Fonction de Heaviside

La fonction H_0,5 de Heaviside.

En mathématiques, la fonction de Heaviside (également fonction échelon unité, fonction marche d'escalier ou échelon de Heaviside), du nom d’Oliver Heaviside, est la fonction indicatrice de ${\mathbb {R} }^{+}$.

C'est donc la fonction H (discontinue en 0) prenant la valeur 1 pour tous les réels strictement positifs et la valeur 0 pour les réels strictement négatifs. En 0, sa valeur n'a généralement pas d'importance, même si souvent elle vaut 1/2.

Présentation et propriétés

C'est une primitive de la distribution de Dirac en théorie des distributions. La valeur de H(0) a très peu d'importance, puisque la fonction est le plus souvent utilisée dans une intégrale. Certains auteurs^{[réf. nécessaire]} donnent H(0) = 0, d'autres H(0) = 1. La valeur H(0) = 0,5 est souvent utilisée, parce que la fonction obtenue est ainsi symétrique. La définition est alors :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\ H(x)=\left\{{\begin{matrix}0&\mathrm {si} &x<0\\{\frac {1}{2}}&\mathrm {si} &x=0\\1&\mathrm {si} &x>0.\end{matrix}}\right.$

La valeur de la fonction en 0 est parfois notée avec un indice : la fonction H_a satisfait l'égalité H_a(0) = a pour a un réel quelconque.

La fonction est utilisée dans les mathématiques du traitement du signal ainsi qu'en automatique pour représenter un signal obtenu en fermant un interrupteur à un instant donné et en le maintenant fermé indéfiniment.

Formulation

Avec la convention H(0) = 1, la fonction de Heaviside peut être définie par :

• un crochet d'Iverson : $$H(x):=[x\geq 0]$$
• une fonction caractéristique : $$H(x):=\mathbf {1} _{x\geq 0}=\mathbf {1} _{\mathbb {R} _{+}}(x)$$

Avec la convention H(0) = 1/2, la fonction de Heaviside peut être définie par :

• une transformation linéaire de la fonction signe : $$H(x):={\frac {1}{2}}\left({\mbox{sgn}}\,x+1\right)$$
• la moyenne arithmétique de deux crochets de Iverson : $$H(x):={\frac {[x\geq 0]+[x>0]}{2}}$$
• Une limite de la fonction arctangente à deux arguments: $$H(x)=:\lim _{\epsilon \to 0^{+}}{\frac {{\mbox{atan2}}(\epsilon ,-x)}{\pi }}$$
• une hyperfonction : $$H(x)=:\left(1-{\frac {1}{2{\rm {i}}\pi }}L(z),\ -{\frac {1}{2{\rm {i}}\pi }}L(z)\right)$$ ou $$H(x)=:\left(-{\frac {L(-z)}{2{\rm {i}}\pi }},-{\frac {L(-z)}{2{\rm {i}}\pi }}\right),$$ où L(z) désigne la valeur principale du logarithme complexe de z.

Sans poser de valeur pour H(0), on peut aussi définir la fonction par :

• La dérivée d'une fonction rampe : $$H(x):={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\max\{x,0\}\quad {\mbox{pour }}x\neq 0$$
• une expression faisant appel à la valeur absolue : $$H(x)={\frac {x+|x|}{2x}}\quad {\mbox{pour }}x\neq 0$$
• une expression faisant appel à la fonction arctangente:$$H(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\left(\arctan(x)+\arctan({\frac {1}{x}})\right){\mbox{pour }}x\neq 0$$

ou:$$H(x)={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{\pi }}\left(\arctan(x-1)-\arctan(1-{\frac {2}{x}})\right){\mbox{pour }}x\neq 0$$

Dérivée

La dérivée au sens des distributions de la fonction de Heaviside est la distribution de Dirac : $\ H'=\delta$ .

En effet, en partant tout d'abord de l'expression de la dérivation au sens des distributions :

$\langle H',\phi \rangle =-\langle H,\phi '\rangle$

En appliquant ceci à l'échelon de Heaviside, nous obtenons :

$\langle H',\phi \rangle =-\int _{-\infty }^{+\infty }H(x)\phi '(x)\mathrm {d} x$

Une primitive de $\phi '(x)$ est $\phi (x)$. On a alors :

$\langle H',\phi \rangle =-\int _{0}^{+\infty }\phi '(x)\mathrm {d} x=-\lim _{x\to \infty }\phi (x)+\phi (0)$

Or, $\phi \in {\mathcal {D}}$, l'espace des fonctions test sur $\mathbb {R}$, donc $\lim _{x\to \infty }\phi (x)=0$.

D'où on déduit l'expression de la dérivée de l'échelon de Heaviside (au sens des distributions) :

$\langle H',\phi \rangle =\phi (0)=\langle \delta ,\phi \rangle ,$

par définition de l'impulsion de Dirac, $\delta$.

Primitive

Une primitive (au sens des distributions) de la fonction de Heaviside est la fonction rampe $R:=XH:x\mapsto xH(x)$. En effet,

$R'=(XH)'=X'H+XH'=H+X\delta =H.$

Approximations continues

Approximations continues de la fonction de Heaviside (degré 1, 3 et 5)

La fonction de Heaviside est parfois utilisée pour modéliser des phénomènes variant rapidement. Toutefois, un phénomène est rarement discontinu et l'introduction d'une fonction de Heaviside dans les équations de comportement donne parfois des résultats aberrants. Par exemple, si l'on considère le démarrage d'une machine ou d'un véhicule, on considère souvent que l'accélération est nulle avant le démarrage et a une valeur fixe en phase de démarrage, la « fonction accélération » a(t) est donc modélisée par une fonction marche. Cependant, l'accélération est causée par une action mécanique associée à une déformation de la matière ; la matière ne peut pas passer d'un état « repos » à un état « déformé » instantanément, donc dans la réalité, la transition est plus « douce ». Par ailleurs, une variation instantanée de l'accélération correspondrait à un à-coup infini (fonction de Dirac) vis-à-vis des équations de mouvement, ce qui n'est pas possible.

