ tel que $Au=f$ et il est donné par $u=A^{-1}f$.

Remarque

Sans calculer $u$ on a l'inégalité

$\|u\| \leq \frac{\|L\|'}{\alpha}$

où $\|\cdot\|'$ désigne la norme de l'espace dual $\mathcal{H}'$.

Cas symétrique

Si la forme bilinéaire $a$ est symétrique, on a pour tout $w$ de $\mathcal{H}$ :

$J(u+w) = J(u)+\Big(a(u,w)-L(w)\Big)+\frac{1}{2}a(w,w)$

Comme $u$ est l'unique solution de la proposition (1), cela donne

$J(u+w) = J(u)+\frac{1}{2}a(w,w)$

Et comme $a$ est coercive, on a :

$J(u+w) \geq J(u) + \frac{\alpha}{2}\|w\|^2$

On a donc $J(u) \leq J(v)$ pour tout $v\in\mathcal{H}$, d'où le résultat $(2)$.

Applications

• Ce théorème est à la base des méthodes aux éléments finis, on peut en effet montrer que si au lieu de chercher $u$ dans $\mathcal{H}$ l'on cherche $u_n$ dans $\mathcal{H}_n$, un sous espace de $\mathcal{H}$ de dimension finie $n$, alors d'une part :
  • Dans le cas où $a$ est symétrique $u_n$ est le projeté de $u$ au sens du produit scalaire défini par $a$
  • Si l'on se donne $(\varphi_i)$ une base de $\mathcal{H}_n$, le problème se ramène alors à la résolution d'un système linéaire :

$\underline{\underline{A}} \underline{u_n} = \underline{b}$ avec $A_{ij}=a(\varphi_j,\varphi_i)$ et $b_i=L\varphi_i$.

Bibliographie

Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]