Fonction de Heaviside

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La fonction H0,5 de Heaviside.

En mathématiques, la fonction de Heaviside (également fonction échelon unité, fonction marche d'escalier), du nom d’Oliver Heaviside, est la fonction indicatrice de .

C'est donc la fonction H (discontinue en 0) prenant la valeur 1 pour tous les réels positifs et la valeur 0 pour les réels strictement négatifs :

Présentation et propriétés[modifier | modifier le code]

C'est une primitive de la distribution de Dirac en théorie des distributions. La valeur de H(0) a très peu d'importance, puisque la fonction est le plus souvent utilisée dans une intégrale. Certains auteurs donnent H(0) = 0, d'autres H(0) = 1. La valeur H(0) = 0,5 est souvent utilisée, parce que la fonction obtenue est ainsi symétrique. La définition est alors :

La valeur de la fonction en 0 est parfois notée avec un indice : la fonction Ha satisfait l'égalité Ha(0) = a pour a un réel quelconque.

La fonction est utilisée dans les mathématiques du traitement du signal pour représenter un signal obtenu en fermant un interrupteur à un instant donné et en le maintenant fermé indéfiniment.

Dérivée[modifier | modifier le code]

La dérivée au sens des distributions de la fonction de Heaviside est la distribution de Dirac : .

En effet, en partant tout d'abord de l'expression de la dérivation au sens des distributions :

En appliquant ceci à l'échelon de Heaviside, nous obtenons :

Une primitive de est .

Nous avons alors :

Or, , l'espace des fonctions test sur , donc

D'où on déduit l'expression de la dérivée de l'échelon de Heaviside (au sens des distributions) :

par définition de l'impulsion de Dirac, .

Primitive[modifier | modifier le code]

Une primitive (au sens des distributions) de la fonction de Heaviside est la fonction rampe . En effet,

Articles connexes[modifier | modifier le code]