Absolue continuité

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En mathématiques, on introduit les notions de fonction absolument continue et de mesure absolument continue. Ces deux concepts entretiennent des rapports.

Fonction absolument continue[modifier | modifier le code]

Motivation[modifier | modifier le code]

N'importe quelle fonction continue f sur un intervalle est égale à la dérivée de l'intégrale fonction de sa borne supérieure F, définie par F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm dt (théorème fondamental de l'analyse). Dans un cadre plus général, celui de l'intégrale de Lebesgue, une fonction L1 est égale presque partout à la dérivée de son intégrale.

Par contre, une fonction F continue et presque partout dérivable, même si sa dérivée est L1, peut ne pas être égale à l'intégrale de sa dérivée. L'escalier du diable, ou escalier de Cantor, est un exemple de ce phénomène.

Travailler dans l'espace des fonctions absolument continues assure que les fonctions considérées sont bien égales à l'intégrale de leur dérivée.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit I=[a,b] un intervalle. On dit que la fonction F est absolument continue sur I si, pour tout réel ε > 0, il existe un δ > 0 tel que, pour toute suite \scriptstyle\ ([a_n, b_n])_{n \in \N} \, de sous-intervalles de I d'intérieurs disjoints,

 \sum_{n \geq 0}{(b_n-a_n)} < \delta \Rightarrow \sum_{n \geq 0}{|F(a_n)-F(b_n)|}< \epsilon.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • F est absolument continue sur [a,b] si et seulement s'il existe une fonction f intégrable sur [a,b] (au sens de Lebesgue) telle que pour tout x ∈ [a,b],
 F(x)-F(a) = \int_a^x {f(t) \,\mathrm dt}.

Contre-exemple[modifier | modifier le code]

La fonction continue qui a pour graphe l'escalier du diable n'est pas absolument continue : l'image de l'ensemble de Cantor, qui est de mesure nulle, est [0,1] tout entier.

Mesure absolument continue[modifier | modifier le code]

Soient μ et ν deux mesures complexes sur un espace mesurable \scriptstyle (X, \, \mathcal A).

On dit que ν est absolument continue par rapport à μ si et seulement si pour tout ensemble mesurable A :

\mu(A) = 0 \Rightarrow \nu(A) = 0,

ce que l'on note \scriptstyle \nu \ll \mu.

Le théorème de Radon-Nikodym donne une autre caractérisation dans le cas où μ est positive et σ-finie, et ν est complexe et σ-finie : il existe alors f une fonction mesurable telle que dν=f. La fonction f est appelée densité de la mesure ν par rapport à la mesure μ.

Lien entre fonction réelle absolument continue et mesure absolument continue[modifier | modifier le code]

Une fonction F est localement absolument continue si et seulement si sa distribution dérivée est une mesure absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. Par exemple, une mesure μ bornée sur l'ensemble des boréliens de la droite réelle est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue si et seulement si la fonction de répartition associée

F:x\mapsto\mu(]-\infty,x])

est localement une fonction absolument continue.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. (en) Andrew M. Bruckner (en), Judith B. Bruckner et Brian S. Thomson, Real Analysis,‎ 1997 (ISBN 978-0-13458886-5, lire en ligne), p. 274

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de différentiation de Lebesgue

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]