Fonction porte

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Porte.
Graphe de la fonction porte

La fonction porte, généralement représentée Π, est une fonction mathématique par laquelle un nombre a une image nulle, sauf s'il est compris entre -0,5 et 0,5, auquel cas son image vaut 1. Son graphe a une forme similaire à celle d'une porte, d'où son nom. Elle est la fonction indicatrice de l'intervalle [-0,5;0,5] de ℝ, que l'on note: 1\!\!1_[-0,5;0,5].

Définition[modifier | modifier le code]

La fonction porte est une fonction souvent notée \Pi définie sur l'espace des fonctions réels à valeur dans \{0,1\} comme suit :

\forall t \in \R,\ \Pi(t) = \left \{ \begin{array}{cc}  1 & \mbox{ si } -1/2 \leq t \leq 1/2 \\ 0 & \mbox{sinon}\end{array}\right.

Par généralisation, on appelle également fonction porte toute fonction déduite par translation et/ou dilatation de la fonction définie ci-dessus. Les notations varient.

La fonction porte peut s'exprimer à l'aide de la fonction de Heaviside de cette manière :

\forall t \in \R,\ \Pi(t) = H \left(t+\frac{1}{2} \right) - H \left(t-\frac{1}{2} \right)

On peut translater la fonction porte en additionnant ou en soustrayant à t un facteur de translation (attention: la soustraction induit un retard et l'addition induit un avancement par rapport à 0). On peut élargir la porte de [-1/2 ; 1/2] à [-a/2 ; a/2] en divisant t par a dans l'expression de la porte originale.

Transformée de Fourier[modifier | modifier le code]

La transformée de Fourier de la fonction porte définie ci-dessus est un sinus cardinal :


\mathcal{F}(\Pi)(f) = \mathrm{sinc}(\pi f)

Voir aussi[modifier | modifier le code]