Fonction de Heaviside

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
La fonction H0,5 de Heaviside.

En mathématiques, la fonction de Heaviside (également fonction échelon, fonction marche d'escalier), du nom de Oliver Heaviside, est la fonction indicatrice de {\R}^+.

C'est donc la fonction H (discontinue en 0) prenant la valeur 1 pour tous les réels positifs et la valeur 0 pour les réels strictement négatifs :

\forall x \in \R,\ H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mathrm{si} & x < 0 \\ 1 & \mathrm{si} & x \ge 0. \end{matrix}\right.

Présentation et propriétés[modifier | modifier le code]

C'est une primitive de la distribution de Dirac en théorie des distributions. La valeur de H(0) a très peu d'importance, puisque la fonction est le plus souvent utilisée dans une intégrale. Certains auteurs donnent H(0) = 0, d'autres H(0) = 1. La valeur H(0) = 0,5 est souvent utilisée, parce que la fonction obtenue est ainsi symétrique. La définition est alors :

\forall x \in \R,\ H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mathrm{si} & x < 0 \\ \frac{1}{2} & \mathrm{si} & x = 0 \\ 1 & \mathrm{si} & x > 0. \end{matrix}\right.

La valeur de la fonction en 0 est parfois notée avec un indice : la fonction Hx satisfait l'égalité Hx(0) = x pour x un réel quelconque.

La fonction est utilisée dans les mathématiques du traitement du signal pour représenter un signal obtenu en fermant un interrupteur à un instant donné et en le maintenant fermé indéfiniment.

Dérivée[modifier | modifier le code]

La dérivée au sens des distributions de la fonction de Heaviside est la distribution de Dirac : \ H' = \delta .

En effet, en partant tout d'abord de l'expression de la dérivation au sens des distributions :

\langle H',\phi \rangle = - \langle H,\phi' \rangle

En appliquant ceci à l'échelon de Heaviside, nous obtenons :

\langle H',\phi \rangle = -\int_{-\infty}^{+\infty}H(x)\phi'(x)\mathrm{d}x

Une primitive de \phi'(x) est \phi(x).

Nous avons alors :

\langle H',\phi \rangle = -\int_{0}^{+\infty}\phi'(x)\mathrm{d}x = - \lim_{x\to\infty}\phi(x) + \phi(0)

Or, \phi \in\mathcal{D}, l'espace des fonctions test sur \mathbb{R}, donc \lim_{x\to\infty}\phi(x) = 0

D'où on déduit l'expression de la dérivée de l'échelon de Heaviside (au sens des distributions) :

\langle H',\phi \rangle = \phi(0) = \langle \delta,\phi \rangle,

par définition de l'impulsion de Dirac, \delta.

Primitive[modifier | modifier le code]

Une primitive de la fonction de Heaviside est donnée par x\mapsto xH(x). En effet, la dérivation de cette expression s'écrit :

\forall x \in \R,\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(xH(x))=H(x)+x\delta_0

or \ x\delta_0=0.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Fonction porte