Fonction C à support compact

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Représentation graphique d'une fonction C à support compact à deux variables.

En mathématiques, une fonction C à support compact est une fonction infiniment dérivable dont le support est compact. Lorsque la fonction va de {\Bbb R}^n dans {\Bbb R}, l'espace de ces fonctions est noté C^\infty_c({\Bbb R}^n).

Exemples[modifier | modifier le code]

La fonction Ψ(x).

La fonction \Psi:\mathbb R\to \mathbb R définie par

\Psi(x) = 
\begin{cases}
e^{-1/(1-x^2)} & \mbox{ pour } |x| < 1\\
0 & \mbox{ sinon} 
\end{cases}

est un exemple de fonction à une variable C à support compact. Il est clair par cette construction que la fonction a un support compact. La preuve qu'elle est infiniment dérivable peut se faire par récurrence. Par ailleurs, la fonction peut être vue comme la fonction gaussienne e^{-y^2} qu'on a fait rentrer dans le disque unité par le changement de variables y^2=1/(1-x^2) qui envoie x=\pm 1 sur y=\infty.

Un exemple simple de fonction C à support compact à n variables est obtenu en prenant le produit de n copies de la fonction à une variable ci-dessus :

\Phi(x_1, x_2, \dots, x_n) = \Psi(x_1)\Psi(x_2)\cdots\Psi(x_n).

Propriétés et applications[modifier | modifier le code]

Une fonction C à support compact ne peut pas être analytique, à moins d'être identiquement nulle. C'est une conséquence directe du théorème d'identité. L'espace des fonctions C à support compact est stable par de nombreuses opérations. Par exemple, la somme, le produit, le produit de convolution de deux fonctions C à support compact est encore une fonction C à support compact.

Les fonctions C à support compact sont utilisées pour construire des suites régularisantes et des partitions de l'unité de classe C.

Elles sont également au coeur de la théorie des distributions.

Notes et références[modifier | modifier le code]