Polynôme de Tchebychev

Les polynômes de Tchebychev, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Pafnouti Lvovitch Tchebychev, constituent deux familles de polynômes (notés T_n pour la première espèce et U_n pour la seconde, l'entier naturel n correspondant au degré) définis sur l'intervalle [–1, 1] par les relations trigonométriques :

$T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta),\quad\text{soit :}\quad T_n(x)=\cos(n \arccos x),$

$U_n(\cos(\theta))=\frac{\sin((n+1) \theta)}{\sin \theta},$

ce qui revient, par exemple, à considérer $T_n(\cos(\theta))$ comme le développement de $\cos(n\theta)$ sous forme de polynôme en $\cos(\theta)$.

De manière plus globale, l'une et l'autre suite sont définies par la relation de récurrence :

$\forall n\in\N,~P_{n+2}(X)=2X~P_{n+1}(X)-P_n(X)$

et les deux premiers termes :

$T_0=1,~T_1=X~\text{pour la suite}~T,$

$U_0=1,~U_1=2X~\text{pour la suite}~U.$

Chacune de ces deux familles est une suite de polynômes orthogonaux par rapport à un produit scalaire de fonctions assorti d'une certaine pondération.

Propriétés des polynômes de Tchebychev de 1^re espèce

• Pour tout entier n strictement positif,

$T_n(x)=\frac n2\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac n2\right\rfloor}(-1)^k \frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k}.$

• Les T_n sont orthogonaux pour le produit scalaire sur l'intervalle ]–1, 1[ avec la pondération $\frac1{\sqrt{1-x^2}}$. Plus précisément :

$\int_{-1}^1 \frac{T_n(x)T_m(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x= \begin{cases} 0&\text{si}~n\ne m\\ \pi&\text{si}~n=m=0\\ \pi/2&\text{si}~n=m\ne 0. \end{cases}$

• Pour tout entier naturel n,

$T_n(1)=1.$

• Quels que soient les entiers naturels m et n et pour tout x réel,

$T_n(T_m(x))=T_{mn}(x).$

• Pour tout entier n strictement positif, le coefficient dominant de T_n est 2^n–1 et ses n racines sont

$a_k^{(n)}=\cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right),\quad \forall k\in\{1,\ldots,n\}.$

• La parité dépend de n :

$T_n(-x)=(-1)^nT_n(x).$

• Ils vérifient l'équation différentielle suivante :

$(1-x^2)T_n''(x)-xT_n'(x)+n^2T_n(x)=0.$

• Représentation intégrale :

$T_n(x)=\frac1{4i\pi}\int_C\frac1{z^n}\frac{1-z^2}{z(1-2xz+z^2)}\,\mathrm{d}z$ où C est un contour du plan complexe parcouru dans le sens trigonométrique positif, contenant zéro et excluant les zéros de $\displaystyle 1-2xz+z^2$.

Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sur le domaine −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; la fonction constante T₀, et T₁, T₂, T₃, T₄ et T₅.

Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sont :

$T_0 = 1 \,$

$T_1 = X \,$

$T_2 = 2X^2 - 1 \,$

$T_3 = 4X^3 - 3X \,$

$T_4 = 8X^4 - 8X^2 + 1 \,$

$T_5 = 16X^5 - 20X^3 + 5X \,$

$T_6 = 32X^6 - 48X^4 + 18X^2 - 1 \,$

$T_7 = 64X^7 - 112X^5 + 56X^3 - 7X \,$

$T_8 = 128X^8 - 256X^6 + 160X^4 - 32X^2 + 1 \,$

$T_9 = 256X^9 - 576X^7 + 432X^5 - 120X^3 + 9X.$

Les T_n sont associés aux séries génératrices suivantes : la série génératrice ordinaire

$\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}. \,\!$,

la série génératrice exponentielle

$\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) \frac{t^n}{n!} = {1 \over 2}\left( e^{(x-\sqrt{x^2 -1})t}+e^{(x+\sqrt{x^2 -1})t}\right) \,\!$, ainsi que la série

$\sum\limits_{n=1}^{\infty }T_{n}\left( x\right) \frac{t^{n}}{n}=-\frac{1}{2}\ln \left( 1-2tx+t^{2}\right),$ pertinente en particulier en théorie du potentiel.

