Intégration par changement de variable

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, l’intégration par changement de variable est un procédé d'intégration qui consiste à remplacer une variable (ou parfois même une fonction) par une autre fonction de celle-ci ou d'un autre paramètre. Ce procédé est un des outils principaux pour le calcul explicite d'intégrales.

Théorème [modifier]

Énoncé [modifier]

Soit $f$ une fonction numérique continue, et $\varphi$ une fonction de classe $\scriptstyle \mathcal C^1$ (c'est-à-dire dérivable et dont la dérivée est continue) sur un intervalle $[a,b]$ et dont l'image est contenue dans le domaine de définition de $f$ . Alors

$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)~\mathrm dx=\int_a^bf(\varphi(t))\varphi'(t)~\mathrm dt.$

Démonstration [modifier]

La fonction $f$ étant continue, on considère une primitive $F$ de $f$ sur $D$ l'ensemble de définition de $f$ . La fonction $F\circ \varphi$ est alors dérivable, comme composée de deux fonctions dérivables et on a :

$(F\circ\varphi)'=(f\circ \varphi) \times \varphi'$

D'où

$\int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,\mathrm dt=\int_{a}^{b} ((f\circ \varphi) \times \varphi')(t)\,\mathrm dt$

$=\int_{a}^{b} (F\circ \varphi)'(t)\,\mathrm dt$

$=\left[F\circ \varphi\right]_a^b$

$=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))$

$=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm dx$

Remarque [modifier]

Utilisons le théorème pour écrire l'intégrale de $f$ sur $I=\varphi\bigl([a,b]\bigr)$ dans le cas où $\varphi$ est une fonction monotone.

Si $\varphi$ est croissante, alors $\varphi(a)\le\varphi(b)$ et $I$ est égal à l'intervalle $[\varphi(a),\varphi(b)]$ ; l'intégrale de $f$ sur $I$ est alors immédiatement donnée par le théorème. Remarquons aussi que dans ce cas $\varphi'\ge0$ .

Si $\varphi$ est décroissante, alors $\varphi(a)\ge\varphi(b)$ et $I$ devient $[\varphi(b),\varphi(a)]$ . L'intégrale de $f$ sur $I$ est donc l'opposée de l'intégrale du membre de gauche du théorème. Comme $\varphi'\le0$ , changer le signe revient dans ce cas à remplacer $\varphi'$ dans le membre de droite par sa valeur absolue.

On voit ainsi que dans les deux cas on a

$\int_{\varphi\bigl([a,b]\bigr)} f(x)\,\mathrm dx = \int_{[a,b]} f(\varphi(t)) |\varphi'(t)|\,\mathrm dt.$

C'est cette formule qu'on peut généraliser au cas des intégrales multiples (voir ci-dessous).

Principe [modifier]

De manière plus abstraite, cette règle d'intégration découle du théorème de dérivation des fonctions composées. Soient deux fonctions dérivables $F,\varphi$ et sachant, par la définition d'intégrale, que

$\int f'(t)\mathrm dt=\int\mathrm df= [f]$

alors ce théorème permet d'obtenir

$\int F'(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm dt=\int\mathrm d(F\circ\varphi)=[F\circ\varphi].$

Exemple [modifier]

Soit à calculer

$\int_{\sqrt\pi}^{2\sqrt\pi} 2x \cos(x^2)\mathrm dx$

On pose le changement de variable $t=x^2$ et donc $\mathrm dt=2x\mathrm dx$ avec $x$ variant entre $\sqrt\pi$ et $2\sqrt\pi$ . Par conséquent $t$ varie entre $\pi$ et $4\pi$ .

$\int_{\sqrt\pi}^{2\sqrt\pi} 2x \cos(x^2)\mathrm dx = \int_{\pi}^{4\pi} \cos(t)\mathrm dt= [\sin(t)]^{4\pi}_{\pi} = \sin(4\pi)-\sin{\pi}=0-0=0.$

Changements de variables classiques [modifier]

Pour les fonctions comportant des fonctions circulaires ou hyperboliques, voir les règles de Bioche.
Pour calculer
$\int{f\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)\mathrm{\mathrm d}x}$ ,
où $f$ est une fraction rationnelle en deux variables, $n$ un entier naturel et $a$ , $b$ , $c$ et $d$ quatre réels donnés, on pose
$u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ :
le changement de variable donnera toujours une fraction rationnelle en $u$ ; il suffit alors de la décomposer en éléments simples pour intégrer.
Pour calculer
$\int{f\left(x, \sqrt{x^2+ax+b}\right)\mathrm{\mathrm d}x}$ ,
où $f$ est une fraction rationnelle en deux variables, Euler a proposé le changement de variable $t-x=\sqrt{x^2+ax+b}$ , qui donne lui aussi toujours une fraction rationnelle en t (le cas $\sqrt{-x^2+ax+b}$ peut également être ainsi traité, si l'on accepte de travailler dans les complexes, il faut sinon passer par les fonctions circulaires).

Cas des intégrales impropres [modifier]

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Les formules données précédemment sont en fait valables même si les intégrales sont impropres, ce qui se produit en particulier lorsque le changement de variable fait passer d'un intervalle fermé de R à un intervalle ouvert (par exemple, l'intégrale $I=\int_0^{\pi/2}\frac {{\rm d}t}{1+\sin^2t}$ devient, par le changement de variable $x=\tan t$ , $I=\int_0^{+\infty}\frac {{\rm d}x}{1+2x^2}$ ). Dans les différents cas possibles, la démonstration de ce résultat se fait simplement en passant par un calcul de limite, et en remarquant que, par exemple, $\lim_{\varepsilon \to 0}\int_a^{b-\varepsilon}f(t){\rm d}t=\int_a^{b}f(t){\rm d}t$ .

Cas des intégrales multiples [modifier]

Articles détaillés : Changement de variables dans les intégrales multiples et Utilisation du jacobien

Lorsque $f$ est une fonction de plusieurs variables, on remplace $\varphi$ par une transformation $\Phi$ bijective, de classe $\mathcal{C}^1$ ainsi que sa fonction réciproque. Outre le changement du domaine d'intégration on utilise la valeur absolue du jacobien de $\Phi$ « à la place » de $|\varphi'|$ . Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne $J_\Phi$ . On donne ici la formulation explicite du changement de variable et le lecteur se reportera à l'article sur les intégrales multiples ou sur la matrice jacobienne pour plus de précisions sur ces notions :