Transformation de Fourier

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En analyse, la transformation de Fourier est une extension, pour les fonctions non périodiques, du développement en série des fonctions périodiques de Fourier. La transformation de Fourier associe à une fonction intégrable, définie sur l'ensemble des nombres réels ou celui des nombres complexes, une fonction appelée transformée de Fourier dont la variable indépendante peut s'interpréter en physique comme la fréquence ou la pulsation.

La transformée de Fourier s'exprime comme « somme infinie » des fonctions trigonométriques de toutes fréquences. Une telle sommation se présente sous forme d'intégrale. L'analyse non standard permet de la présenter sous forme d'une série et justifie le point de vue intuitif. Séries et transformation de Fourier constituent les deux outils de base de l'analyse harmonique.

Lorsque la fonction est la représentation d'un phénomène physique, comme l'état du champ électromagnétique ou du champ sonore en un point, on l'appelle signal et sa transformée de Fourier s'appelle son spectre.

Transformation de Fourier pour les fonctions intégrables[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

La transformation de Fourier \mathcal{F} est une opération qui transforme une fonction intégrable sur \R en une autre fonction, décrivant le spectre fréquentiel de cette dernière. Si f\ est une fonction intégrable sur \R, sa transformée de Fourier est la fonction \mathcal{F}(f)=\hat f donnée par la formule :

\mathcal{F}(f):\xi\mapsto \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, \mathrm{e}^{-i \xi x}\, \mathrm{d}x

Conventions alternatives[modifier | modifier le code]

Il est possible de choisir une définition alternative pour la transformation de Fourier. Ce choix est une affaire de convention dont les conséquences ne se manifestent (en général) que par des facteurs numériques. Par exemple, certains scientifiques utilisent ainsi :

\mathcal{F}(f):\nu \mapsto \hat{f}(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm{e}^{-i 2\pi\nu t}\, \mathrm{d}t

avec t en secondes \nu la fréquence (en Hz).

Certains électroniciens ou physiciens utilisent (pour des raisons de symétrie avec la transformation de Fourier inverse) la transformation suivante :

\mathcal{F}(f):\omega\mapsto \hat{f}(\omega) = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm{e}^{-i \omega t}\, \mathrm{d}t

avec t en secondes et \omega la pulsation (en rad.s-1).

Cette définition n'est cependant pas adaptée au traitement des produits de convolution : à cause du facteur \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, on a \mathcal{F}(f*g) \ne \mathcal{F}(f) \cdot \mathcal{F}(g) , à moins d'introduire un tel facteur dans la définition du produit de convolution.

L'ensemble de départ est l'ensemble des fonctions intégrables f\ d'une variable réelle x\ . L'ensemble d'arrivée est l'ensemble des fonctions d'une variable réelle \xi\ . Concrètement lorsque cette transformation est utilisée en traitement du signal, on notera volontiers t à la place de x et \omega\ ou 2\pi \nu\ à la place de \xi\ qui seront les variables respectives de temps et de pulsation ou de fréquence. On dira alors que f\ est dans le domaine temporel, et que \hat f est dans le domaine fréquentiel.

En physique, la transformation de Fourier permet de déterminer le spectre d'un signal. Les phénomènes de diffraction donnent une image de l'espace dual du réseau, ils sont une sorte de « machine à transformation de Fourier » naturelle. Pour ces applications, les physiciens définissent en général la transformation directe avec un facteur \frac{1}{\sqrt{2\pi}} et la transformation de Fourier inverse avec le même préfacteur.

La notation \mathcal{F}(f) peut aussi être remplacée par F(f) ou TF(ƒ). Dans cet article, on utilisera exclusivement la première notation.

Il est également d'usage dans certaines communautés scientifiques de noter f(\mathbf{x}) pour la fonction de départ et f(\mathbf{p}) pour sa transformée, faisant ainsi correspondre à x, y, z les variables duales p, q, r. Cette notation est conforme à l'interprétation physique inspirée par la mécanique quantique : dualité entre position et quantité de mouvement. Cette notation n'est pas retenue ici.

