Fonction de Bessel

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, les fonctions de Bessel, découvertes par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli, portent le nom du mathématicien allemand Friedrich Bessel. Bessel développa l'analyse de ces fonctions en 1816 dans le cadre de ses études du mouvement des planètes induit par l'interaction gravitationnelle, généralisant les découvertes antérieures de Bernoulli. Ces fonctions sont des solutions canoniques y(x) de l'équation différentielle de Bessel :

x^2 \frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2} + x \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0

pour tout nombre réel ou complexe α. Le plus souvent, α est un entier naturel (on dit alors que c'est l'ordre de la fonction), ou un demi-entier.

Tracés des trois premières fonctions de Bessel de première espèce J

Il existe deux sortes de fonctions de Bessel :

  • les fonctions de Bessel de première espèce Jn, solutions de l'équation différentielle ci-dessus qui sont définies en 0 ;
  • les fonctions de Bessel de seconde espèce Yn, solutions qui ne sont pas définies en 0 (mais qui ont une limite infinie en 0).

Les représentations graphiques des fonctions de Bessel ressemblent à celles des fonctions sinus ou cosinus, mais s'amortissent comme s'ils s'agissait de fonctions sinus ou cosinus divisées par un terme de la forme \sqrt{x}.

Les fonctions de Bessel sont aussi connues sous le nom de fonctions cylindriques, ou d’harmoniques cylindriques, parce qu'elles font partie des solutions de l'équation de Laplace en coordonnées cylindriques (intervenant, par exemple, dans la propagation de la chaleur dans un cylindre).

Elles interviennent également dans beaucoup d'autres problèmes physiques :

  • les ondes (électromagnétiques ou acoustiques) dans un guide cylindrique (antenne ou tuyau);
  • les modes de vibration d'une fine membrane circulaire ou annulaire ;
  • l'étude d'instruments optiques ;
  • le pendule de Bessel ;
  • dans les phénomènes de diffraction par une fente circulaire;
  • dans l'étude de la modulation AM (modulation en amplitude) en télécommunications.

Expression des fonctions de Bessel[modifier | modifier le code]

Pour les valeurs entières de α = n, les fonctions de Bessel de première espèce J_n sont définies par la série entière (de rayon de convergence infini) suivante :

J_n(x)=\sum_{p=0}^\infty {(-1)^p \over p! (n+p)!} {\left({x \over 2}\right)}^{2p+n}

Plus généralement, pour α non entier, on a le développement analogue

 J_\alpha(x) = \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}{p! \, \Gamma(p+\alpha+1)} {\left({x \over 2}\right)}^{2p+\alpha}\ ,

où Γ(z) est la fonction gamma, généralisant la fonction factorielle à des valeurs non entières.

Les fonctions de Bessel de deuxième espèce ou fonctions de Neumann sont définies par :

Y_n(x)=\lim_{\lambda \to n} {J_\lambda(x) \cos(\lambda \pi) - J_{-\lambda}(x) \over \sin(\lambda \pi)}


Intégrales de Bessel[modifier | modifier le code]

Pour les valeurs entières de \alpha=n, les fonctions de Bessel peuvent être représentées par des intégrales :

J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (n \tau - x \sin \tau) \,\mathrm{d}\tau.

ou encore par :

J_n (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi e^{-\mathrm{i}\,(n \tau - x \sin \tau)} \,\mathrm{d}\tau.

C'est la définition qu'en donna Bessel, et qui lui servit à obtenir de nombreuses propriétés de ces fonctions (à commencer par l'équation différentielle, qui en découle par différentiation sous le signe d'intégration, suivie d'une intégration par parties). Cette définition peut s'étendre au cas α non entier, en ajoutant un autre terme :

J_\alpha(x) = 
   \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos(\alpha\tau- x \sin\tau)\,d\tau
- \frac{\sin(\alpha\pi)}{\pi} \int_0^\infty
          e^{-x \sinh(t) - \alpha t} \, dt. [1],[2]

ou, pour \alpha > -\frac{1}{2}, par


  J_\alpha(x)= \frac{1}{2^{\alpha-1}\Gamma(\alpha + \frac{1}{2}) \sqrt{\pi}\, x^\alpha} \int_0^x (x^2-\tau^2)^{\alpha-1/2}\cos \tau \, d\tau.

Relation avec les séries hypergéométriques[modifier | modifier le code]

Les fonctions de Bessel peuvent également s'exprimer sous forme de série hypergéométrique généralisée (en) comme

J_\alpha(x)=\frac{(x/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}  \;_0F_1 (\alpha+1; -\tfrac{1}{4}x^2).

