Vitesse angulaire

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En physique, et plus spécifiquement en mécanique et en électronique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée fréquence angulaire ou pulsation, est une mesure de la vitesse de rotation. Elle s'exprime dans le système international d'unités en radians par seconde (rad.s^-1) c'est-à-dire un angle par seconde, ou plus simplement en s^-1 quand on parle de tours par secondes, puisque le nombre de tours est une grandeur sans dimension ; elle reste de manière courante donnée en tours par minute (tr/min). Une révolution complète est égale à 2π radians, donc $\frac{\omega}{2\pi} = f$ :

$\omega = \frac{\mathrm d \, \theta}{\mathrm d \, t} = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$

où l'expression $\frac{\mathrm d \, \theta}{\mathrm d \, t}$ est la dérivée de l'angle par rapport au temps (en rad.s^-1), T est la période de rotation (en s) et f est la fréquence (en s^-1).

L'utilisation de la vitesse angulaire au lieu de la fréquence ordinaire est pratique dans maintes applications car elle permet d'éviter l'apparition excessive de π. Elle est utilisée, entre autres, dans de nombreux domaines de la physique comme la mécanique quantique et l'électromagnétisme ainsi qu'en mathématiques pour la transformée de Fourier.

Pour une trajectoire circulaire :

$\omega = \frac{2\pi}{T}=\frac{v}{r}.$

T est la période (en s), r est le rayon de la rotation (en m) et v est la vitesse du point (en m.s^-1).

On utilise parfois un vecteur vitesse angulaire $\vec{\omega}$. Il s'agit du vecteur :

• normal au plan de rotation ;
• orienté de sorte que le mouvement se fasse dans le sens positif ;
• dont la norme vaut ω.

Théorèmes et propriétés relatifs à la fréquence angulaire

Composition des vitesses angulaires

Quels que soient les solides A, B et C, les fréquences de rotations sont liées par : $\vec{\omega}_{A/C}=\vec{\omega}_{A/B}+\vec{\omega}_{B/C}$. Remarque : il ne s'agit pas d'un vecteur mais d'un pseudovecteur, puisque le symétrique dans un miroir est inversé.

Exemple

Soit un référentiel galiléen R.
Considérons un solide $S_1$ en rotation à la fréquence angulaire $\omega_{S_1/R}$, par rapport au référentiel R.
Considérons également un solide $S_2$ en rotation par rapport à $S_1$ à la fréquence angulaire $\omega_{S_2/S_1}$.
La vitesse de rotation de $S_2$ par rapport à R, $\omega_{S_2/R}$, sera égale à $\omega_{S_2/R}=\omega_{S_1/R}+\omega_{S_2/S_1}$.
Dans ce cas, si $\omega_{S_2/S_1}=-\omega_{S_1/R}$, le solide $S_2$ sera en translation circulaire dans le référentiel R.

Relation Vitesse - Fréquence angulaire

Soient un solide S, et A et B, deux points de ce solide. Alors les vitesses des points A et B sont reliées par la relation suivante, aussi appelée relation de Varignon (ou formule de BABAR, ce qui fournit un moyen mnémotechnique pour la retenir) :

$\vec{V_A}=\vec{V_B}+\vec{AB}\wedge\vec{\omega}_{A/R}.$

Cette formule montre bien que « ω » (omega - en rad.s^-1) n'est pas une vitesse (en m.s^-1). Mais le produit vectoriel $\vec{AB}\wedge\vec{\omega}_{A/R}$ est bien homogène à une vitesse.

Cas particulier : rotation autour d'un axe fixe

Soit, pour un solide S en rotation autour d'un axe fixe D en un point O, de vecteur unitaire $\vec{u}$, la vitesse angulaire $\vec{\omega}_{S/R}=\frac{\mathrm d \, \theta}{\mathrm d \, t} \vec{u}.$

On peut alors exprimer la vitesse d'un point A quelconque du solide telle que : $\vec{V}_{A/R}=\vec{\omega}_{S/R}\wedge\vec{OA}.$

Exemple

Soit un disque de 1m de rayon, en rotation autour de son axe de symétrie à la vitesse $\omega_{D/R}$ (R un référentiel galiléen). Si ω est exprimée en radians par secondes, alors chacun des points situés sur le bord du disque aura une vitesse, dite aussi vitesse linéaire, orthogonale à l'axe de rotation (par propriété du produit vectoriel) de $\omega_{D/R}\times1m$. Unité : mètres par seconde.

Centre instantané de rotation

Par analogie : lorsqu'un mouvement n'est pas rectiligne, on peut regarder de façon ponctuelle sa vitesse et sa direction à un instant donné. De la même façon, s'il n'est pas en rotation, on peut considérer de façon ponctuelle une vitesse angulaire et un centre de rotation.

Le centre instantané de rotation de A par rapport à B pour l'instant t est le point I de A vérifiant : $\vec{V}_{I/B}(t)=\vec{0}.$

Voir aussi

• Moment (mécanique)
• Pseudovecteur