Extension de la transformation de Fourier[modifier | modifier le code]

Le cadre le plus naturel pour définir les transformations de Fourier est celui des fonctions intégrables. Toutefois, de nombreuses opérations (dérivations, transformation de Fourier inverse) ne peuvent être écrites en toute généralité. On doit à Plancherel l'introduction de la transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable, pour lesquelles la formule d'inversion est vraie. Puis la théorie des distributions de Schwartz, et plus particulièrement des distributions tempérées permit de trouver un cadre parfaitement adapté.

On peut généraliser la définition de la transformation de Fourier à plusieurs variables, et même sur d'autres groupes que le groupe additif \R. Ainsi, on peut la définir sur le groupe additif \R/\Z, c'est-à-dire sur les fonctions de période 1 — on retrouve ainsi les séries de Fourier —, et plus généralement sur des groupes localement compacts, pas nécessairement commutatifs, et en particulier sur des groupes finis. Ces définitions font intervenir les groupes duaux, ainsi que la mesure de Haar.

Propriétés de la transformation de Fourier[modifier | modifier le code]

Fonction Transformée de Fourier
Linéarité a \cdot g_1(x) + b \cdot g_2(x)\ a \cdot \hat g_1(\xi) + b \cdot \hat g_2(\xi)\
Contraction du domaine f(a \cdot x) \ \frac{1}{|a|} \cdot \hat{f}(\xi/a)\
Translation temporelle g(x+x_0)\ \hat g(\xi) \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \xi x_0}\
Modulation dans le domaine temporel g(x) \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} x \xi_0} \hat{g}(\xi-\xi_0)
Produit de convolution (f \star g)(x)\ \hat f(\xi) \cdot \hat g(\xi)\
Produit (f  \cdot g)(x) \frac 1{2\pi}(\hat f \star \hat g)(\xi)\
Dérivation dans le domaine temporel f'(x)\

(voir conditions ci-dessous)

i \xi \cdot \hat{f}(\xi)
Dérivation dans le domaine fréquentiel x  \cdot f(x) \frac \mathrm{i}{2\pi}\hat f'(\xi)\
Symétrie réelle et paire réelle et paire
réelle paire (à symétrie hermitienne)
réelle et impaire imaginaire pure et impaire
imaginaire pure et paire imaginaire pure et paire
imaginaire pure et impaire réelle et impaire
Forme gaussienne gaussienne
  • La contraction dans un domaine (temporel, spatial ou fréquentiel) implique une dilatation dans l'autre. Un exemple concret de ce phénomène peut être observé par exemple sur un tourne-disque. La lecture d'un 33 tours à 45 tours par minute implique une augmentation de la fréquence du signal audio (a<1), on contracte le signal audio dans le domaine temporel ce qui le dilate dans le domaine fréquentiel.
  • Si la fonction f est à support borné ( i.e, si \exists x_0 \in \R, \forall |x| > x_0, f(x) = 0 ) alors \hat{f} est à support infini. Inversement, si le support spectral de la fonction \hat{f} est borné alors f est à support infini.
  • Si f est une fonction non-nulle sur un intervalle borné alors \hat{f} est une fonction non-nulle sur \C et inversement, si \hat{f} est non nulle sur un intervalle borné alors f est une fonction non nulle sur \C.
  • La transformée de Fourier de f est une fonction continue, de limite nulle à l'infini (théorème de Riemann-Lebesgue), notamment bornée par
\|\hat{f}\|_\infty\leq \|f\|_1.
  • Par changement de variable on trouve des formules intéressantes lorsqu'on effectue une translation, dilatation du graphe de f.
  • Supposons que la fonction g:x\mapsto -\mathrm{i}xf(x) soit intégrable ; alors on peut dériver la formule de définition sous le signe d'intégration. On constate alors que la dérivée \hat{f}' est la transformée de Fourier de g.
  • Si f est localement absolument continue (i.e. dérivable presque partout et égale à « l'intégrale de sa dérivée » ) et si f et f' sont intégrables, alors[1] la transformée de Fourier de la dérivée de f est \widehat{f'}(\xi)=\mathrm{i}\xi \hat{f}(\xi).

