Inégalité de Minkowski

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En mathématiques, l'inégalité de Minkowski, ainsi nommée en l'honneur de Hermann Minkowski, est l’inégalité triangulaire pour la norme des espaces Lp, établissant ainsi que ce sont des espaces vectoriels normés.

Elle concerne également la norme des espaces de suites ℓp.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient \scriptstyle(S,\mathcal A,\mu) un espace mesuré, p∈[1,+∞[ et deux fonctions f, g∈Lp(S). Alors

||f+g||_p \le ||f||_p + ||g||_p,

c'est-à-dire

\left(\int_S|f+g|^p\mathrm{d}\mu\right)^{\frac 1 p} \leq\left(\int_S|f|^p\mathrm{d}\mu\right)^{\frac 1 p}+\left(\int_S|g|^p\mathrm{d}\mu\right)^{\frac 1 p}.

De plus, pour p > 1, il y a égalité si et seulement si |f| et |g| sont colinéaires presque partout (pp), c'est-à-dire s’il existe α et β non simultanément nuls tels que α |f| + β |g| = 0 pp.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

À l'instar des inégalités de Hölder, les inégalités de Minkowski se vérifient dans le cas particulier de vecteurs dans ℝn (ou ℂn) et même de séries (n = ∞) :

\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}.

Ces inégalités se déduisent de la précédente en utilisant une mesure de dénombrement.