Théorème de Fubini

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de Fubini fournit des informations sur le calcul d'intégrales définies sur des ensembles produits et permet le calcul de telles intégrales. Il indique que sous certaines conditions, pour intégrer une fonction à plusieurs variables, on peut intégrer les variables les unes à la suite des autres.

Énoncés[modifier | modifier le code]

Théorème de Fubini-Tonelli (it)[1] — Soient \scriptstyle(X,\mathcal A,\mu) et \scriptstyle(Y,\mathcal B,\nu) deux espaces mesurés tels que les deux mesures soient σ-finies et soit \scriptstyle(X\times Y,\mathcal A\times\mathcal B,\mu\times\nu) l'espace mesurable produit muni de la mesure produit. Si

f:X\times Y\rightarrow[0,+\infty]
est une application \scriptstyle\mathcal A\times\mathcal B-mesurable, alors les applications
x\mapsto\int_Y f(x,y)~\mathrm d\nu(y)\quad\text{et}\quad y\mapsto\int_X f(x,y)~\mathrm d\mu(x)

sont respectivement \scriptstyle\mathcal A- et \scriptstyle\mathcal B-mesurables et

\int_{X\times Y}f(x,y)~\mathrm d(\mu\times\nu)(x,y)=\int_X\left[\int_Y f(x,y)~\mathrm d\nu(y)\right]~\mathrm d\mu(x)=\int_Y\left[\int_X f(x,y)~\mathrm d\mu(x)\right]~\mathrm d\nu(y).

Théorème de Fubini-Lebesgue[2] — Soient \scriptstyle(X,\mathcal A,\mu) et \scriptstyle(Y,\mathcal B,\nu) deux espaces mesurés complets (non nécessairement σ-finis) et \scriptstyle(X\times Y,\mathcal A\times\mathcal B,\zeta) l'espace mesurable produit muni d'une mesure produit ζ. Si

f:X\times Y\rightarrow\R

est ζ-intégrable, alors les fonctions

x\mapsto\int_Y f(x,y)~\mathrm d\nu(y)\quad\text{et}\quad y\mapsto\int_X f(x,y)~\mathrm d\mu(x)

(définies presque partout) sont respectivement μ- et ν-intégrables et

\int_{X\times Y}f(x,y)~\mathrm d\zeta(x,y)=\int_X\left[\int_Y f(x,y)~\mathrm d\nu(y)\right]~\mathrm d\mu(x)=\int_Y\left[\int_X f(x,y)~\mathrm d\mu(x)\right]~\mathrm d\nu(y).

Le premier théorème est faux si on ne suppose pas les mesures σ-finies.

Dans le cas particulier où l'un des deux espaces est ℕ muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage, on retrouve respectivement le théorème de convergence monotone et le corollaire du théorème de convergence dominée pour les séries de fonctions.

Mise en œuvre[modifier | modifier le code]

Lorsque les deux mesures sont σ-finies, l'utilisation du théorème de Fubini-Tonelli permet souvent de démontrer qu'une fonction mesurable est intégrable. En effet, pour \scriptstyle f:X\times Y\rightarrow\R \scriptstyle \mathcal A\times \mathcal B-mesurable, on peut appliquer le théorème de Fubini-Tonelli à |f|, ce qui donne

\int_{X\times Y}|f(x,y)|~\mathrm d(\mu\times\nu)(x,y)=\int_X\left[\int_Y|f(x,y)|~\mathrm d\nu(y)\right]~\mathrm d\mu(x)=\int_Y\left[\int_X|f(x,y)|~\mathrm d\mu(x)\right]~\mathrm d\nu(y).

donc si l'une des intégrales est finie, alors toutes trois le sont et f est intégrable.

On a alors d'après le théorème de Fubini-Lebesgue

\int_{X\times Y}f(x,y)~\mathrm d(\mu\times\nu)(x,y)=\int_X\left[\int_Y f(x,y)~\mathrm d\nu(y)\right]~\mathrm d\mu(x)=\int_Y\left[\int_X f(x,y)~\mathrm d\mu(x)\right]~\mathrm d\nu(y),

ce qui facilite le calcul de l'intégrale.

Applications[modifier | modifier le code]

Contre-exemples[modifier | modifier le code]

Si f n'est pas intégrable[modifier | modifier le code]

Considérons

\int_{[0,1]^2}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}~\mathrm d(x,y).
  • On a
\int_0^1\left[\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}~\mathrm dy\right]\mathrm dx=\frac\pi4.
  • En échangeant les rôles de x et y, on a
\int_0^1\left[\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}~\mathrm dx\right]\mathrm dy=-\frac\pi4.

Le théorème de Fubini ne s'applique pas ici. En effet, la fonction considérée ici n'est pas intégrable :

\int_{[0,1]^2}\left|\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\right|\mathrm d(x,y)=+\infty

Cas d'une mesure non sigma-finie[modifier | modifier le code]

Considérons l'ensemble I=[0,1]. Munissons-le d'une part de la tribu borélienne \scriptstyle\mathcal B(I) et de la mesure de Lebesgue \lambda et d'autre part de la tribu discrète \scriptstyle\mathcal P(I) et de la mesure de comptage m.

La diagonale \scriptstyle\Delta=\{(x,x)\mid x\in[0,1]\} est un fermé de I^2, donc

\Delta\in\mathcal B(I^2)=\mathcal B(I)\times\mathcal B(I)\subset\mathcal B(I)\times\mathcal P(I).

La fonction indicatrice 1Δ est donc mesurable sur l'espace produit considéré.

Mais on a d'une part :

\int_I\left[\int_I{\mathbf1}_\Delta(x,y)~\mathrm dm(y)\right]~\mathrm d\lambda(x)=\int_I\left[\int_I{\mathbf1}_{\{x\}}(y)~\mathrm dm(y)\right]~\mathrm d\lambda(x)=\int_Im(\{x\})~\mathrm d\lambda(x)=\lambda(I)=1

et d'autre part :

\int_I\left[\int_I{\mathbf1}_\Delta(x,y)~\mathrm d\lambda(x)\right]~\mathrm dm(y)=\int_I\left[\int_I{\mathbf1}_{\{y\}}(x)~\mathrm d\lambda(x)\right]~\mathrm dm(y)=\int_I\lambda(\{y\})~\mathrm dm(y)=\int_I0~\mathrm dm(y)=0.

Ces deux intégrales sont distinctes, donc :

  • le théorème de Fubini-Tonelli ne s'applique pas ici. Ceci s'explique car la mesure de comptage m sur I=[0,1] n'est pas σ-finie, car toute réunion dénombrable d'ensembles de mesures m-finies, c'est-à-dire d'ensembles finis, est au plus dénombrable donc différente de [0,1].
  • le théorème de Fubini-Lebesgue ne s'applique pas non plus, ce qui prouve que Δ est de mesure infinie pour toute mesure produit de \lambda par m.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]
  2. (en) Emmanuele DiBenedetto, Real analysis, Springer, 2002, p. 147

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Les mesures produit, chapitre VIII du cours d'intégration 2004-2005-2006 de Pierre Mazet à l'université Pierre-et-Marie-Curie. On y trouve une preuve des deux versions du théorème de Fubini.