On peut résumer les deux dernières propriétés : notons D l'opération

Df=\frac{1}{\mathrm{i}} f',

et M la multiplication par l'argument :

(Mf)(x)=xf(x), \quad (M\hat f)(\xi)=\xi \hat f(\xi).

Alors, si f satisfait des conditions fonctionnelles convenables, \widehat{Df}= + M\hat f et \widehat{Mf}= - D\hat f. Ces formules symétriques sont très belles, et aussi très importantes.

On s'affranchira de ces conditions fonctionnelles en élargissant la classe des objets sur lesquelles opère la transformation de Fourier. C'est une des motivations de la définition des distributions.

Transformation de Fourier inverse[modifier | modifier le code]

Si la transformée de Fourier de f\,, notée \hat f, est elle-même une fonction intégrable, la formule dite de transformation de Fourier inverse, opération notée \mathcal{F}^{-1}, et appliquée à \hat f, permet (sous conditions appropriées) de retrouver f\, à partir des données fréquentielles :

 f(x)=\mathcal{F}^{-1} (\hat f)(x)={1 \over 2\pi}\, \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\xi)\,\mathrm{e}^{+{\rm i}\xi x}\, \mathrm{d}\xi \qquad\Leftrightarrow\qquad \hat f(\xi)\ = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, \mathrm{e}^{-{\rm i}\xi x}\, \mathrm{d}x.

Cette opération de transformation de Fourier inverse a des propriétés analogues à la transformation directe, puisque seuls changent le coefficient multiplicatif et le –i devenu i.

Dans le cas des définitions alternatives, la transformation de Fourier inverse devient :

Définition en fréquence : f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\nu)\, \mathrm{e}^{+{\rm i}2\pi\nu t}\, \mathrm{d}\nu\qquad\Leftrightarrow\qquad\hat{f}(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm{e}^{-{\rm i}2\pi\nu t}\, \mathrm{d}t.
Définition en pulsation : f(t) = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\omega)\, \mathrm{e}^{+{\rm i}\omega t}\, \mathrm{d}\omega \quad \Leftrightarrow\quad \hat f(\omega)\ = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm{e}^{-{\rm i}\omega t}\, \mathrm{d}t.

Extension à l'espace ℝn[modifier | modifier le code]

Notons x∙ξ le produit scalaire canonique dans ℝn :

x\cdot \xi=\sum_{j=1}^n x_j\xi_j.

Si f est une fonction intégrable sur ℝn, sa transformée de Fourier est donnée par la formule :

\hat f(\xi)=\int_{\R^n}f(x)~e^{-ix\cdot\xi}~\mathrm dx.

Si A est une isométrie linéaire directe,  \widehat{f\circ A}= \hat{f}\circ A . Il en résulte que la transformée de Fourier d'une fonction radiale est radiale.

Si la transformée de Fourier de f est elle-même une fonction intégrable, on a alors la formule d'inversion :

f(x)=\frac1{(2\pi)^n}\int_{\R^n}\hat f(\xi)~e^{ix\cdot\xi}~\mathrm d\xi.

Transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable[modifier | modifier le code]

Extension de la transformation de L1 à L2[modifier | modifier le code]

Le théorème de Plancherel permet de donner un sens à la transformée de Fourier des fonctions de carré sommable sur \R.

On commence par un premier résultat préparatoire.

Lemme — Soit h une fonction complexe deux fois continûment dérivable sur \R, qui vérifie l'estimation

\forall x\in \R, \quad|h(x)|\le C/(1+x^2) (où C est une constante),

et dont les deux premières dérivées sont intégrables. Ceci implique que la transformée de Fourier \hat h est bien définie et de carré intégrable. De plus, on a l'identité:

\int_\R |h(x)|^2\, dx=\frac{1}{2\pi}\int_\R|\hat h(\xi)|^2\, d\xi.

