Espace de Schwartz

En mathématiques, l'espace ${\mathcal S}$ de Schwartz est un espace de fonctions utilisé notamment en théorie des distributions, pour la définition générale de la transformation de Fourier d'une distribution tempérée. La lettre 'S' a été choisie par Schwartz lui-même, celui-ci nommant "sphériques" les distributions qu'on appelle de nos jours "tempérées".

Définition

Une fonction f fait partie de l'espace $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ lorsqu'elle est indéfiniment dérivable, et si f et toutes ses dérivées sont à décroissance rapide, c'est-à-dire que leur produit par une fonction polynôme quelconque est borné à l'infini.

Pour deux multi-indices $\alpha, \beta$ on définit les normes $||.||_{\alpha, \beta}$ par

$\|f\|_{\alpha,\beta}=\|x^\alpha D^\beta f\|_\infty\,.$

Alors l'espace de Schwartz peut être décrit comme

$\mathcal{S} \left(\mathbb{R}^n\right) = \{ f \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^n) /\ \forall (\alpha, \beta),\ \|f\|_{\alpha,\beta} < +\infty \}$.

S'il n'y a pas d'ambiguïté, l'espace peut être simplement représenté par la lettre $\mathcal{S}$.

Topologie

L'espace de Schwartz peut être muni d'une topologie, la topologie initiale associée à la famille de semi-normes $(||.||_{\alpha, \beta})_{\alpha,\beta \in \mathbb{N}^N}$, équivalente à celle associée par la famille filtrante de semi-normes $(\mathcal{N}_p)_{p \in \mathbb{N}}$ définie par :

$\mathcal{N}_p (.) = \sum_{|\alpha, |\beta| \leq p} ||.||_{\alpha, \beta} \quad, p \in \mathbb{N}$

L'espace de Schwartz est, muni de cette topologie, un espace de Fréchet. Étant défini par une famille filtrante dénombrable de semi-norme, il est en effet un espace localement convexe, séparé, métrisable, et on montre en outre qu'il est complet.

La convergence d'une suite de $\mathcal{S}$ se définit donc de la manière suivante. Une suite de fonctions $(\phi_n)_{n \in \mathbb{R}}$ converge dans $\mathcal{S}(\mathbb{R}^N)$ vers une fonction $\phi$ si $\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^N)$ et si

$\forall p \in \mathbb{N}, \quad \lim_{n \to \infty} \mathcal{N}_p (\phi_n - \phi) = 0$

Son dual topologique (continu) est l'espace des distributions tempérées $\mathcal{S}'$.

Exemples et propriétés

• L'espace $\mathcal{S}$ contient l'espace $\mathcal{D}$ des fonctions $\mathcal{C}^\infty$ à support compact. Cet espace, aussi noté $C^\infty_c (\mathbb{R}^N)$, est d'ailleurs dense dans $\mathcal{S}(\mathbb{R}^N)$ au sens de la convergence (forte) définie ci-dessus.

• Il contient également d'autres éléments comme les fonctions de la forme produit d'un polynôme et d'une gaussienne :

$x\mapsto x^\alpha e^{-a \|x\|^2} \in \mathcal{S}$ pour un certain multi-indice α et un réel $a>0$.

• L'espace $\mathcal{S}$ est un sous-espace vectoriel des différents espaces $L^p$ pour $p\in[1;+\infty]$. Il est d'ailleurs dense dans chacun de ces ensembles $L^1, L^2, \ldots$, hormis $L^\infty$.

Opérations sur l'espace de Schwartz

• L'espace $\mathcal{S}$ est stable par addition interne et par dérivation, et ces opérations définissent des opérateurs continus.

• L'espace $\mathcal{S}$ est stable par multiplication interne, ou même par multiplication par toute fonction de $\mathcal{O}_M (\mathbb{R}^N)$. En particulier, il est stable par multiplication par une fonction polynômiale. Pour toute fonction $f$ de $\mathcal{O}_M (\mathbb{R}^N)$, l'opérateur défini par $\phi \mapsto f \phi$ est continu de $\mathcal{S} (\mathbb{R}^N)$ dans lui-même.

Multiplicateurs de $\mathcal{S}$  :

On définit l'espace $\mathcal{O}_M$ des multiplicateurs de $\mathcal{S} (\mathbb{R}^N)$ comme le sous-ensemble des fonctions de $\mathcal{C}^\infty (\mathbb{R}^N)$ dont toutes les dérivées sont à croissance polynômiale, i.e.

$\forall \alpha \in \mathbb{N}^N, \quad \exists C_\alpha > 0, \exists N_\alpha \in \mathbb{N}, \quad \forall x \in \mathbb{R}^N, \quad |( \partial^\alpha f)(x)| \leq C_\alpha (1 + |x|)^{N_\alpha}$

• La transformation de Fourier induit un automorphisme continu de $\mathcal{S}$, qui préserve la norme.

• La classe de Schwartz est absorbante pour le produit de convolution avec $\mathcal{E}'$. Pour toute distribution à support compact $T \in \mathcal{E}' (\mathbb{R}^N)$ et fonction de Schwartz $\phi \in \mathcal{S} (\mathbb{R}^N)$, on a

$T \ast \phi \in \mathcal{S} (\mathbb{R}^N)$

Références

• L. Schwartz Théorie des distributions et transformation de Fourier Annales de l'Université de Grenoble- T.23, 1948
• F. Golse, Distributions, analyse de Fourier et équations aux dérivées partielles, polycopié de cours, Éditions de l'École polytechnique, 2009