Transformation de Fourier

Joseph Fourier

En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences. On cherche ensuite à obtenir l'expression de la fonction comme « somme infinie » des fonctions trigonométriques de toutes fréquences qui forment son spectre. Une telle sommation se présentera donc sous forme d'intégrale. L'analyse non standard permet de la présenter sous forme d'une série et justifie le point de vue intuitif. Séries et transformation de Fourier constituent les deux outils de base de l'analyse harmonique.

Transformation de Fourier pour les fonctions intégrables

Définition

La transformation de Fourier $\mathcal{F}$ est une opération qui transforme une fonction intégrable sur $\R$ en une autre fonction, décrivant le spectre fréquentiel de cette dernière. Si $f\$ est une fonction intégrable sur $\R$, sa transformée de Fourier est la fonction $\mathcal{F}(f)=\hat f$ donnée par la formule :

$\mathcal{F}(f):\xi\mapsto \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, \mathrm{e}^{-i \xi x}\, \mathrm{d}x$

On montre que la transformation de Fourier est un morphisme d'algèbre, de la $\C$-algèbre de Banach $(L^1,+,\cdot,\ast,||.||_1)$ dans la $\C$-algèbre normée $(L^\infty,+,\cdot,\times,||.||_\infty)$. C'est un opérateur injectif dont l'image est un sous-ensemble de $\mathcal{C}^0_0$ dense dans $L^\infty$. Il est de plus continu et sa norme d'opérateur vaut 1.

Conventions alternatives

Il est possible de choisir une définition alternative pour la transformation de Fourier. Ce choix est une affaire de convention dont les conséquences ne se manifestent (en général) que par des facteurs numériques. Par exemple, certains scientifiques utilisent ainsi :

$\mathcal{F}(f):\nu \mapsto \hat{f}(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm{e}^{-i 2\pi\nu t}\, \mathrm{d}t$

avec t en secondes $\nu$ la fréquence (en Hz).

Certains électroniciens ou physiciens utilisent (pour des raisons de symétrie avec la transformation de Fourier inverse) la transformation suivante :

$\mathcal{F}(f):\omega\mapsto \hat{f}(\omega) = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm{e}^{-i \omega t}\, \mathrm{d}t$

avec t en secondes et $\omega$ la pulsation (en rad.s^-1).

Cette définition n'est cependant pas adaptée au traitement des produits de convolution : à cause du facteur $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$, on a $\mathcal{F}(f*g) \ne \mathcal{F}(f) \cdot \mathcal{F}(g)$, à moins d'introduire un tel facteur dans la définition du produit de convolution.

L'ensemble de départ est l'ensemble des fonctions intégrables $f\$ d'une variable réelle $x\$. L'ensemble d'arrivée est l'ensemble des fonctions d'une variable réelle $\xi\$. Concrètement lorsque cette transformation est utilisée en traitement du signal, on notera volontiers t à la place de x et $\omega\$ ou $2\pi \nu\$ à la place de $\xi\$ qui seront les variables respectives de temps et de pulsation ou de fréquence. On dira alors que $f\$ est dans le domaine temporel, et que $\hat f$ est dans le domaine fréquentiel.

En physique, la transformation de Fourier permet de déterminer le spectre d'un signal. Les phénomènes de diffraction donnent une image de l'espace dual du réseau, ils sont une sorte de « machine à transformation de Fourier » naturelle. Pour ces applications, les physiciens définissent en général la transformation directe avec un facteur $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ et la transformation de Fourier inverse avec le même préfacteur.

La notation $\mathcal{F}(f)$ peut aussi être remplacée par F(f) ou TF(ƒ). Dans cet article, on utilisera exclusivement la première notation.

Il est également d'usage dans certaines communautés scientifiques de noter $f(\mathbf{x})$ pour la fonction de départ et $f(\mathbf{p})$ pour sa transformée, faisant ainsi correspondre à x, y, z les variables duales p, q, r. Cette notation est conforme à l'interprétation physique inspirée par la mécanique quantique : dualité entre position et quantité de mouvement. Cette notation n'est pas retenue ici.

Extension de la transformation de Fourier

Le cadre le plus naturel pour définir les transformations de Fourier est celui des fonctions intégrables. Toutefois, de nombreuses opérations (dérivations, transformation de Fourier inverse) ne peuvent être écrites en toute généralité. On doit à Plancherel l'introduction de la transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable, pour lesquelles la formule d'inversion est vraie. Puis la théorie des distributions de Schwartz, et plus particulièrement des distributions tempérées permit de trouver un cadre parfaitement adapté.

On peut généraliser la définition de la transformation de Fourier à plusieurs variables, et même sur d'autres groupes que le groupe additif $\R$. Ainsi, on peut la définir sur le groupe additif $\R/\Z$, c'est-à-dire sur les fonctions de période 1 — on retrouve ainsi les séries de Fourier —, et plus généralement sur des groupes localement compacts, pas nécessairement commutatifs, et en particulier sur des groupes finis. Ces définitions font intervenir les groupes duals, ainsi que la mesure de Haar.

