Valeur principale de Cauchy

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En mathématiques, la valeur principale de Cauchy, appelée ainsi en l'honneur de Augustin Louis Cauchy, associe une valeur à certaines intégrales impropres qui resteraient autrement indéfinies.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit c une singularité d'une fonction d'une variable réelle f et supposons que pour  a<c<b , la limite suivante

 \lim_{\epsilon\to 0} \int_a^{c-\epsilon} f(x)\mathrm dx + \lim_{\eta\to 0}\int_{c+\eta}^b f(x)\mathrm dx = L

existe et soit finie. Alors, on dit que l'intégrale impropre de f(x) sur l'intervalle existe et sa valeur est définie par L.

Si la limite ci-dessus n'existe pas, il est toutefois possible qu'elle existe lorsque \epsilon et  \eta tendent vers zéro en restant égaux, c'est-à-dire si la limite

 \lim_{\epsilon\to 0} \left(\int_a^{c-\epsilon} f(x)\mathrm dx + \int_{c+\epsilon}^b f(x)\mathrm dx\right) = L

existe et est finie. Dans ce cas là, on appelle la limite L la valeur principale de Cauchy de l'intégrale impropre ce que l'on écrit :

 \mathrm{v.p.}\int_a^b f(x)\mathrm dx = L

La définition s'étend comme suit[réf. souhaitée] au cas avec n singularités  a< x_1, ..., x_n < b  :

si pour \epsilon >0 les intégrales  \int_{a}^{x_1-\epsilon}f(x)\mathrm dx,\ldots,\int_{x_n+\epsilon}^{b}f(x)\mathrm dx existent et sont finies et que la limite

 \lim_{\epsilon\to 0}\left(\int_a^{x_1-\epsilon}f(x)\mathrm dx + \dots + \int_{x_n+\epsilon}^{b}f(x)\mathrm dx\right) = L

existe, on pose :  \mathrm{v.p.}\int_a^b f(x)\mathrm dx = L.

Exemples[modifier | modifier le code]

Fonction puissance[modifier | modifier le code]

Article détaillé : fonction puissance.
Figure 1: Illustration de l'intégrale impropre de la fonction  x^{-3} .

Soit la fonction f définie par  f(x) = x^{-3} illustrée à la figure 1 ci-contre, on a :

 \lim_{\epsilon\to 0}\int_{-\infty}^{-\epsilon} {\mathrm dx\over x^3} + \lim_{\eta \to 0}\int_{\eta}^{+\infty}{\mathrm dx\over x^3} = \lim_{\epsilon\to 0} {-1\over 2\epsilon^2}+\lim_{\eta\to 0}{1\over 2\eta^2}

Cette limite n'existe pas lorsque \epsilon et \eta tendent vers zéro indépendamment. Par contre, en posant  \eta = \epsilon , la limite existe et vaut zéro. On a par conséquent :

 \mathrm{v.p.}\int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm dx\over x^3}= 0

Ce qui correspond à l'intuition puisque la fonction est impaire et que l'on intègre sur un intervalle symétrique.

Logarithme intégral[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Logarithme intégral.

La fonction logarithme intégral joue un grand rôle en théorie analytique des nombres. Elle est définie par

 \mathrm{li} (x) = \int_{0}^{x} \frac{\mathrm{d}t}{\ln (t)}.

Il faut voir cette définition comme la valeur principale de Cauchy :

 \mathrm{li} (x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \left( \int_{0}^{1-\varepsilon} \frac{\mathrm{d}t}{\ln (t)} + \int_{1+\varepsilon}^{x} \frac{\mathrm{d}t}{\ln (t)} \right).

Lien avec la théorie des distributions[modifier | modifier le code]

Soit \mathcal{C}_c^\infty(\mathbb{R}) l'ensemble des fonctions lisses à support compact de \mathbb{R} vers \mathbb{C}. On peut alors définir une application

\operatorname{v.p.}\left(\frac{1}{x}\right)\,: \mathcal{C}_c^\infty(\mathbb{R}) \to \mathbb{C}

telle que

 \operatorname{v.p.}\left(\frac{1}{x}\right)(f)=\lim_{\varepsilon\to 0+} \left(\int_{-\infty}^{-\epsilon} \frac{f(x)}{x} \, \mathrm{d}x + \int_{\epsilon}^{\infty} \frac{f(x)}{x} \, \mathrm{d}x\right) \quad\text{ pour toute }f\in \mathcal{C}_c^\infty(\mathbb{R})

Cette application est bien définie et est une distribution d'ordre 1.

De façon plus générale, on peut définir la valeur principale d'un grand nombre d'opérateurs intégraux à noyau singulier. Soit K:\mathbb{R}\to\mathbb{C} une fonction admettant une singularité en 0 mais continue sur \mathbb{R}-\{0\}. Dans certains cas, la fonction suivante est bien définie et il s'agit d'une distribution.

\operatorname{v.p.} (K)(f) = \lim_{\varepsilon\to 0+} \left(\int_{-\infty}^{-\epsilon} f(x)K(x) \, \mathrm{d}x + \int_{\epsilon}^{\infty} f(x)K(x) \, \mathrm{d}x\right) \quad\text{ pour toute }f\in \mathcal{C}_c^\infty(\mathbb{R})

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]