Une fois démontrée dans le lemme ci-dessus la formule de Plancherel pour une classe de fonctions suffisamment régulières, on étend par densité la transformation de Fourier à tout L^2(\R).

On a ainsi le théorème de Plancherel :

Théorème de Plancherel —  Soit f une fonction complexe sur \R et de carré sommable. Alors la transformée de Fourier de f peut être définie comme suit: pour tout p entier, on pose

f_p(x)=(f 1_{[-p,p]})(x)=\begin{cases}f(x) &\text{si } |x|\le p,\\0&\text{sinon}.\end{cases}

La suite des transformées de Fourier \hat f_p converge dans L^2(\R), et sa limite est la transformée de Fourier \hat f, c'est-à-dire

\lim_{p\to\infty}\int_\R|\hat f(\xi)-\hat f_p(\xi)|^2\, d\xi=0.

De plus on a l'identité:

\int_\R|f(x)|^2\, dx =\frac{1}{2\pi}\int_\R |\hat f(\xi)|^2 d\xi.

De façon similaire, si on pose g_p(x)=\int_{-p}^p \hat f(\xi)e^{\mathrm{i} x\xi}\, d\xi, les g_p convergent en moyenne quadratique vers f

Ainsi la transformation de Fourier-Plancherel définit un automorphisme de l'espace L2, qui est une isométrie, à condition de faire un changement d'échelle si l'on utilise la notation en pulsation

\|\hat{f}/\sqrt {2\pi}\|_2 = \|f\sqrt {2\pi}\|_2.

En physique, on interprète le terme |\hat{f}(\xi)|^2 figurant sous l'intégrale comme une densité spectrale de puissance.

La définition de la transformation de Fourier-Plancherel est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions intégrables. Sur l'intersection L^1(\R)\cap L^2(\R) des domaines de définition, on montre à l'aide du théorème de convergence dominée de Lebesgue que les deux définitions coïncident.

La transformation vue comme opérateur de L2(R)[modifier | modifier le code]

Remarque : ce paragraphe utilise la définition fréquentielle de la transformée de Fourier, pour des raisons d'isométrie.

Nous venons de voir que la transformation de Fourier \mathcal{F} induit sur l'espace de Hilbert L^2 (\R) un opérateur linéaire. Nous en récapitulons ici les propriétés :

  • \mathcal{F} est un opérateur unitaire de \mathcal{L}^2. Il s'agit en particulier d'une isométrie. On retrouve le premier fait, connu sous le nom de formule de Parseval, affirmant que pour toutes fonctions f, g \in L^2 (\R)
 \langle f | g \rangle = \langle \mathcal{F} f | \mathcal{F} g \rangle \quad, \text{i.e. } \quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \overline{g(x)} \,{\rm d}x = \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\nu) \overline{\hat{g}(\nu)} \,{\rm d}\nu,

et en particulier le deuxième fait, connu sous le nom de théorème de Plancherel

\|f\|_2 =\|\hat{f}\|_ 2  \quad, \text{i.e. } \quad \int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|^2 \,{\rm d}x = \int_{-\infty}^{+\infty} |\hat{f}(\nu)|^2 \,{\rm d}\nu.
{\psi}_n(x) = \frac{2^{1/4}}{\sqrt{n!}} \, e^{-\pi x^2}He_n(2x\sqrt{\pi}),

{He}_n(x) sont les polynômes d'Hermite « probabilistes », qui s'écrivent

He_n(x) = (-1)^n e^{\frac{x^2}{2}}(\frac{d}{dx})^n e^{-\frac{x^2}{2}}.

Avec ces notations, la formule suivante récapitule la situation

 \hat\psi_n (\nu) = (-i)^n {\psi}_n (\nu) .