Propriétés de la transformation de Fourier

	Fonction	Transformée de Fourier
Linéarité	$a \cdot g_1(x) + b \cdot g_2(x)\$	$a \cdot \hat g_1(\xi) + b \cdot \hat g_2(\xi)\$
Contraction du domaine	$f(a \cdot x) \$	$\frac{1}{|a|} \cdot \hat{f}(\xi/a)\$
Translation temporelle	$g(x+x_0)\$	$\hat g(\xi) \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \xi x_0}\$
Modulation dans le domaine temporel	$g(x) \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} x \xi_0}$	$\hat{g}(\xi-\xi_0)$
Produit de convolution	$f \star g(x)\$	$\hat f(\xi) \cdot \hat g(\xi)\$
Produit de corrélation	$f$ × $g(x)$	$\hat f(\xi) \star \hat g(\xi)\$
Dérivation	$g'(x)\$ (voir conditions ci-dessous)	$i \xi \cdot \hat{g}(\xi)$
Symétrie	réelle et paire	réelle et paire
	réelle et impaire	imaginaire pure et impaire
	imaginaire pure et paire	imaginaire pure et paire
	imaginaire pure et impaire	réelle et impaire
	gaussienne	gaussienne

• La contraction dans un domaine (temporel, spatial ou fréquentiel) implique une dilatation dans l'autre. Un exemple concret de ce phénomène peut être observé par exemple sur un gramophone. La lecture d'un 33 tours à 45 tours par minute implique une augmentation de la fréquence du signal audio (a<1), on contracte le signal audio dans le domaine temporel ce qui le dilate dans le domaine fréquentiel.
• Si la fonction $f$ est à support borné ( i.e, si $\exists x_0 \in \R, \forall |x| > x_0, f(x) = 0$ ) alors $\hat{f}$ est à support infini. Inversement, si le support spectral de la fonction $\hat{f}$ est borné alors $f$ est à support infini.
• Si f est une fonction non-nulle sur un intervalle borné alors $\hat{f}$ est une fonction non-nulle sur $\C$ et inversement, si $\hat{f}$ est non nulle sur un intervalle borné alors f est une fonction non nulle sur $\C$.
• La transformée de Fourier de f est une fonction continue, de limite nulle à l'infini (théorème de Riemann-Lebesgue), notamment bornée par

$\|\hat{f}\|_\infty\leq \|f\|_1$.

• Par changement de variable on trouve des formules intéressantes lorsqu'on effectue une translation, dilatation du graphe de f.
• Supposons que la fonction $g:x\mapsto -\mathrm{i}xf(x)$ soit intégrable ; alors on peut dériver la formule de définition sous le signe d'intégration. On constate alors que la dérivée $\hat{f}'$ est la transformée de Fourier de g.
• Si f est localement absolument continue (i.e. dérivable presque partout et égale à « l'intégrale de sa dérivée » ) et si f et f' sont intégrables, alors la transformée de Fourier de la dérivée de f est $\widehat{f'}(\xi)=\mathrm{i}\xi \hat{f}(\xi)$.

On peut résumer les deux dernières propriétés : notons D l'opération

$Df=\frac{1}{\mathrm{i}} f',$

et M la multiplication par l'argument :

$(Mf)(x)=xf(x), \quad (M\hat f)(\xi)=\xi \hat f(\xi).$

Alors, si f satisfait des conditions fonctionnelles convenables, $\widehat{Df}= + M\hat f$ et $\widehat{Mf}= - D\hat f$. Ces formules symétriques sont très belles, et aussi très importantes.

On s'affranchira de ces conditions fonctionnelles en élargissant la classe des objets sur lesquelles opère la transformation de Fourier. C'est une des motivations de la définition des distributions.

Transformation de Fourier inverse

Si la transformée de Fourier de $f\,$, notée $\hat f$, est elle-même une fonction intégrable, la formule dite de transformation de Fourier inverse, opération notée $\mathcal{F}^{-1}$, et appliquée à $\hat f$, permet (sous conditions appropriées) de retrouver $f\,$ à partir des données fréquentielles :

$f(x)=\mathcal{F}^{-1}(\hat f(\xi)) = {1 \over 2\pi}\, \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\xi)\,\mathrm{e}^{+i\xi x}\, \mathrm{d}\xi = f(x) \qquad\Leftrightarrow\qquad \hat f(\xi)\ = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, \mathrm{e}^{-i \xi x}\, \mathrm{d}x$

Cette opération de transformation de Fourier inverse a des propriétés analogues à la transformation directe, puisque seuls changent le coefficient multiplicatif et le $-i\,$ devenu $i\,$.

Dans le cas des définitions alternatives, la transformation de Fourier inverse devient:

Définition en fréquence : $f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\nu)\, \mathrm{e}^{+i 2\pi\nu t}\, \mathrm{d}\nu\qquad\Leftrightarrow\qquad\hat{f}(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm{e}^{-i 2\pi\nu t}\, \mathrm{d}t$.

Définition en pulsation : $f(t) = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\omega)\, \mathrm{e}^{+i \omega t}\, \mathrm{d}\omega \quad \Leftrightarrow\quad \hat f(\omega)\ = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm{e}^{-i \omega t}\, \mathrm{d}t$.

Preuve par la formule sommatoire de Poisson

Soit h une fonction complexe définie sur $\R$ et deux fois continûment différentiable. On suppose que h vérifie l'estimation

$|h(x)|\le\frac{C}{1+x^2},$

et que les deux premières dérivées de h sont intégrables sur $\R$. Alors la transformée de Fourier de h vérifie une estimation analogue

$|\hat h(\xi)|\le\frac{C}{1+\xi^2}.$

Soit y un nombre réel qui, pour le moment, est simplement un paramètre, et notons

$f(x)=h(x)\mathrm{e}^{-i yx}\$.

On vérifie que f a les mêmes propriétés fonctionnelles que h. Par conséquent, on peut appliquer la formule sommatoire de Poisson à f, avec la période $2\pi$:

$\sum_{n\in \Z} f(x+2\pi n)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k\in \Z}\hat f(k)\mathrm{e}^{ik x}$.