Propriétés des polynômes de Tchebychev de 2^e espèce

• Pour tout entier n positif ou nul,

$U_n(x)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac n2\right \rfloor}(-1)^k \binom{n-k}k~(2x)^{n-2k}.$

• Les U_n sont orthogonaux pour le produit scalaire sur l'intervalle [–1, 1] avec la pondération $\sqrt{1-x^2}$. Plus précisément :

$\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x = \begin{cases} 0&\text{si}~n\ne m\\ \pi/2 &\text{si}~n=m. \end{cases}$

• Pour tout entier naturel n,

$U_n(1)=n+1.$

• Pour tout entier n strictement positif, les n racines de U_n sont

$a_k^{(n)}=\cos\left(\frac{k\pi}{n+1}\right),\quad\forall k\in\{1,\ldots,n\}.$

• La parité dépend de n :

$U_n(-X)=(-1)^nU_n.$

• Ils vérifient l'équation différentielle suivante :

$\forall x \in\R,(1-x^2)U_n''(x)-3xU_n'(x)+n(n+2)U_n(x)=0.$

• Représentation intégrale :

$U_n(x)=\frac1{2i\pi}\int_C\frac1{z^n}\frac1{z(1-2xz+z^2)}\,\mathrm{d}z$ où C est un contour du plan complexe parcouru dans le sens trigonométrique positif, contenant zéro et excluant les zéros de $\displaystyle 1-2xz+z^2$ .

Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sur le domaine −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; la fonction constante U₀, et U₁, U₂, U₃, U₄ et U₅.

Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont :

$U_0 = 1 \,$

$U_1 = 2X \,$

$U_2 = 4X^2 - 1 \,$

$U_3 = 8X^3 - 4X \,$

$U_4 = 16X^4 - 12X^2 + 1 \,$

$U_5 = 32X^5 - 32X^3 + 6X \,$

$U_6 = 64X^6 - 80X^4 + 24X^2 - 1 \,$

$U_7 = 128X^7 - 192X^5 + 80X^3 - 8X \,$

$U_8 = 256X^8 - 448 X^6 + 240 X^4 - 40 X^2 + 1 \,$

$U_9 = 512X^9 - 1024 X^7 + 672 X^5 - 160 X^3 + 10 X.$

On a en particulier pour les U_n la série génératrice

$\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2 t x+t^2}. \,\!$

Quelques relations avec d'autres fonctions spéciales

$T_n=U_n-X \, U_{n-1}.$

$T_n=\frac n2C_n^{(0)},$

$U_n=C_n^{(1)},$

avec C_n^(k) un polynôme de Gegenbauer et

$T_n(x)=F\left(-n,n;\frac12;\frac{1-x}2\right),$

$U_n(x)=(n+1)F\left(-n,n+2;\frac32;\frac{1-x}2\right),$

avec F la fonction hypergéométrique.

Intérêt

Tchebychev a découvert ces familles en travaillant sur le problème de convergence des interpolations de Lagrange. On peut démontrer qu'en choisissant les racines des polynômes de Tchebychev comme points d'interpolation, on minimise les écarts (cf. phénomène de Runge). Dans ce contexte, les a_k⁽ⁿ⁾ indiqués ci-dessus, éventuellement ajustés à un autre intervalle d'interpolation [a, b] (par une transformation affine $x\mapsto\tfrac{b-a}{2}x+\tfrac{b+a}{2}$), sont appelés les abscisses de Tchebychev.

Les polynômes de Tchebychev permettent ainsi de démontrer le théorème de Weierstrass selon lequel toute fonction continue sur un intervalle est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Ils sont également impliqués dans le calcul de filtres en électronique analogique, les filtres de Tchebychev.

Bibliographie

• Polynômes de Tchebychev sur Math-Linux.
• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail des éditions] [lire en ligne], chap. 22