Mesure secondaire

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En théorie de la mesure, la mesure secondaire associée à une mesure de densité positive ρ est, lorsqu'elle existe, une mesure de densité positive qui rend orthogonaux les polynômes secondaires associés aux polynômes orthogonaux pour ρ.

Exemple[modifier | modifier le code]

Sous certaines hypothèses que nous préciserons plus loin, il est possible d'obtenir l'existence d'une telle mesure et même de l'exprimer :

Par exemple si on travaille dans l'espace de Hilbert L^2([0,1],\R,\rho)

 \forall x \in [0,1], \; \mu\left(x\right)=\frac{\rho\left(x\right)}{\frac{\varphi^2\left(x\right)}4+\pi^2\rho^2\left(x\right)}

avec dans le cas général :

 \varphi\left(x\right) = \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} 2\int_0^1\frac{\left(x-t\right)\rho\left(t\right)}{\left(x-t\right)^2+\varepsilon^2}\mathrm dt.

Dans le cas où ρ est lipschitzienne :

 \varphi\left(x\right)=2\rho\left(x\right)\text{ln}\left(\frac x{1-x}\right)-2\int_0^1\frac{\rho\left(t\right)-\rho\left(x\right)}{t-x}\mathrm dt.

Cette application \varphi est dite « réductrice » de ρ.

Dans un cadre plus général,  \mu et ρ sont reliées via leurs transformées de Stieltjes par la formule suivante :

 S_{\mu} \left(z\right)=z-c_1-\frac1{S_{\rho}\left(z\right)}

c_1 est le moment d'ordre 1 de la mesure ρ.

Ces mesures secondaires, et la théorie qui les entoure, conduisent à quelques résultats surprenants, et permettent de retrouver de façon élégante un bon nombre de formules classiques d'analyse, principalement autour des fonctions Γ d'Euler, ζ de Riemann, et du nombre γ d'Euler. Elles permettent aussi l'explicitation d'intégrales et de séries a priori difficiles avec une efficacité redoutable. Enfin elles permettent de résoudre des équations intégrales de la forme :

f\left(x\right)=\int_0^1\frac{g\left(t\right)-g\left(x\right)}{t-x}\rho\left(t\right)\mathrm dt

g est la fonction inconnue, et conduisent à des théorèmes de convergence vers les mesures de Tchebychev et Dirac.

Les grandes lignes de la théorie[modifier | modifier le code]

Soit un espace mesuré par une mesure de densité positive ρ sur un intervalle I et admettant des moments de tout ordre. On peut construire une famille (P_n)_{n \in \N} des polynômes orthogonaux pour la structure préhilbertienne induite par ρ. Soit (Q_n)_{n \in \N} la famille des polynômes secondaires de la famille P. Sous certaines conditions il existe une mesure \mu pour laquelle la famille Q est orthogonale. Cette mesure, que l'on peut expliciter en fonction de ρ est appelée mesure secondaire associée à la mesure initiale ρ.

Lorsque ρ est une densité de probabilité, une condition suffisante pour que \mu admettant des moments de tout ordre soit secondaire associée à ρ est que sa transformée de Stieltjes soit donnée par une égalité du type: S_{\mu}(z)=a\left(z-c_1-\frac1{S_{\rho}(z)}\right), avec a constante arbitraire et \, c_1 désignant le moment d'ordre 1 de ρ.

Pour a=1 on obtient la mesure dite secondaire, remarquable au sens que pour n\geq1 la norme du polynôme P_n pour ρ coïncide exactement avec la norme du polynôme secondaire associé Q_n au sens de la mesure \mu. Dans ce cas primordial, et si l'espace engendré par les polynômes orthogonaux est dense dans L^2\left(I,\R,\rho \right), l'opérateur T_\rho défini par f(x) \mapsto \int_I \frac{f(t)-f(x)}{t-x}\rho (t){\rm d}t créant les polynômes secondaires peut se prolonger en une application linéaire reliant l'espace L^2\left(I,\R,\rho \right) à L^2\left(I,\R,\mu \right) et devient une isométrie si on la restreint à l'hyperplan H_\rho des fonctions orthogonales à P_0=1.