Mais le calcul de $\hat f(k)$ donne

$\hat f(k)=\int_\R h(x)\mathrm{e}^{-i(y+k)x}\, \mathrm{d}x=\hat h(y+k).$

On peut donc réécrire la formule sommatoire de Poisson en termes de h, et il vient

$\sum_{n\in Z}h(x+2\pi n)\mathrm{e}^{-i(x+2\pi n)y}=\frac{1}{2\pi}\sum_{k\in \Z} \hat h(y+k) \mathrm{e}^{ikx}.$

On multiplie les deux membres de cette identité par $e^{\mathrm{i}xy}$:

$\sum_{n\in Z}h(x+2\pi n)e^{-2i\pi ny}=\frac{1}{2\pi}\sum_{k\in \Z} \hat h(y+k) e^{i(k+y)x}.$

On remarque que les séries apparaissant de part et d'autre sont normalement convergentes pour la norme du maximum. On va donc pouvoir échanger la sommation et l'intégration par rapport à y sur l'intervalle $[0,1]$.

À gauche, l'intégration par rapport à y ne laisse subsister qu'un seul terme, celui correspondant à n=0. À droite, on intègre par rapport à y et on effectue dans chaque intégrale le changement de variable $y+k=\xi$. On obtient ainsi la formule

$h(x)=\frac{1}{2\pi}\int_\R \hat h(\xi) \mathrm{e}^{ix\xi}\, \mathrm{d}\xi.$

On passe au cas général de la formule d'inversion de Fourier pour une fonction f intégrable ainsi que sa transformée de Fourier par une méthode de densité. On approche f par une suite de fonctions $f_p$ vérifiant les hypothèses fonctionnelles de la présente démonstration. On doit bien sûr supposer que les $f_p$ et leurs transformées de Fourier $\hat f_p$ convergent vers leurs limites respectives $f$ et $\hat f$ en norme $L^1(\R)$. On peut construire de telles approximations en tronquant f, c'est-à-dire en le remplaçant par 0 en dehors de l'intervalle $[-p,p]$, et en le régularisant par convolution. Si $\phi$ est une fonction deux fois continûment différentiable, d'intégrale 1, et à support borné, on pose $\phi_p(x)=p\phi(px)$ et on convole la fonction tronquée $f_{|[-p,p]}$ par $\phi_p$. C'est une idée raisonnable d'utiliser ici le même paramètre p.

Preuve par l'analyse non standard

Soit f est une fonction de classe C∞ à support compact. Par le principe de transfert, on peut se contenter d'étudier le cas d'une fonction standard. Dans ce cas, il existe un réel infiniment grand $T$ tel que pour tout réel $|x|>T$, $f(x)=0$. Introduisons une base orthonormée totale de l'espace de Hilbert $L^2([-T,T])$ donnée par :

$e_n:x\mapsto e^{\mathrm{i}n\pi x/T}$

Par le lemme de Parseval, on est en mesure d'écrire :

$f=\sum_{\mathbf Z}c_ne_n$ où $c_n=\frac{1}{2 T} \int_{-T}^Tf(x) e^{-\mathrm{i}n\pi x/T}dx=\frac{1}{2 T}\widehat{f}\left(\frac{n\pi}{T}\right)$

Plus explicitement, pour x standard :

$f(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{\mathbf{Z}}\widehat{f}\left(\frac{n\pi}{T}\right)e^{\mathrm{i}n\pi x/T} \frac{\pi}{T}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \widehat{f}\left(w\right)e^{iwx}$

La dernière égalité vient de ce que le membre de gauche est standard, que la somme de Riemann s'effectue sur une partition de longueur infiniment petite($\pi/T$), et donc que le membre de droite est la partie standard du membre intermédiaire. L'égalité recherchée est donc vraie pour toutes les fonctions standard de classe $C^{\infty}$ à support compact et tout x standard. Par le principe de transfert, elle est aussi vérifiée pour toutes les fonctions $C^{\infty}$ à support compact et tout x, puis par densité des fonctions $C^{\infty}$ à support compact dans l'espace des fonctions intégrables, pour toutes les fonctions intégrables dont la transformée est intégrable et pour presque tout x.

Extension à l'espace ℝⁿ

Notons x∙ξ le produit scalaire canonique dans ℝⁿ :

$x\cdot \xi=\sum_{j=1}^n x_j\xi_j.$

Si f est une fonction intégrable sur ℝⁿ, sa transformée de Fourier est donnée par la formule :

$\hat f(\xi)=\int_{\R^n}f(x)~e^{-ix\cdot\xi}~\mathrm dx.$

Si $A$ est une isométrie linéaire directe, $\widehat{f\circ A}= \hat{f}\circ A$. Il en résulte que la transformée de Fourier d'une fonction radiale est radiale.

Si la transformée de Fourier de f est elle-même une fonction intégrable, on a alors la formule d'inversion :

$f(x)=\frac1{(2\pi)^n}\int_{\R^n}\hat f(\xi)~e^{ix\cdot\xi}~\mathrm d\xi.$

Transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable

Extension de la transformation de L¹ à L²

Le théorème de Plancherel permet de donner un sens à la transformée de Fourier des fonctions de carré sommable sur $\R$.

On commence par un premier résultat préparatoire.

Lemme — Soit h une fonction complexe deux fois continûment dérivable sur $\R$, qui vérifie l'estimation

$\forall x\in \R, \quad|h(x)|\le C/(1+x^2)$ (où C est une constante),

et dont les deux premières dérivées sont intégrables. Ceci implique que la transformée de Fourier $\hat h$ est bien définie et de carré intégrable. De plus, on a l'identité:

$\int_\R |h(x)|^2\, dx=\frac{1}{2\pi}\int_\R|\hat h(\xi)|^2\, d\xi.$

Preuve par la formule sommatoire de Poisson

On reprend la formule établie ci-dessus dans la démonstration de la formule d'inversion de Fourier:

$\sum_{n\in Z}h(x+2\pi n)e^{-2\mathrm{i}\pi ny}=\frac{1}{2\pi}\sum_{k\in \Z} \hat h(y+k) e^{\mathrm{i}(k+y)x}.$