Cette expression est liée au développement des fonctions de Bessel à l'aide de la fonction de Bessel-Clifford (en).

Relation avec les polynômes de Laguerre[modifier | modifier le code]

Notant L_k le k-ème polynôme de Laguerre, les fonctions de Bessel peuvent être exprimées ainsi[3] :

\frac{J_\alpha(x)}{\left( \frac{x}{2}\right)^\alpha}= \frac{e^{-t}}{\alpha!} \sum_{k=0}^\infty \frac{L_k^{(\alpha)}\left( \frac{x^2}{4 t}\right)}{{k+ \alpha \choose k}} \frac{t^k}{k!},

où l'expression de droite ne dépend pas de t et demande, pour être généralisée au cas α non entier, l'utilisation de dérivées fractionnaires.

Propriétés des Jn[modifier | modifier le code]

  • Relations de récurrence :
J_{n+1}(x)={n J_n(x) \over x}-J_n'(x)
J_{n+1}(x)+J_{n-1}(x)={2n \over x} J_n(x)
J_{n+1}(x)-J_{n-1}(x)=-2J_n'(x)\,
  • On en déduit :
J_1(x)=-J_0'(x)\;
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x^n J_n(x))=x^n J_{n-1}(x)\;
  • Orthogonalité :

\lambda_i et \lambda_j étant deux zéros distincts de J_n, on a : \int_{0}^{1} x J_n(\lambda_i x) J_n(\lambda_j x)\,\mathrm dx = 0

Jn est souvent défini par l'intermédiaire d'une série de Laurent, correspondant à la fonction génératrice :

e^{(x/2)(t-1/t)} = \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x) t^n ;

cette approche est celle de P. A. Hansen en 1843. Elle peut se généraliser à des ordres n non entiers, par l'intermédiaire, par exemple, d'intégrales de contour.

Des développements analogues; mais utilisant des séries trigonométriques, sont dus à Jacobi et Anger ; on a[4]

e^{iz \cos \phi} = \sum_{n=-\infty}^\infty i^n J_n(z) e^{in\phi},

et

e^{iz \sin \phi} = \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(z) e^{in\phi}.

Développements asymptotiques[modifier | modifier le code]

Les fonctions de Bessel ont les formes asymptotiques suivantes (pour α positif). Près de 0 (et plus précisément pour 0 < x \ll \sqrt{\alpha + 1}), on a[5] :

J_\alpha(x) \approx \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha
Y_\alpha(x) \approx \begin{cases}
  \displaystyle \frac{2}{\pi} \left[ \ln \left( \frac x2 \right) + \gamma \right]  & \text{si } \alpha=0 \\
 \displaystyle -\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \text{si } \alpha > 0 
\end{cases}

\gamma est la constante d'Euler-Mascheroni (0,5 772…) et \Gamma est la fonction gamma. Pour x tendant vers l'infini (et plus précisément pour x \gg |\alpha^2 - 1/4|), ces développements deviennent[5] :

J_\alpha(x)\approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}} 
        \cos \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right)
Y_\alpha(x) \approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}} 
        \sin \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right).

La conjecture de Bourget[modifier | modifier le code]

Bessel avait démontré que pour n entier positif, l'équation Jn(x) = 0 admet une infinité de solutions[6]. Cependant, les graphes de Jn semblent montrer que ces zéros sont distincts pour différentes valeurs de n, en dehors de Jn(0) = 0. Ce phénomène est appelé la conjecture de Bourget[7] ; elle fut démontrée par Carl Siegel en 1929[8].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. http://www.math.ohio-state.edu/~gerlach/math/BVtypset/node122.html
  2. http://www.nbi.dk/~polesen/borel/node15.html
  3. Szegö, G., Orthogonal Polynomials, 4ème éd. Providence, RI : Amer. Math. Soc., 1975.
  4. Cuyt, Annie; Petersen, Vigdis; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. , Handbook of continued fractions for special functions, p.344, Springer (2008)
  5. a et b George B. Arfken et Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6e edition (Harcourt: San Diego, 2005). ISBN 0-12-059876-0.
  6. F. Bessel, Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, Berlin Abhandlungen (1824), article 14.
  7. J. Bourget, « Mémoire sur le mouvement vibratoire des membranes circulaires », ASENS (en), 1e série, vol. 3,‎ 1866, p. 55-95 (lire en ligne).
  8. Watson, G.N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions pp. 484–5 (seconde édition, 1995) Cambridge University Press

Articles connexes[modifier | modifier le code]