Pour des fonctions quelconques de carré intégrables pour ρ, on obtient la formule plus générale de covariance :

\langle f/g\rangle_\rho - \langle f/1 \rangle_\rho\times \langle g/1\rangle_\rho = \langle T_\rho\left(f\right)/T_\rho \left(g\right)\rangle _\mu

La théorie se poursuit en introduisant la notion de mesure réductible, au sens que le quotient \frac{\rho}{\mu} est élément de L^2\left(I,\R,\mu \right). On établit alors les résultats suivants :

  • La réductrice \varphi de ρ est un antécédent de \frac{\rho}{\mu} pour l'opérateur T_\rho. (En fait le seul antécédent élément de H_\rho).
  • Pour toute fonction de carré intégrable pour ρ, on a la formule dite de réduction : \langle f/\varphi\rangle_\rho = \langle T_\rho (f)/1\rangle_\rho.

L'opérateur f\mapsto {\varphi\times f -T_\rho (f)} défini sur les polynômes, se prolonge en une isométrie S_\rho reliant l'adhérence de l'espace de ces polynômes dans L^2\left(I,\R,\frac{\rho^2}{\mu}\right) à l'hyperplan H_\rho muni de la norme induite par ρ. Sous certaines conditions restrictives l'opérateur S_\rho agît comme adjoint de T_\rho pour le produit scalaire induit par ρ.

Enfin, les deux opérateurs sont reliés aussi, sous réserve que les images en question soient définies, par la formule fondamentale de composition :

T_\rho\circ S_\rho \left( f\right)=\frac{\rho}{\mu}\times \left(f \right)

Cas de la mesure secondaire de la mesure de Lebesgue, et quelques autres exemples[modifier | modifier le code]

Mesure secondaire de Lebesgue[modifier | modifier le code]

La mesure de Lebesgue sur l'intervalle standard [0, 1] est obtenue en prenant la densité constante ρ(x) = 1.

Les polynômes orthogonaux associés sont appelés polynômes de Legendre et peuvent être explicités par P_n(x)=\frac{d^{(n)}}{dx^n}\left(x^n(1-x)^n\right). La norme de P_n vaut \frac{n!}{\sqrt{2n+1}}. La relation de récurrence à trois termes s'écrit :

2\left(2n+1\right)\mathrm XP_n\left(\mathrm X\right)=-P_{n+1}\left( \mathrm X \right)+\left( 2n+1 \right)P_n \left(\mathrm X\right)-n^2P_{n-1}(\mathrm X).

La réductrice de cette mesure de Lebesgue est donnée par

\varphi(x)=2\ln\left(\frac x{1-x}\right).

La mesure secondaire associée s'explicite alors comme

\mu(x)=\frac1{\ln^2\left(\frac x{1-x}\right)+\pi^2}.

Exemples de mesures réductibles[modifier | modifier le code]

Si l'on normalise les polynômes de Legendre, les coefficients de Fourier de la réductrice \varphi par rapport à ce système orthonormé sont nuls pour un indice pair et données par C_n(\varphi)=-\frac{4\sqrt{2n+1}}{n(n+1)} pour un indice n impair.

Les polynômes de Laguerre sont liés à la densité \rho(x)=e^{-x} sur l'intervalle I=\left[0,+\infty \right[.

Ils sont explicités par L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})=\sum_{k=0}^{k=n}\binom nk(-1)^k\frac{x^k}{k!} et sont normés.

la réductrice associée est définie par \varphi(x)=2\left[\ln(x)-\int_0^{+\infty}e^{-t}\ln|x-t|{\rm d}t\right].

Les coefficients de Fourier de la réductrice \varphi par rapport aux polynômes de Laguerre sont donnés par :

C_n\left(\varphi\right)=-\frac1n\sum_{k=0}^{k=n-1}\frac1{\binom{n-1}k}. Ce coefficient C_n(\varphi) n'est autre que l'opposé de la somme des éléments de la ligne d'indice n du tableau des nombres triangulaires harmoniques de Leibniz.

Les polynômes d'Hermite sont associées à la densité de Gauss \rho(x)=\frac{e^{-\frac{x^2}2}}{\sqrt{2\pi}} sur I=\R. Ils sont explicités par H_n(x)=\frac1{\sqrt{n!}}e^{\frac{x^2}2}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-\frac{x^2}2}\right) et sont normés. La réductrice associée est définie par :

\varphi(x)=-\frac2{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}te^{-\frac{t^2}2}\ln|x-t|{\rm d}t.

Les coefficients de Fourier de la réductrice \varphi par rapport au système des polynômes d'Hermite sont nuls pour un indice pair et données par C_n(\varphi)=(-1)^{\frac{n+1}2}\frac{\left(\frac{n-1}2\right)!}{\sqrt{n!}} pour un indice n impair.

La mesure de Tchebychev de deuxième forme est définie par la densité \rho(x)=\frac8{\pi}\sqrt{x(1-x)} sur l'intervalle [0, 1]. C'est la seule qui coïncide avec sa mesure secondaire normalisée sur cet intervalle standard. Sous certaines conditions elle apparait comme limite de la suite des mesures secondaires normalisées d'une densité donnée.