On prend le carré du module des deux membres, et on intègre sur l'intervalle $[0,1]$ par rapport à y et sur l'intervalle $[0,2\pi]$:

$\int_0^1 \int_0^{2\pi}\sum_{m,n\in \Z} h(x+2\pi n) \bar h(x+2\pi m)e^{2\mathrm{i}\pi(n-m)y}\, dx\,dy=\frac{1}{4\pi^2} \int_0^1\int_0^{2\pi}\sum_{j,k\in \Z} \hat h(y+j)\bar{\hat h}(y+k)e^{\mathrm{i}(j-k)x}\, dx\, dy.$

On peut échanger l'ordre de la sommation et des deux intégrations dans l'expression ci-dessus, parce que les hypothèses faites sur h impliquent que les séries convergent normalement dans l'espace des fonctions continues de x et y, périodiques de période $2\pi$ en x et de période 1 en y. L'intégration en y du premier membre ne laisse subsister que les termes pour lesquels m et n sont égaux, et l'intégration en x du deuxième membre ne laisse subsister que les termes pour lesquels j et k sont identiques. Il reste donc:

$\sum_{n\in \Z} \int_0^{2\pi} |h(x+2\pi n)|^2\, dx=\frac{1}{2\pi}\sum_{k\in\Z}\int_0^1|\hat h(y+k)|^2\, dy.$

Il suffit de faire dans le premier membre le changement de variable dans chaque intégrale $x+2\pi n=x'$ et dans le second le changement de variable dans chaque intégrale $y+k=\xi$, et on obtient la formule:

$\int_{\R}|h(x')|^2\, dx'=\frac{1}{2\pi}\int_\R |\hat h(\xi)|^2\, d\xi.$

Après changement de la variable muette $x'$ en $x$, on obtient la formule annoncée.

Une fois démontrée dans le lemme ci-dessus la formule de Plancherel pour une classe de fonctions suffisamment régulières, on étend par densité la transformation de Fourier à tout $L^2(\R)$.

Extension de la transformation de Fourier par densité

On adopte encore les mêmes notations que dans la démonstration de la formule d'inversion de Fourier par la formule sommatoire de Poisson, donc $\phi$ est une fonction deux fois continûment différentiable, à support compact, et d'intégrale 1. On pose $\phi_p(x)=p\phi(px)$.

Soit h une fonction de carré intégrable, et soit p un nombre entier quelconque. On définit

$h_p=(h 1_{[-p,p]})*\phi_p,$

et on peut montrer le résultat suivant:

$\lim_{p\to\infty}\int_\R|h-h_p|^2\, dx=0,$

La démonstration utilise des techniques classiques d'approximation par régularisation.

D'autre part, les fonctions $h_p$ ont les propriétés nécessaires pour appliquer le lemme ci-dessus, et en particulier

$\int_\R|h_p-h_q|^2\, dx=\frac{1}{2\pi}\int_\R |\hat h_p-\hat h_q|^2\, d\xi.$

Comme la suite $(h_p)_{p\ge 1}$ est de Cauchy dans l'espace $L^2(\R)$, la suite des transformées de Fourier $(\hat h_p)_{p\ge 1}$ est aussi de Cauchy, donc elle converge. Sa limite, qu'on note $\hat h$, ne dépend pas du choix de la suite d'approximations. En effet, si $g_p$ était une autre suite d'approximations convergeant vers h en moyenne quadratique, et satisfaisant les conditions fonctionnelles sous lesquelles on peut appliquer la formule sommatoire de Poisson, on aurait l'estimation

$\|g_p-h_p\|_{L^2}\le \|g_p-h\|_{L^2}+\|h-h_p\|_{L^2},$

qui tend vers 0 pour p tendant vers l'infini. Par conséquent $\|\hat g_p-\hat h_p\|_{L^2}$ tend aussi vers 0 et on conclut que la limite de la suite $\hat g_p$ est bien $\hat h$.

On a ainsi le théorème de Plancherel :

Théorème de Plancherel —  Soit f une fonction complexe sur $\R$ et de carré sommable. Alors la transformée de Fourier de f peut être définie comme suit: pour tout p entier, on pose

$f_p(x)=(f 1_{[-p,p]})(x)=\begin{cases}f(x) &\text{si } |x|\le p,\\0&\text{sinon}.\end{cases}$

La suite des transformées de Fourier $\hat f_p$ converge dans $L^2(\R)$, et sa limite est la transformée de Fourier $\hat f$, c'est-à-dire

$\lim_{p\to\infty}\int_\R|\hat f(\xi)-\hat f_p(\xi)|^2\, d\xi=0.$

De plus on a l'identité:

$\int_\R|f(x)|^2\, dx =\frac{1}{2\pi}\int_\R |\hat f(\xi)|^2 d\xi.$

De façon similaire, si on pose $g_p(x)=\int_{-p}^p \hat f(\xi)e^{\mathrm{i} x\xi}\, d\xi,$ les $g_p$ convergent en moyenne quadratique vers $f$

Démonstration du théorème de Plancherel

L'identité suivante résulte du procédé d'extension décrit ci-dessus :

$\int_\R |h(x)|^2\, dx=\frac{1}{2\pi}\int_\R |\hat h(\xi)|^2\, d\xi.$

Considérons alors la suite de fonctions $f_p=f1_{[-p,p]}$. En vertu du théorème de convergence dominée de Lebesgue pour les fonctions de carré sommable, la suite des $f_p$ converge en moyenne quadratique vers f, et par conséquent, on aura aussi

$\lim_{p\to\infty}\|\hat f-\hat f_p\|_2=0;$

en d'autres termes, $\hat f_p$ converge en moyenne quadratique vers $\hat f$. La démonstration pour la formule d'inversion est analogue.

