Polynôme de Tchebychev

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Les polynômes de Tchebychev, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Pafnouti Lvovitch Tchebychev, constituent deux familles de polynômes (notés Tn pour la première espèce et Un pour la seconde, l'entier naturel n correspondant au degré) définis sur l'intervalle [–1, 1] par les relations trigonométriques :

T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta),\quad\text{soit :}\quad T_n(x)=\cos(n \arccos x),
U_n(\cos(\theta))=\frac{\sin((n+1) \theta)}{\sin \theta},

ce qui revient, par exemple, à considérer T_n(\cos(\theta)) comme le développement de \cos(n\theta) sous forme de polynôme en \cos(\theta).

De manière plus globale, l'une et l'autre suite sont définies par la relation de récurrence :

\forall n\in\N,~P_{n+2}(X)=2X~P_{n+1}(X)-P_n(X)

et les deux premiers termes :

T_0=1,~T_1=X~\text{pour la suite}~T,
U_0=1,~U_1=2X~\text{pour la suite}~U.

Chacune de ces deux familles est une suite de polynômes orthogonaux par rapport à un produit scalaire de fonctions assorti d'une certaine pondération.

Propriétés des polynômes de Tchebychev de 1re espèce[modifier | modifier le code]

  • Pour tout entier n strictement positif,
T_n(x)=\frac n2\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac n2\right\rfloor}(-1)^k \frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k}.
  • Les Tn sont orthogonaux pour le produit scalaire sur l'intervalle ]–1, 1[ avec la pondération \frac1{\sqrt{1-x^2}}. Plus précisément :
\int_{-1}^1 \frac{T_n(x)T_m(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=
\begin{cases}
0&\text{si}~n\ne m\\
\pi&\text{si}~n=m=0\\
\pi/2&\text{si}~n=m\ne 0.
\end{cases}
  • Pour tout entier naturel n,
T_n(1)=1.
  • Quels que soient les entiers naturels m et n et pour tout x réel,
T_n(T_m(x))=T_{mn}(x).
  • Pour tout entier n strictement positif, le coefficient dominant de Tn est 2n–1 et ses n racines sont
a_k^{(n)}=\cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right),\quad \forall k\in\{1,\ldots,n\}.
  • La parité dépend de n :
T_n(-x)=(-1)^nT_n(x).
  • Ils vérifient l'équation différentielle suivante :
(1-x^2)T_n''(x)-xT_n'(x)+n^2T_n(x)=0.
  • Représentation intégrale :
T_n(x)=\frac1{4i\pi}\int_C\frac1{z^n}\frac{1-z^2}{z(1-2xz+z^2)}\,\mathrm{d}zC est un contour du plan complexe parcouru dans le sens trigonométrique positif, contenant zéro et excluant les zéros de \displaystyle 1-2xz+z^2.
Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sur le domaine −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; la fonction constante T0, et T1, T2, T3, T4 et T5.

Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sont :

 T_0 = 1 \,
 T_1 = X \,
 T_2 = 2X^2 - 1 \,
 T_3 = 4X^3 - 3X \,
 T_4 = 8X^4 - 8X^2 + 1 \,
 T_5 = 16X^5 - 20X^3 + 5X \,
 T_6 = 32X^6 - 48X^4 + 18X^2 - 1 \,
 T_7 = 64X^7 - 112X^5 + 56X^3 - 7X \,
 T_8 = 128X^8 - 256X^6 + 160X^4 - 32X^2 + 1 \,
 T_9 = 256X^9 - 576X^7 + 432X^5 - 120X^3 + 9X \,

Les Tn sont associés aux séries génératrices suivantes : la série génératrice ordinaire

\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}. \,\!,

la série génératrice exponentielle

\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) \frac{t^n}{n!} = {1 \over 2}\left( e^{(x-\sqrt{x^2 -1})t}+e^{(x+\sqrt{x^2 -1})t}\right) \,\!, ainsi que la série
\sum\limits_{n=1}^{\infty }T_{n}\left( x\right) \frac{t^{n}}{n}=-\frac{1}{2}\ln \left( 1-2tx+t^{2}\right), pertinente en particulier en théorie du potentiel.