Exemples de mesures non réductibles.[modifier | modifier le code]

Mesure de Jacobi de densité \rho(x)=\frac2{\pi}\sqrt{\frac{1-x}x} sur ]0, 1[.

Mesure de Tchebychev de première forme de densité \rho(x)=\frac1{\pi\sqrt{1-x^2}} sur ]–1, 1[.

Suite (ρn) des mesures secondaires[modifier | modifier le code]

La mesure secondaire \mu associée à une densité de probabilité ρ a son moment d'ordre 0 égal à d_0 =c_2 -(c_1)^2 (c_1 et c_2 désignant les moments respectifs d'ordre 1 et 2 de ρ).

Pour pouvoir itérer le procédé on normalise alors \mu en définissant \rho_1 =\frac{\mu}{d_0} qui devient à son tour une densité de probabilité appelée naturellement mesure secondaire normalisée associée à ρ.

On peut alors définir de proche en proche à partir de \rho_0 =\rho la suite n\mapsto \rho_n,chaque terme étant la mesure secondaire normalisée du précédent.

Il est possible d'expliciter la densité \rho_n en utilisant les polynômes orthogonaux P_n pour ρ, les polynômes secondaires Q_n et la réductrice associée \varphi. Cela donne la formule :

\rho_n\left(x\right)=\frac1{d_0^{n-1}} \frac{\rho(x)}{\left(P_{n-1}(x)\frac{\varphi(x)}2-Q_{n-1}(x)\right)^2+\pi^2\rho ^2(x)P_{n-1}^2(x)}

Le coefficient d_0^{n-1} s'obtient facilement à partir des coefficients dominants des polynômes P_{n-1} et P_n. On peut également expliciter la réductrice \varphi_n associée à ρ, ainsi que les polynômes orthogonaux correspondant à \rho_n.

Un très beau résultat concerne l'évolution de ces densités lorsque l'indice tend vers l'infini et que le support des mesures est l'intervalle standard [0, 1].

Soit la relation de récurrence à trois termes : xP_n (x)=t_nP_{n+1}(x)+s_nP_n(x)+t_{n-1}P_{n-1}(x).

Si \lim_{n \mapsto \infty}t_n=\frac14 et \lim_{n \mapsto \infty}s_n=\frac12, alors la suite n\mapsto \rho_n converge complètement vers la densité de Tchebychev de deuxième forme \rho_{tch}(x)=\frac8{\pi}\sqrt{x(1-x)}.

Ces conditions limites sont vérifiées par une très large classe de densités classiques.

Mesures équinormales[modifier | modifier le code]

On appelle ainsi deux mesures conduisant à la même densité secondaire normalisée. Il est remarquable que les éléments d'une classe donnée de même moment d'ordre 1 soient reliés par une homotopie. Plus précisément, si la densité ρ a son moment d'ordre 1 égal à c_1, ces densités équinormales à ρ seront donnés par une formule du type

\rho_{t}(x)=\frac{t\rho(x)}{\left[\left(t-1\right)(x-c_1)\frac{\varphi\left(x\right)}2-t\right]^2+\pi^2\rho^2(x)(t-1)^2(x-c_1)^2},

t décrivant un intervalle contenant ]0, 1].

Si \mu est la mesure secondaire de ρ, celle de \rho_t est t\mu.

La réductrice de \rho_t est : \varphi_t(x)=\frac{2\left(x-c_1\right)-tG(x)}{\left((x-c_1)-t\frac{G(x)}2\right)^2+t^2\pi^2\mu^2(x)} en notant G(x) la réductrice de \mu.

Les polynômes orthonormaux pour la mesure \rho_t sont explicités à partir de n = 1 par la formule :

P_n^t(x)=\frac1{\sqrt{t}}\left[tP_n(x)+(1-t)(x-c_1)Q_n(x)\right] avec Q_n secondaire associé à P_n

Il est remarquable aussi que, au sens des distributions, la limite lorsque t tend vers 0 par valeur supérieure de \rho_t soit la mesure de Dirac concentrée en c_1.

Pour exemple, les densités équinormales à la mesure de Tchebychev de deuxième forme sont définies par : \rho_t(x)=\frac{2t\sqrt{1-x^2}}{\pi\left[t^2+4(1-t)x^2\right]} , avec t décrivant ]0, 2]. La valeur t = 2 donne la mesure de Tchebychev de première forme.