La première solution consiste à remplacer la fonction de Heaviside par une fonction rampe c'est-à-dire une fonction linéaire passant de y = 0 à y = 1 lorsque x passe de 0 à une valeur définie δx :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\ \mathrm {rampe} (x)={\begin{cases}0\qquad {\text{si }}x<0\\{\frac {x}{\delta x}}\qquad {\text{si }}0\leqslant x<\delta x\\1\qquad {\text{si }}x\geqslant \delta x\end{cases}}$

Cette fonction est continue mais n'est pas dérivable en 0 et en δx.

Pour avoir une fonction dérivable, on utilise fréquemment une fonction polynomiale de degré 3 ; elle est dérivable une fois et sa dérivée est discontinue en début et fin de transition :

si la transition se fait sur un intervalle δx (constante réelle), alors on définit la fonction de progression

$\Delta (x)={\frac {x}{\delta x}}$

et

$\forall x\in \mathbb {R} ,\ \mathrm {marche} (x)={\begin{cases}0\qquad {\text{si }}x<0\\\Delta ^{2}(x)\cdot (3-2\Delta (x))\qquad {\text{si }}0\leqslant x<\delta x\\1\qquad {\text{si }}x\geqslant \delta x\end{cases}}$

De manière générale, si la fonction passe de y = h₀ à y = h₁ lorsque x passe de x₀ à x₁, on a :

$\Delta (x)={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$

$a=h_{1}-h_{0}$

$\forall x\in \mathbb {R} ,\ \mathrm {marche} (x)={\begin{cases}h_{0}\qquad {\text{si }}x<x_{0}\\h_{0}+a\cdot \Delta ^{2}(x)\cdot (3-2\Delta (x))\qquad {\text{si }}x_{0}\leqslant x<x_{1}\\h_{1}\qquad {\text{si }}x\geqslant x_{1}\end{cases}}$

On peut par exemple utiliser un polynôme de degré 5 sur une très courte durée (fonction souvent appelée step5, littéralement « marche5 ») ; la transition est continue, dérivable deux fois mais la dérivée troisième est discontinue en début et en fin de transition : avec les mêmes notations, pour une transition entre 0 et 1 pour x allant de 0 à δx

$\forall x\in \mathbb {R} ,\ \mathrm {marche5} (x)={\begin{cases}0\qquad {\text{si }}x<0\\\Delta ^{3}(x)\cdot (10-15\Delta (x)+6\Delta ^{2}(x))\qquad {\text{si }}0\leqslant x<\delta x\\1\qquad {\text{si }}x\geqslant \delta x\end{cases}}$

et de manière plus générale :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\ \mathrm {marche5} (x)={\begin{cases}h_{0}\qquad {\text{si }}x<x_{0}\\h_{0}+a\cdot \Delta ^{3}(x)\cdot (10-15\Delta (x)+6\Delta ^{2}(x))\qquad {\text{si }}x_{0}\leqslant x<x_{1}\\h_{1}\qquad {\text{si }}x\geqslant x_{1}\end{cases}}$

Approximations analytiques

Des approximations de la fonctions de Heaviside sont utilisées en biochimie et en neurosciences, où des approximations logistiques de la fonction saut (comme les équations de Hill (en) et de Michaelis-Menten) peuvent être utilisées pour approcher des changements de cellule binaires en réaction à des signaux chimiques.

Pour k → ∞, la fonction logistique se rapproche de la fonction de Heaviside.

Une approximation lisse de la fonction saut est donnée avec la fonction logistique : $$H(x)\approx {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh kx={\frac {1}{1+{\rm {e}}^{-2kx}}},$$ où la transition en x = 0 devient plus raide à mesure que k est choisi grand.

En fixant H(0) = 1/2, on a alors égalité pour tout x : $$H(x)=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{1+{\rm {e}}^{-2kx}}}.$$

Il existe d'autres approximations lisses qui tendent vers la fonction saut, comme: $${\begin{aligned}H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan kx\right)\\[4pt]H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} kx\right)\end{aligned}}$$

Ces limites sont vraies au sens de la convergence simple et au sens des distributions, mais en règle générale, la convergence point par point n'implique pas la convergence au sens des distributions, et réciproquement. Cependant, si tous les termes d'une suite de fonctions convergeant simplement sont uniformément bornés par une fonction bien choisie, alors il y a convergence au sens des distributions.)

En général, toute fonction de répartition d'une loi de probabilité continue et centrée (de moyenne nulle) et avec un paramètre d'échelle contrôlant la variance peut servir d'approximation, en faisant tendre la variance vers 0. Les trois exemples décrits plus haut correspondent aux lois logistique, de Cauchy et normale, respectivement.

Applications

Du fait de sa discontinuité et de sa simplicité de définition, la fonction de Heaviside est utilisée couramment pour décrire des sources émettant à partir d'un domaine spatial ou temporel donné. La résolution des équations différentielles liées se fait alors par transformation de Laplace.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Heaviside step function » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Fonction porte
• Fonction delta de Dirac
• Fonction indicatrice
• Crochet d'Iverson
• Fonction signe
• Smoothstep (en)

Liens externes

• Notice dans un dictionnaire ou une encyclopédie généraliste :

  • Universalis

• (en) Eric W. Weisstein, « Heaviside Step Function », sur MathWorld