On retrouve la gaussienne comme première fonction d'Hermite. Ces fonctions appartiennent à la classe de Schwartz \mathcal{S}, elles sont à la fois temporellement et fréquentiellement à décroissance exponentielle.

Lien avec le produit de convolution[modifier | modifier le code]

La transformation de Fourier a des propriétés très intéressantes liées au produit de convolution. On rappelle que d'après les inégalités de Young,

  • Si  f,g \in L^1(\R^N), alors  f*g \in L^1(\R^N) et  \|f*g\|_{L^1} \le \|f\|_{L^1} \cdot \|g\|_{L^1}
  • Si  f \in L^1(\R^N) et  g \in L^2(\R^N), alors  f*g \in L^2(\R^N) et \|f*g\|_{L^2} \le \|f\|_{L^1} \cdot \|g\|_{L^2}
  • Si  f,g \in L^2(\R^N), alors  f*g \in L^\infty(\R^N) et  \|f*g\|_{L^\infty} \le \|f\|_{L^2} \cdot \|g\|_{L^2}

Ainsi

  • Si f,g \in L^1(\mathbb{R}^N), alors \mathcal {F}(f*g) = \mathcal{F}(f)\,.\,\mathcal{F}(g)
  • Par densité, cette égalité tient encore si f \in L^1 et g \in L^2.
  • Si f,g \in L^2(\mathbb{R}^N), alors f\ast g = \mathcal {F}^{-1}[\mathcal{F}(f)\,.\,\mathcal{F}(g)] ; de plus, l'égalité \mathcal {F}(f*g) = \mathcal{F}(f)\,.\,\mathcal{F}(g) est vraie si f*g \in L^1.

Principe d'incertitude[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Principe d'incertitude.

On peut remarquer que les répartitions d'une fonction et de sa transformée de Fourier ont des comportements opposés : plus la masse de f(x) est « concentrée », plus celle de la transformée est étalée, et inversement. Il est en fait impossible de concentrer à la fois la masse d'une fonction et celle de sa transformée.

Ce compromis entre la compaction d'une fonction et celle de sa transformée de Fourier peut se formaliser par un principe d'incertitude en considérant une fonction et sa transformée de Fourier comme des variables conjuguées par la forme symplectique sur le domaine temps-fréquence : par la transformation canonique linéaire, la transformation de Fourier est une rotation de 90° dans le domaine temps–fréquence qui préserve la forme symplectique.

Supposons f intégrable et de carré intégrable. Sans perte de généralité, on supposera f normalisée :

\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \,{\rm d}x=1.

Par le théorème de Plancherel, on sait que \hat f est également normalisée.

On peut mesurer la répartition autour du point x = 0 par la dispersion autour de zéro[2] :

D_0(f)=\int_{-\infty}^\infty x^2|f(x)|^2\,{\rm d}x.

En probabilités, il s'agit du moment d'ordre 2 de |f|2.

Le principe d'incertitude dit que si f(x) est absolument continue et que les fonctions x·f(x) et f′(x) sont de carrés intégrables, on a alors[3]

D_0(f)D_0(\hat{f}) \geq \frac{1}{16\pi^2}.

L'égalité n'est atteinte que pour f(x)=C_1 \, e^{{-\pi x^2}/{\sigma^2}} (alors \hat{f}(\xi)= \sigma C_1 \, e^{-\pi\sigma^2\xi^2}) pour σ > 0 arbitraire et C1 telle que f est L2–normalisée, soit, si f est une fonction gaussienne (normalisée) centrée en 0 et de variance σ2, et sa transformée de Fourier est une gaussienne de variance σ−2.

Transformation de Fourier sur l'espace de Schwartz[modifier | modifier le code]

L'espace de Schwartz \mathcal{S}(\R^n) est l'espace des fonctions f de classe C sur \R^n, telles que f et toutes ses dérivées soient à décroissance rapide. C'est un sous-espace vectoriel de L1, donc pour lequel la transformée de Fourier est définie. L'intérêt de la classe de Schwartz résulte de la propriété d'échange entre régularité et décroissance à l'infinie qu'opère la transformée de Fourier.