Ainsi la transformation de Fourier-Plancherel définit un automorphisme de l'espace L², qui est une isométrie, à condition de faire un changement d'échelle si l'on utilise la notation en pulsation

$\|\hat{f}/\sqrt {2\pi}\|_2 = \|f\sqrt {2\pi}\|_2.$

En physique, on interprète le terme $|\hat{f}(\xi)|^2$ figurant sous l'intégrale comme une densité spectrale de puissance.

La définition de la transformation de Fourier-Plancherel est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions intégrables. Sur l'intersection $L^1(\R)\cap L^2(\R)$ des domaines de définition, on montre à l'aide du théorème de convergence dominée de Lebesgue que les deux définitions coïncident.

La transformation vue comme opérateur de L²(R)

Remarque : ce paragraphe utilise la définition fréquentielle de la transformée de Fourier, pour des raisons d'isométrie.

Nous venons de voir que la transformation de Fourier $\mathcal{F}$ induit sur l'espace de Hilbert $L^2 (\R)$ un opérateur linéaire. Nous en récapitulons ici les propriétés :

• $\mathcal{F}$ est un opérateur unitaire de $\mathcal{L}^2$. Il s'agit en particulier d'une isométrie. On retrouve le premier fait, connu sous le nom de formule de Parseval, affirmant que pour toutes fonctions $f, g \in L^2 (\R)$

$\langle f | g \rangle = \langle \mathcal{F} f | \mathcal{F} g \rangle \quad, \text{i.e. } \quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \overline{g(x)} \,{\rm d}x = \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\nu) \overline{\hat{g}(\nu)} \,{\rm d}\nu,$

et en particulier le deuxième fait, connu sous le nom de théorème de Plancherel

$||f||_2 = ||\hat{f}||_ 2 \quad, \text{i.e. } \quad \int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|^2 \,{\rm d}x = \int_{-\infty}^{+\infty} |\hat{f}(\nu)|^2 \,{\rm d}\nu.$

• son inverse (qui est aussi son adjoint) est donné par $\mathcal{F}^{-1} g = t \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} g(\nu) e^{i 2 \pi \nu t} \mathrm{d} \nu$

• en tant qu'automorphisme, $\mathcal{F}$ est de période 4. Autrement dit $\mathcal{F}^4 = Id$.

• en tant qu'endomorphisme de $L^2(\R)$, $\mathcal{F}$ a pour valeurs propres les quatre racines 4-ièmes de l'unité, soit $\lbrace 1, i, -1, -i \rbrace$. Une base orthogonale de vecteurs propres est donnée par les fonctions d'Hermite-Gauss

${\psi}_n(x) = \frac{2^{1/4}}{\sqrt{n!}} \, e^{-\pi x^2}He_n(2x\sqrt{\pi}),$

où ${He}_n(x)$ sont les polynômes d'Hermite « probabilistes », qui s'écrivent

$He_n(x) = (-1)^n e^{\frac{x^2}{2}}(\frac{d}{dx})^n e^{-\frac{x^2}{2}}$.

Avec ces notations, la formule suivante récapitule la situation

$\hat\psi_n (\nu) = (-i)^n {\psi}_n (\nu) .$

On retrouve la gaussienne comme première fonction d'Hermite. Ces fonctions appartiennent à la classe de Schwartz $\mathcal{S}$, elles sont à la fois temporellement et fréquentiellement à décroissance exponentielle.

Lien avec le produit de convolution

La transformation de Fourier a des propriétés très intéressantes liées au produit de convolution. On rappelle que d'après les inégalités de Young,

• Si $f,g \in L^1(\R^N)$, alors $f*g \in L^1(\R^N)$ et $\|f*g\|_{L^1} \le \|f\|_{L^1} \cdot \|g\|_{L^1}$
• Si $f \in L^1(\R^N)$ et $g \in L^2(\R^N)$, alors $f*g \in L^2(\R^N)$ et $\|f*g\|_{L^2} \le \|f\|_{L^1} \cdot \|g\|_{L^2}$
• Si $f,g \in L^2(\R^N)$, alors $f*g \in L^\infty(\R^N)$ et $\|f*g\|_{L^\infty} \le \|f\|_{L^2} \cdot \|g\|_{L^2}$

Ainsi

• Si $f,g \in L^1(\mathbb{R}^N)$, alors $\mathcal {F}(f*g) = \mathcal{F}(f)\,.\,\mathcal{F}(g)$
• Par densité, cette égalité tient encore si $f \in L^1$ et $g \in L^2$.
• Si $f,g \in L^2(\mathbb{R}^N)$, alors $f\ast g = \mathcal {F}^{-1}[\mathcal{F}(f)\,.\,\mathcal{F}(g)]$ ; de plus, l'égalité $\mathcal {F}(f*g) = \mathcal{F}(f)\,.\,\mathcal{F}(g)$ est vraie si $f*g \in L^1$.

Transformation de Fourier sur l'espace de Schwartz

L'espace de Schwartz $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ est l'espace des fonctions $f$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}^n$, telles que $f$ et toutes ses dérivées soient à décroissance rapide. C'est un sous-espace vectoriel de $L^1$, donc pour lequel la transformée de Fourier est définie. L'intérêt de la classe de Schwartz résulte de la propriété d'échange entre régularité et décroissance à l'infinie qu'opère la transformée de Fourier.

• Toute fonction de Schwartz est de classe $\mathcal{C}^\infty$ avec des dérivées toutes intégrables. On en déduit que sa transformée de Fourier est à décroissance rapide.
• Toute fonction de Schwartz est à décroissance rapide. On en déduit que sa transformée de Fourier est de classe $\mathcal{C}^\infty$.

Ainsi, on visualise intuitivement pourquoi l'espace de Schwartz est invariant par transformation de Fourier. Cet espace est donc très commode pour l'utilisation de cette dernière. De plus, l'espace de Schwartz est dense dans $L^1$ et dans $L^2$, et pourrait donc servir de base pour la définition de la transformation de Fourier sur ces espaces.

