Fonction propre

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Page d'aide sur l'homonymie Pour les notions de fonction propre en analyse convexe et en topologie, voir respectivement Fonction propre (analyse convexe) et Application propre

En mathématiques[modifier | modifier le code]

En mathématiques, une fonction propre f d'un opérateur linéaire \mathcal A sur un espace fonctionnel est un vecteur propre de l'opérateur linéaire. C'est une fonction non identiquement nulle et satisfaisant :

\mathcal A f = \lambda f

pour un scalaire λ, la valeur propre associée à f. L'existence de vecteurs propres est typiquement de grand secours pour analyser \mathcal A.

Par exemple, pour tout réel \ \alpha, f_\alpha : \R \to \R,\,x \mapsto e^{\alpha x} est une fonction propre pour l'opérateur différentiel

\mathcal A = \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx},

avec comme valeur propre correspondante \ \lambda = \alpha^2 - \alpha.

En mécanique quantique[modifier | modifier le code]

En mécanique quantique les fonctions propres jouent un rôle important. En effet, l'équation de Schrödinger

i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi = \mathcal H \psi

a des solutions de la forme

\psi\left(t\right) = \sum_k e^{-i E_k t/\hbar} \phi_k,

où les \ \phi_k sont des fonctions propres de l'opérateur \mathcal H avec les valeurs propres \ E_k. À cause de la nature de l'opérateur hamiltonien \mathcal H, ces fonctions propres sont orthogonales. Cela n'est pas nécessairement le cas pour les fonctions propres d'autres opérateurs (comme l'exemple \ A mentionné ci-haut).