  • Toute fonction de Schwartz est de classe C avec des dérivées toutes intégrables. On en déduit que sa transformée de Fourier est à décroissance rapide.
  • Toute fonction de Schwartz est à décroissance rapide. On en déduit que sa transformée de Fourier est de classe C.

Ainsi, on visualise intuitivement pourquoi l'espace de Schwartz est invariant par transformation de Fourier. Cet espace est donc très commode pour l'utilisation de cette dernière. De plus, l'espace de Schwartz est dense dans L1 et dans L2, et pourrait donc servir de base pour la définition de la transformation de Fourier sur ces espaces.

Formule d'inversion de Fourier sur \mathcal{S}(\R^n) — 

La transformée de Fourier induit un automorphisme bicontinu de l'espace de Schwartz sur lui-même, dont l'inverse est défini par
(\mathcal{F}^{-1}\phi)(x) = (\mathcal{F}\phi)(-x)=\int_{\R^n} \phi(\xi)\, \mathrm{e}^{2{\rm i}\pi x \cdot \xi}\, \mathrm{d}\xi.

Remarque : cette formule dépend de la convention choisie pour la transformation de Fourier dans l'espace des fonctions. Elle est valide pour une transformation de Fourier exprimée dans l'espace des fréquences, dont la définition utilise {\rm e}^{-{\rm i}2 \pi \xi \cdot x}.

Transformation de Fourier pour les distributions tempérées[modifier | modifier le code]

On définit la transformée de Fourier d'une distribution tempérée T \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n) comme la distribution définie via son crochet de dualité par

 \forall \phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n),\quad  \langle \mathcal{F}T, \phi \rangle  =  \langle T, \mathcal{F} \phi \rangle .

Les détails et des exemples ne sont pas donnés ici, mais figurent dans l'article relatif aux distributions tempérées.

Remarquons que l'expression de la transformée de Fourier d'une fonction f ressemble au produit scalaire dans L^2 (\mathbb{C}), (f, g)_{L^2} := \int f \bar{g} entre f et la conjuguée de e_{2 \pi \xi} : x \mapsto e^{i 2 \pi \xi \cdot x}. Sauf que (f, e_{2 \pi \xi})_{L^2} n'a pas de sens car e_{2 \pi \xi} n'est pas dans L^2. C'est le crochet de dualité des distributions \langle T_f, e_{2 \pi \xi} \rangle, qui pour les fonctions coïncident avec le produit scalaire de L^2, donne sens à cette formulation en tant que produit scalaire.

Cette généralisation va bien plus loin car l'espace des distributions tempérées \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n) englobe les différents objets sur lesquels la transformée de Fourier a été définie : fonctions de \mathbb{R}^n sommables ou de carré sommable, fonctions de \mathbb{R}^n périodiques localement sommables ou localement de carré sommable, suites discrètes sommables, suites discrètes périodiques. La transformée de Fourier sur \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n) unifie et généralise les différentes définitions des transformées avec l'unique formalisme des distributions. Nous allons montrer que la transformée de Fourier sur \mathcal{S}' généralise les notions d'intégrales de Fourier et de séries de Fourier, en analysant successivement ces espaces.

Compatibilités[modifier | modifier le code]

Compatibilité avec les espaces de fonctions[modifier | modifier le code]

Les fonctions intégrables et les fonctions de carré sommable définissent des distributions tempérées. Montrons que les deux notions possibles de transformée de Fourier coïncident dans le cas L1, puis utilisons cette compatibilité pour l'établir dans le cas L2.