Formule d'inversion de Fourier sur $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ —  La transformée de Fourier induit un automorphisme bicontinu de l'espace de Schwartz sur lui-même, dont l'inverse est défini par

$\mathcal{F}^{-1} (\phi) = x \mapsto \int_{\mathbb{R}^n} \phi(\xi)\, \mathrm{e}^{2 i \pi x \cdot \xi}\, \mathrm{d}\xi = \mathcal{F}(\phi \circ (-Id))$.

Remarque : cette formule dépend de la convention choisie pour la transformation de Fourier dans l'espace des fonctions. Elle est valide pour une transformation de Fourier exprimée dans l'espace des fréquences, dont la définition utilise $e^{-i 2 \pi \xi \cdot x}$.

Démonstration de la formule d'inversion

• Prouvons d'abord que $\mathcal{S}$ est stable par $\mathcal{F}$. Par commodité, nous ne traiterons que le cas $n = 1$, mais le cas quelconque se traite de manière similaire. Soit donc $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$.

1. D'une part, la décroissance rapide implique que pour tout entier naturel $n$, $x \mapsto x^n. f(x)$ est intégrable. La fonction $\mathcal{F}f$ est donc définie et $\mathcal{C}^\infty$.
2. D'autre part, pour tout couple d'entiers naturels $(n,k)$, la fonction $[x \mapsto (-2 i \pi x)^n f(x)]^{(k)}$ est dans $\mathcal{S}$, donc dans $L^1$. Sa transformée de Fourier tend vers 0 à l'infini. Or, en appliquant les propriétés d'échange entre multiplication par un polynôme et dérivation,

$\mathcal{F} \left( [x \mapsto (-2 i \pi x)^n f(x)]^{(k)} \right) (\xi) = (2 i \pi \xi)^k \left[ \mathcal{F} \left( x \mapsto (-2 i \pi x)^n f(x) \right) \right] (\xi) = (2 i \pi \xi)^k [\mathcal{F} (f)]^{(n)} (\xi)$

Ce qui prouve la décroissance rapide de $\mathcal{F}f$ ainsi que toutes ses dérivées successives. Elle satisfait donc aux conditions d'appartenance à $\mathcal{S}$.

• Nous savons déjà que $\mathcal{F}$ est injective sur $\mathcal{S}$, car injective sur $L^1$ qui contient $\mathcal{S}$. Or si $f \in \mathcal{S}$, alors $\mathcal{F}f \in L^1$. Le théorème d'inversion sur $L^1$ s'applique et donne

$f = \mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}f)$

Par ailleurs, $\mathcal{F}^{-1}(\xi \mapsto g(-\xi)) = \mathcal{F}g$, ce qui donne un antécédent de toute fonction $g$ de $\mathcal{S}$.

Transformation de Fourier pour les distributions tempérées

On définit la transformée de Fourier d'une distribution tempérée $T \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ comme la distribution définie via son crochet de dualité par

$\forall \phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n),\quad \langle \mathcal{F}T, \phi \rangle = \langle T, \mathcal{F} \phi \rangle$.

Les détails et des exemples ne sont pas donnés ici, mais figurent dans l'article relatif aux distributions tempérées.

Remarquons que l'expression de la transformée de Fourier d'une fonction $f$ ressemble au produit scalaire dans $L^2 (\mathbb{C}), (f, g)_{L^2} := \int f \bar{g}$ entre $f$ et la conjuguée de $e_{2 \pi \xi} : x \mapsto e^{i 2 \pi \xi \cdot x}$. Sauf que $(f, e_{2 \pi \xi})_{L^2}$ n'a pas de sens car $e_{2 \pi \xi}$ n'est pas dans $L^2$. C'est le crochet de dualité des distributions $\langle T_f, e_{2 \pi \xi} \rangle$, qui pour les fonctions coïncident avec le produit scalaire de $L^2$, donne sens à cette formulation en tant que produit scalaire.

Cette généralisation va bien plus loin car l'espace des distributions tempérées $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ englobe les différents objets sur lesquels la transformée de Fourier a été définie : fonctions de $\mathbb{R}^n$ sommables ou de carré sommable, fonctions de $\mathbb{R}^n$ périodiques localement sommables ou localement de carré sommable, suites discrètes sommables, suites discrètes périodiques. La transformée de Fourier sur $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ unifie et généralise les différentes définitions des transformées avec l'unique formalisme des distributions. Nous allons montrer que la transformée de Fourier sur $\mathcal{S}'$ généralise les notions d'intégrales de Fourier et de séries de Fourier, en analysant successivement ces espaces.

Compatibilité de la transformation de Fourier sur $\mathcal{S}'$

Compatibilité avec les espaces de fonctions

Les fonctions intégrables définissent des distributions tempérées. Montrons que les deux notions possibles de transformée de Fourier coïncident.

Compatibilité de $\mathcal{F}$ avec $L^1$ — Soit $f \in L^1 (\mathbb{R}^n)$ et $\hat{f}$ sa transformée de Fourier dans $L^1$. Alors $\hat{f}$ définie une distribution tempérée égale à la transformée de fourier de $T_f$, c'est-à-dire

$\mathcal{F} T_f = T_\hat{f}$.

