Forme symplectique

Une forme symplectique est un objet mathématique à la base de la géométrie symplectique et intervenant - avec des caractéristiques différentes - dans les espaces vectoriels ; dans les fibrés vectoriels ; sur les variétés différentielles.

Espace vectoriel symplectique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Espace vectoriel symplectique.

En algèbre linéaire, une forme symplectique sur un espace vectoriel $V$ est une forme bilinéaire non dégénérée alternée $\omega :V\times V\to \mathbb {R}$ . Un espace vectoriel muni d'une forme symplectique est nommé espace vectoriel symplectique.

Exemples :

$(\mathbb {R} ^{2n},\omega )$ où $\omega =\sum _{k=1}^{n}e_{k}^{*}\wedge f_{k}^{*}$ , pour $(e_{k}^{*},f_{k}^{*})_{k=1,...,n}$ la base duale canonique de $\mathbb {R} ^{2n}$ , est un espace vectoriel symplectique.
Si $W$ est un espace vectoriel réel et $V:=W\oplus W^{*}$ alors $(V,\omega )$ est un espace vectoriel symplectique pour $\omega ((w_{1}\oplus \alpha _{1}),(w_{2}\oplus \alpha _{2})):=\alpha _{1}(w_{2})-\alpha _{2}(w_{1})$ où $w_{1},w_{2}\in W$ et $\alpha _{2},\alpha _{2}\in W^{*}$

Fibré symplectique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Fibré vectoriel symplectique.

En géométrie différentielle, une forme symplectique sur un fibré vectoriel réel $E\to M$ est une section globale lisse $\omega$ du fibré $E^{*}\wedge E^{*}\to M$ qui est non dégénérée fibre par fibre. Un fibré vectoriel muni d'une forme symplectique est nommé fibré vectoriel symplectique.

Remarques :

Une forme symplectique de fibré symplectique est une famille lisse $\{\omega _{x}\}_{x\in M}$ de formes symplectiques d'espaces vectoriels dont les espaces vectoriels en question sont les fibres $E_{x}$ du fibré $E\to M$ .

Exemples :

Si $F\rightarrow M$ est un fibré vectoriel réel et $E:=F\oplus F^{*}$ alors $(E,\omega )$ , où

\omega _{x}((w_{1}\oplus \alpha _{1}),(w_{2}\oplus \alpha _{2})):=\alpha _{1}(w_{2})-\alpha _{2}(w_{1}),\quad \forall x\in M,\;\forall w_{1},w_{2}\in F_{x},\;\forall \alpha _{2},\alpha _{2}\in F_{x}^{*}

,

est un fibré vectoriel symplectique sur $M$ .

Ce dernier exemple montre la naturalité des formes symplectiques. Contrairement aux métriques riemanniennes, leur existence est mal comprise, mais au moins, elles viennent naturellement.

Variété symplectique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Variété symplectique.

Toujours en géométrie différentielle, une forme symplectique sur une variété différentielle $M$ est une 2-forme différentielle $\omega$ qui est :

fermée (au sens de la différentielle extérieure), i.e. $\mathrm {d} \omega =0$ ;
non dégénérée (fibre par fibre), i.e. pour tout $v\in TM$ non nul, $\omega (v,\cdot )$ est non nul.

Une variété différentielle munie d'une forme symplectique est nommé variété symplectique.

Remarques :

La forme symplectique $\omega$ d'une variété symplectique $(M,\omega )$ est aussi une forme symplectique de fibré vectoriel dont le fibré en question est le fibré tangent $TM$ de la variété différentielle $M$ . Toutefois, ici, on ajoute la condition de fermeture $\mathrm {d} \omega =0$ . Lorsque $\omega$ est une forme symplectique pour le fibré $TM$ mais qu'elle ne vérifie pas forcément la condition de fermeture $\mathrm {d} \omega =0$ , la paire $(M,\omega )$ est dit être une variété presque-symplectique.
La condition d'être fermée d'une forme symplectique $\omega$ d'une variété symplectique $(M,\omega )$ implique, par le théorème de Darboux, qu'autour de tout point $x$ de $M$ il existe un système de coordonnées locales $(p_{k},q_{k})_{k=1,...,\dim M}$ tel que $\omega$ s'y écrive de manière canonique $\sum _{k=1}^{\dim M}\mathrm {d} p_{k}\wedge \mathrm {d} q_{k}$ .
L'existence des formes symplectiques sur les variétés différentielles est une question ouverte.

Exemples :

Si $(M,\omega )$ $(M,\omega )$ est une variété symplectique de dimension $2n$ $2n$ , et que $P$ $P$ est une sous-variété différentielle de $M$ $M$ , alors :
- Le fibré tangent de $M$ se restreint en un fibré de rang $2n$ sur $P$ , noté $T_{P}M\rightarrow P$ . Et $(T_{P}M,\omega |_{T_{P}M})$ est un fibré symplectique sur $P$ .
- Si en tout point $x$ de $P$ , la forme bilineaire $\omega _{x}$ est non dégénérée en restriction à l'espace tangent $T_{x}P$ , alors $(P,\omega |_{T_{P}P})$ est une variété symplectique.