Compatibilité avec L1 et L2 — Soit

  • f \in L^1(\R^n) et \hat{f} sa transformée de Fourier dans L1,

ou bien

  • f \in L^2(\R^n) et \hat{f} sa transformée de Fourier dans L2.
Dans ces deux cas, \hat{f} définit une distribution tempérée égale à la transformée de Fourier de T_f, c'est-à-dire
\mathcal{F} T_f = T_\hat{f}.

Enfin, les fonctions périodiques intégrables sur une période sont exactement les fonctions à la fois périodiques et localement intégrables, et donc définissent des distributions régulières.

Compatibilité avec L1per — La transformée de Fourier d'une distribution régulière T_f définie par une fonction T-périodique f \in L^1 ([0, T[), est la distribution à support discret correspondant à la suite de ses coefficients de Fourier :

\mathcal{F} T_f = \sum_{n \in \Z}c_n (f)\delta_n\quad{\rm avec}\quad c_n (f) = \int_0^T f(x){\rm e}^{-{\rm i}\frac{2 \pi}{T} n x}\, \mathrm{d}x.

Si le résultat énoncé ne concerne que les fonctions périodiques de la variable réelle, même si le résultat s'étendrait facilement aux fonctions périodiques sur un réseau de \R^N. Comme la transformation de Fourier est bijective, la démonstration de ce résultat sera une conséquence du théorème sur les distributions périodiques.

Compatibilité avec les espaces de suites[modifier | modifier le code]

Les suites, c'est-à-dire les signaux discrets, peuvent s'exprimer comme fonction de \mathbb{R} à support dans \mathbb{Z}. À une suite donnée a := (a_n)_{n \in \mathbb{Z}} correspond en effet de manière unique une série de masses de Dirac T_a := \sum_{k \in \mathbb{Z}} a_k \delta_k. Lorsque cette suite est sommable, cette série de masses de Dirac a en effet un sens en tant que distribution tempérée d'ordre 0.

Compatibilité de \mathcal{F} avec l^1 — Soit une suite sommable à valeurs complexes notée a := (a_n)_{n \in \mathbb{Z}}. Sa transformée de Fourier à temps discret est une fonction 1-périodique qui coïncide avec la transformée de Fourier de la série de masses de Dirac associée à a.

\mathbf{TFTD}[(a_n)_{n \in \mathbb{Z}}] = \mathcal{F} \left( \sum_{k \in \mathbb{Z}} a_k \delta_k \right).

Par densité, la démonstration s'étend aux séries de carré sommable. Notons en outre que la transformée de Fourier des distributions périodiques donne une définition de la transformée de Fourier à suite discrètes non pas sommables, au moins à croissance polynômiale.

En particulier, la transformée de Fourier discrète (TFD) s'interprète également comme la transformée d'une distribution tempérée. En effet, une suite finie de N points \lbrace x_k \rbrace_{k=0}^{N-1} s'identifie de manière unique avec une suite N-périodique obtenue par périodisation, c'est-à-dire convolution avec un peigne de Dirac.

Compatibilité de \mathcal{F} avec la TFD — La TFD d'une suite x(.) à l'ordre N est la transformée de Fourier de la distribution à support dans \mathbb{Z} obtenue par périodisation de x(.) à la période N, c'est-à-dire convolution par un peigne de Dirac W_N :

\mathbf{TFD}_N[x(.)] (k) = \mathcal{F} [\tilde{x}(.)] (k) avec \tilde{x} = W_N \ast \left( \sum_{n=0}^{N-1} x(n) \delta_n \right).

Signaux discrets et signaux périodiques[modifier | modifier le code]

Nous pouvons retenir que formellement, la transformée de Fourier échange discrétisation et périodisation.

  • Le spectre d'un signal discret x[.] obtenu par échantillonnage à la période T présente un spectre périodique, résultant de la périodisation du spectre du signal continu :
\mathbf{TFTD}(x[.]) = \mathcal{F}(x(.)) \ast W_{\frac{2\pi}{T}}.