Démonstration de la compatibilité de $\mathcal{F}$ avec $L^1$

Soit $f \in L^1$. On sait que $\hat{f}$ est dans $\mathcal{C}_0$, donc bornée, et donc définit une distribution tempérée. Il suffit de montrer que pour tout $\phi \in \mathcal{S}$, $\langle \mathcal{F}T_f, \phi \rangle = \int_{\mathbb{R}^n} \phi(y) \hat{f}(y) \mathrm{d}x$ en utilisant le théorème de Fubini. Soit $\phi \in \mathcal{S}$. Alors $(x,y) \mapsto f(x) \phi(y)$ est intégrable sur $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$. De plus $\langle \mathcal{F}T_f, \phi \rangle = \langle T_f, \mathcal{F}\phi \rangle = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) \left( \int_{\mathbb{R}^n} \phi(y) e^{- i x \dot y} \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x$ Par le théorème de Fubini, $\int_{\mathbb{R}^n} f(x) \left( \int_{\mathbb{R}^n} \phi(y) e^{- i x \dot y} \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^n} \phi(y) \left( \int_{\mathbb{R}^n} e^{- i x \dot y} f(x) \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y = \int_{\mathbb{R}^n} \phi(y) f(y) \mathrm{d}y$, donc $\langle \mathcal{F}T_f, \phi \rangle = \langle \mathcal{F}T_\hat{f}, \phi \rangle$.

Les fonctions de carré sommable définissent aussi des distributions tempérées. Utilisons la compatibilité précédente pour l'établir sur cet autre espace.

Compatibilité de $\mathcal{F}$ avec $L^2$ — Soit $f \in L^2 (\mathbb{R}^n)$ et $\hat{f}$ sa transformée de Fourier dans $L^2$. Alors $\hat{f}$ définie une distribution tempérée égale à la transformée de fourier de $T_f$, c'est-à-dire

$\mathcal{F} T_f = T_\hat{f}$.

Nous passons pour démontrer ce résultat par l'espace de Schwartz, qui présente l'avantage d'être un sous-espace vectoriel de $L^1 \cap L^2$ dense dans $L^2$.

Démonstration de la compatibilité de $\mathcal{F}$ avec $L^2$

On a déjà montré que $\mathcal{F}$ coïncide avec $f \mapsto \hat{f}$ sur $L^1$, donc en particulier sur l'espace de Schwartz $\mathcal{S}$. Leur restriction à $\mathcal{S}$ définissent donc la même isométrie de $(\mathcal{S},||.||_2)$ dans l'espace complet $(L^2,||.||_2)$. Or $\mathcal{S}$ est dense dans $L^2$, et une isométrie est toujours une application uniformément continue. Par unicité du prolongement des fonctions uniformément continues à valeurs dans une espace complet, la restriction de $\mathcal{F}$ à $L^2$ et la transformée de Fourier sur $L^2$ définissent deux de ces prolongements, et donc coïncident.

Enfin, les fonctions périodiques intégrables sur une période sont exactement les fonctions à la fois périodiques et localement intégrables, et donc définissent des distributions régulières.

Compatibilité de $\mathcal{F}$ avec $L^1_{\mathrm{per}}$ — La transformée de Fourier d'une distribution régulière $T_f$ définie par une fonction T-périodique $f \in L^1 ([0, T[)$, est la distribution à support discret correspondant à la suite de ses coefficients de Fourier :

$\mathcal{F} T_f = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n (f) . \delta_n$ avec $c_n (f) = \int_0^T f(x) e^{-i \frac{2 \pi}{T} n x}\, \mathrm{d}x$.

Si le résultat énoncé ne concerne que les fonctions périodiques de la variable réelle, même si le résultat s'étendrait facilement aux fonctions périodiques sur un réseau de $\mathbb{R}^N$. Comme la transformée de Fourier est bijective, la démonstration de ce résultat sera une conséquence du théorème sur les distributions périodiques.

Compatibilité avec les espaces de suites

Les suites, c'est-à-dire les signaux discrets, peuvent s'exprimer comme fonction de $\mathbb{R}$ à support dans $\mathbb{Z}$. À une suite donnée $a := (a_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ correspond en effet de manière unique une série de masses de Dirac $T_a := \sum_{k \in \mathbb{Z}} a_k \delta_k$. Lorsque cette suite est sommable, cette série de masses de Dirac a en effet un sens en tant que distribution tempérée d'ordre 0.

Compatibilité de $\mathcal{F}$ avec $l^1$ — Soit une suite sommable à valeurs complexes notée $a := (a_n)_{n \in \mathbb{Z}}$. Sa transformée de Fourier à temps discret est une fonction 1-périodique qui coïncide avec la transformée de Fourier de la série de masses de Dirac associée à a.

$\mathbf{TFTD}[(a_n)_{n \in \mathbb{Z}}] = \mathcal{F} \left( \sum_{k \in \mathbb{Z}} a_k \delta_k \right)$.

Démonstration de la compatibilité de $\mathcal{F}$ avec $l^1$

Lorsque a est sommable, la somme $T_a := \sum_{k \in \mathbb{Z}} a_k \delta_k$ définit bien une distribution d'ordre 0. En effet, pour une fonction test $\phi \in \mathcal{S} (\mathbb{R})$, $\begin{array}{lcl} \langle \sum_{k \in \mathbb{Z}} a_k \delta_k, \phi \rangle & = & \sum_{k \in \mathbb{Z}} (a_k.\phi (k)) \\ | \langle \sum_{k \in \mathbb{Z}} a_k \delta_k, \phi \rangle | & \leq & \left( \sum_{k \in \mathbb{Z}} |a_k| \right) . ||\phi||_\infty \\ \end{array}$

Par continuité de la transformation de Fourier et formule de la transformée du dirac $\mathcal{F}(\delta_k) = e_{-2 \pi k}$,

$\mathcal{F}T_a = \xi \mapsto \sum_{k \in \mathbb{Z}} a_k e^{-i 2 \pi k \xi}= \mathbf{TFTD}[a]$.

On retrouve bien la transformée de Fourier en temps discret.

Par densité, la démonstration s'étend aux séries de carré sommable. Notons en outre que la transformée de Fourier des distributions périodiques donne une définition de la transformée de Fourier à suite discrètes non pas sommables, au moins à croissance polynômiale.