Propriétés des polynômes de Tchebychev de 2e espèce[modifier | modifier le code]

  • Pour tout entier n positif ou nul,
U_n(x)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac n2\right \rfloor}(-1)^k \binom{n-k}k~(2x)^{n-2k}.
  • Les Un sont orthogonaux pour le produit scalaire sur l'intervalle [–1, 1] avec la pondération \sqrt{1-x^2}. Plus précisément :
\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x = 
\begin{cases}
0&\text{si}~n\ne m\\
\pi/2 &\text{si}~n=m.
\end{cases}
  • Pour tout entier naturel n,
U_n(1)=n+1.
  • Pour tout entier n strictement positif, les n racines de Un sont
a_k^{(n)}=\cos\left(\frac{k\pi}{n+1}\right),\quad\forall k\in\{1,\ldots,n\}.
  • La parité dépend de n :
U_n(-X)=(-1)^nU_n.
  • Ils vérifient l'équation différentielle suivante :
\forall x \in\R,(1-x^2)U_n''(x)-3xU_n'(x)+n(n+2)U_n(x)=0.
  • Représentation intégrale :
U_n(x)=\frac1{2i\pi}\int_C\frac1{z^n}\frac1{z(1-2xz+z^2)}\,\mathrm{d}zC est un contour du plan complexe parcouru dans le sens trigonométrique positif, contenant zéro et excluant les zéros de \displaystyle 1-2xz+z^2 .
Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sur le domaine −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; la fonction constante U0, et U1, U2, U3, U4 et U5.

Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont :

 U_0 = 1 \,
 U_1 = 2X \,
 U_2 = 4X^2 - 1 \,
 U_3 = 8X^3 - 4X \,
 U_4 = 16X^4 - 12X^2 + 1 \,
 U_5 = 32X^5 - 32X^3 + 6X \,
 U_6 = 64X^6 - 80X^4 + 24X^2 - 1 \,
 U_7 = 128X^7 - 192X^5 + 80X^3 - 8X \,
 U_8 = 256X^8 - 448 X^6 + 240 X^4 - 40 X^2 + 1 \,
 U_9 = 512X^9 - 1024 X^7 + 672 X^5 - 160 X^3 + 10 X.

On a en particulier pour les Un la série génératrice

\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2 t x+t^2}. \,\!

Quelques relations avec d'autres fonctions spéciales[modifier | modifier le code]

T_n=U_n-X \, U_{n-1}.
T_n'=nU_{n-1},
T_n=\frac n2C_n^{(0)},
U_n=C_n^{(1)},

avec Cn(k) un polynôme de Gegenbauer et

T_n(x)=F\left(-n,n;\frac12;\frac{1-x}2\right),
U_n(x)=(n+1)F\left(-n,n+2;\frac32;\frac{1-x}2\right),

avec F la série hypergéométrique.

Intérêt[modifier | modifier le code]

Tchebychev a découvert ces familles en travaillant sur le problème de convergence des interpolations de Lagrange. On peut démontrer qu'en choisissant les racines des polynômes de Tchebychev comme points d'interpolation, on minimise les écarts (cf. phénomène de Runge). Dans ce contexte, les ak(n) indiqués ci-dessus, éventuellement ajustés à un autre intervalle d'interpolation [a, b] (par une transformation affine x\mapsto\tfrac{b-a}{2}x+\tfrac{b+a}{2}), sont appelés les abscisses de Tchebychev.

Les polynômes de Tchebychev permettent ainsi de démontrer le théorème de Weierstrass selon lequel toute fonction continue sur un intervalle est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Ils sont également impliqués dans le calcul de filtres en électronique analogique, les filtres de Tchebychev.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Algorithme de Clenshaw

Bibliographie[modifier | modifier le code]