Les plus belles applications[modifier | modifier le code]

\forall p>1\qquad\frac1{\ln(p)}=\frac1{p-1}+\int_0^{+\infty}\frac{{\rm d}x}{(x+p)(\ln^2(x)+\pi^2)}.
\gamma=\int_0^{+\infty}\frac{\ln(1+\frac1x){\rm d}x}{\ln^2(x)+\pi^2} (avec \gamma constante d'Euler-Mascheroni).
\gamma=\frac12+\int_0^{+\infty}\frac{\overline {(x+1)\cos(\pi x)}{\rm d}x}{x+1}.

(la fonction x\mapsto \overline {(x+1)\cos(\pi x)} désignant celle de période 2 coïncidant avec x\mapsto (x+1) \cos(\pi x) sur [–1, 1[).

\gamma=\frac12+\sum_{k=1}^{k=n}\frac{\beta_{2k}}{2k}-\frac{\beta_{2n}}{\zeta(2n)}\int_1^{+\infty}\frac{E(t)\cos(2\pi t){\rm d}t}{t^{2n+1}}

(avec E fonction partie entière et \beta_{2n} nombre de Bernoulli d'ordre 2n).

\beta_k=\frac{(-1)^kk!}{\pi}Im\left(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^x{\rm d}x}{(1+e^x)(x-i\pi)^k}\right).
\int_0^1\ln^{2n}\left(\frac x{1-x}\right){\rm d}x=(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)\beta_{2n}\pi^{2n}.
\int_0^1 \int_0^1\cdots \int_0^1\left(\sum_{k=1}^{k=2n}\frac{ln(t_k)}{\prod_{i\not=k}(t_k-t_i)}\right){\rm d}t_1{\rm d}t_2\cdots {\rm d}t_{2n}=\frac{(-1)^{n+1}(2\pi)^{2n}\beta_{2n}}2.
\qquad \int_0^{+\infty}\frac{e^{-\alpha x}{\rm d}x}{\Gamma(x+1)}=e^{e^{-\alpha}}-1+\int_0^{+\infty}\frac{1-e^{-x}}{\left[(\ln(x)+\alpha)^2+\pi^2\right]}\frac{{\rm d}x}x (pour tout réel \alpha).
\sum_{n=1}^{n=+\infty}\left(\frac1n\sum_{k=0}^{k=n-1}\frac1{\binom{n-1}k}\right)^2=\frac{4\pi^2}{9}=\int_0^{+\infty}4[\mathrm {Ei} (1,-x)+i\pi]^2e^{-3x}{\rm d}x (Ei désigne ici la fonction exponentielle intégrale).
\frac{23}{15}-\ln(2)=\sum_{n=0}^{n=+\infty}\frac{1575}{2(n+1)(2n+1)(4n-3)(4n-1)(4n+1)(4n+5)(4n+7)(4n+9)}
Catalan = \sum_{k=0}^{k=+\infty}\frac{(-1)^k}{4^{k+1}}\left(\frac1{(4k+3)^2}+\frac2{(4k+2)^2}+\frac2{(4k+1)^2}\right)+\frac{\pi\ln(2)}8
Catalan = \frac{\pi\ln(2)}8+\sum_{n=0}^{n=\infty}(-1)^n\frac{H_{2n+1}}{2n+1}

(La constante de Catalan est définie comme \sum_{n=0}^{n=\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} et H_{2n+1}=\sum_{k=1}^{k=2n+1}\frac1k nombre harmonique d'ordre 2n + 1).

Si la mesure ρ est réductible de réductrice associée \varphi, on a l'égalité :

\int_I\varphi^2(x)\rho(x){\rm d}x=\frac{4\pi^2}3\int_I\rho^3(x){\rm d}x.

Si la mesure ρ est réductible de mesure secondaire associée \mu, alors si f est de carré intégrable pour \mu, et si g est de carré intégrable pour ρ et orthogonale à P_0=1 on a l'équivalence :

f(x)=\int_I\frac{g(t)-g(x)}{t-x}\rho(t){\rm d}t\Leftrightarrow g(x)=(x-c_1)f(x)-T_{\mu}(f(x))=\frac{\varphi(x)\mu(x)}{\rho(x)}f(x)-T_{\rho}\left(\frac{\mu(x)}{\rho(x)}f(x)\right)

(c_1 désigne le moment d'ordre 1 de ρ et T_{\rho} l'opérateur g(x)\mapsto \int_I\frac{g(t)-g(x)}{t-x}\rho(t){\rm d}t).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Approximant de Padé

Lien externe[modifier | modifier le code]

Page de Roland Groux sur la théorie des mesures secondaires.