En particulier, la transformée de Fourier discrète (TFD) s'interprète également comme la transformée d'une distribution tempérée. En effet, une suite finie de N points $\lbrace x_k \rbrace_{k=0}^{N-1}$ s'identifie de manière unique avec une suite N-périodique obtenue par périodisation, c'est-à-dire convolution avec un peigne de Dirac.

Compatibilité de $\mathcal{F}$ avec la TFD — La TFD d'une suite $x(.)$ à l'ordre N est la transformée de Fourier de la distribution à support dans $\mathbb{Z}$ obtenue par périodisation de $x(.)$ à la période N, c'est-à-dire convolution par un peigne de Dirac $W_N$ :

$\mathbf{TFD}_N[x(.)] (k) = \mathcal{F} [\tilde{x}(.)] (k)$ avec $\tilde{x} = W_N \ast \left( \sum_{n=0}^{N-1} x(n) \delta_n \right)$.

Signaux discrets et signaux périodiques

Nous pouvons retenir que formellement, la transformée de Fourier échange discrétisation et périodisation.

• Le spectre d'un signal discret $x[.]$ obtenu par échantillonnage à la période T présente un spectre périodique, résultant de la périodisation du spectre du signal continu :

$\mathbf{TFTD}(x[.]) = \mathcal{F}(x(.)) \ast W_{\frac{2\pi}{T}}$.

Si la multiplication n'est pas définie entre distribution, on donne dans le cas du peigne un sens à $x[.] = x(.) \cdot W_T$, et la formulation de convolution est encore vérifiée : $\mathcal{F}(x(.) \cdot W_T) = \mathcal{F}(x(.)) \ast \mathcal{F}(W_T)$.

• Le spectre d'un signal T-périodique $x_T (.)$, c'est-à-dire la somme de sa série de Fourier, est celui obtenu par discrétisation du spectre du signal tronqué sur une seule période.

$\mathcal{F}(x_T (.)) = \mathcal{F}(x(.)) \cdot W_T$ avec $x = x_T . 1_{[0,T]}$.

Liens avec d'autres transformations

Lien avec les transformations de Laplace

La transformée de Fourier d'une fonction $f\$ est un cas particulier de la transformée bilatérale de Laplace de cette même fonction définie par : $\mathcal{L}_{bil}\{f\} (p) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, e^{-pt} dt$ avec $p \in \C$.

On constate alors que $\mathcal{F}\{f\} (\xi) = \mathcal{L}_{bil}\{f\} (i\xi)$.

On peut également écrire ce lien en utilisant la transformée de Laplace « usuelle » par :

$\mathcal{F}\{f\}(\xi) = \mathcal{L}\{f^+\}(+i\xi) + \mathcal{L}\{f^-\}(-i\xi)$

où les fonctions $f^+\$ et $f^-\$ sont définies par :

$f^+(t) = f(+t)\$ si t ≥ 0 et 0 sinon.

$f^-(t) = f(-t)\$ si t ≥ 0 et 0 sinon.

Lien avec les séries de Fourier

Parallèle formel

La transformée de Fourier est définie de façon semblable : la variable d'intégration x est remplacée par nΔx, n étant l'indice de sommation, et l'intégrale par la somme. On a alors

$\hat f(k)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty f(n)e^{-i2\pi kn\Delta t}$.

On trouvera quelques remarques à ce sujet dans Analyse spectrale.

Comme on l'a vu plus haut, il est d'autre part possible d'interpréter l'intégrale de la transformée de Fourier comme une somme finie de n oscillateurs harmoniques, où n est un entier non standard ; cela revient à identifier (en un sens différent) la transformation de Fourier aux coefficients d'une série de Fourier.

Transformée

On utilise les variables normalisées suivantes : $F={f \over f_e}=f \Delta t = f|_{\Delta t=1}$, $\Omega =e\pi F=2\pi f\Delta t=\omega\delta t|_{\Delta t=1}$.

Transformation de Fourier (analyse)	Transformation inverse (synthèse)
$X(f)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i2\pi fn\Delta t}$	$x(n)=\int_{f_e} X(f)e^{i2\pi fn\Delta t}df$
$X(w)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i\omega n\Delta t}$	$x(n)={1 \over 2\pi} \int_{\omega_2=2\pi f_e}X(w)e^{iwn\Delta t}dw$
$X(F)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i2\pi nF}$	$x(n)=\int_1 X(f)e^{i2\pi nF}dF\,\!$
$X(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-in\Omega}$	$x(n)={1 \over 2\pi}\int_{2\pi} X(\Omega)e^{in\Omega}d\Omega$

Généralisation

La transformée de Fourier se généralise pratiquement telle quelle aux groupes abéliens localement compacts, grâce à la dualité de Pontryagin.

En traitement d'images, on effectue des transformations de Fourier à deux dimensions : si ƒ est une fonction de $\R^2 \to \R$, sa transformée de Fourier est définie par :

$\hat{f}(u, v) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \cdot \mathrm{e}^{-i(ux + vy)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \text{.}$

Notes et références

• Jean-Michel Bony, Cours d'analyse, Éditions de l'École Polytechnique
• Srishti D. Chatterji Cours d'analyse, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1998 (ISBN 978-2880743468)

Voir aussi

Articles connexes

• Densité spectrale
• Densité spectrale de puissance
• Produit de convolution
• Transformée de Fourier rapide
• Transformée de Fourier discrète
• Transformée de Laplace
• Transformation de Mellin
• Bispectre

Liens externes

• Alain Yger, Espaces de Hilbert et analyse de Fourier (2008), cours de 3^e année de licence, université Bordeaux I
• Michel Lecomte, Transformation de Fourier Cours et exercices (Juillet 2001), École des Mines de Douai
• (en) FTL-SE, programme éducatif sur les transformées de Fourier d'images