Si la multiplication n'est pas définie entre distribution, on donne dans le cas du peigne un sens à x[.] = x(.) \cdot W_T, et la formulation de convolution est encore vérifiée : \mathcal{F}(x(.) \cdot W_T) = \mathcal{F}(x(.)) \ast \mathcal{F}(W_T).

  • Le spectre d'un signal T-périodique x_T (.), c'est-à-dire la somme de sa série de Fourier, est celui obtenu par discrétisation du spectre du signal tronqué sur une seule période.
\mathcal{F}(x_T (.)) = \mathcal{F}(x(.)) \cdot W_T avec x = x_T . 1_{[0,T]}.

Liens avec d'autres transformations[modifier | modifier le code]

Lien avec les transformations de Laplace[modifier | modifier le code]

La transformée de Fourier d'une fonction f\ est un cas particulier de la transformée bilatérale de Laplace de cette même fonction définie par : \mathcal{L}_{bil}\{f\} (p) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, e^{-pt} dt avec p \in \C.

On constate alors que \mathcal{F}\{f\} (\xi) = \mathcal{L}_{bil}\{f\} (i\xi) .

On peut également écrire ce lien en utilisant la transformée de Laplace « usuelle » par :

\mathcal{F}\{f\}(\xi) = \mathcal{L}\{f^+\}(+i\xi) + \mathcal{L}\{f^-\}(-i\xi)

où les fonctions f^+\ et f^-\ sont définies par :

f^+(t) = f(+t)\ si t ≥ 0 et 0 sinon.
f^-(t) = f(-t)\ si t ≥ 0 et 0 sinon.

Lien avec les séries de Fourier[modifier | modifier le code]

Parallèle formel[modifier | modifier le code]

La transformée de Fourier est définie de façon semblable : la variable d'intégration x est remplacée par nΔx, n étant l'indice de sommation, et l'intégrale par la somme. On a alors

\hat f(k)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty f(n)e^{-i2\pi kn\Delta t}.

On trouvera quelques remarques à ce sujet dans Analyse spectrale.

Comme on l'a vu plus haut, il est d'autre part possible d'interpréter l'intégrale de la transformée de Fourier comme une somme finie de n oscillateurs harmoniques, où n est un entier non standard[4] ; cela revient à identifier (en un sens différent) la transformation de Fourier aux coefficients d'une série de Fourier.

Transformée[modifier | modifier le code]

On utilise les variables normalisées suivantes : F={f \over f_e}=f \Delta t = f|_{\Delta t=1}, \Omega =e\pi F=2\pi f\Delta t=\omega\delta t|_{\Delta t=1}.

Transformation de Fourier (analyse) Transformation inverse (synthèse)
X(f)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i2\pi fn\Delta t} x(n)=\int_{f_e} X(f)e^{i2\pi fn\Delta t}df
X(w)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i\omega n\Delta t} x(n)={1 \over 2\pi} \int_{\omega_2=2\pi f_e}X(w)e^{iwn\Delta t}dw
X(F)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i2\pi nF} x(n)=\int_1 X(f)e^{i2\pi nF}dF\,\!
X(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-in\Omega} x(n)={1 \over 2\pi}\int_{2\pi} X(\Omega)e^{in\Omega}d\Omega

Généralisation[modifier | modifier le code]

La transformée de Fourier se généralise pratiquement telle quelle aux groupes abéliens localement compacts, grâce à la dualité de Pontryagin.

En traitement d'images, on effectue des transformations de Fourier à deux dimensions : si ƒ est une fonction de \R^2 dans \R, sa transformée de Fourier est définie par :

\hat{f}(u, v) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \cdot \mathrm{e}^{-{\rm i}(ux + vy)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \text{.}

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], p. 174 de l'édition de 1975-77.
  2. (en) Mark Pinsky (de), Introduction to Fourier Analysis and Wavelets, Brooks/Cole,‎ 2002 (ISBN 978-0-82187198-0, lire en ligne), p. 131.
  3. Pinsky 2002.
  4. Ou plus précisément à l’ombre de cette somme[réf. nécessaire].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

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