Sans perte de généralité

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Sans perte de généralité (ou aussi : sans restreindre la généralité) est une expression fréquemment utilisée dans les démonstrations en mathématiques. Cette expression, généralement suivie par une supposition restrictive, indique que la démonstration se limite à un cas particulier, mais que les autres cas peuvent être établis par une démonstration analogue à celle du cas envisagé, ou même se ramener à ce cas.

D'autres expressions comme « sans nuire à la généralité », ont la même signification.

Exemple[modifier | modifier le code]

Proposition :

Une fonction f définie et continue sur l'intervalle [a,b ], telle que f(af (b) < 0, s'annule au moins une fois dans [a, b].

Démonstration :

De l'hypothèse f(af(b) < 0, il s'ensuit que f(a) et f(b) sont de signes opposés.
Sans perte de généralité, nous ne considérons que le cas où f(a) < 0 et f(b) > 0.
Vient ensuite la démonstration de ce cas particulier.
L'autre cas se ramène au précédent : il suffit de considérer la fonction opposée -f.