Théorème de Plancherel

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Le théorème de Plancherel permet d'étendre la transformation de Fourier aux fonctions de carré sommable. Il fut démontré par le mathématicien Michel Plancherel[1].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit f une fonction de carré sommable sur ℝ et soit A>0. On peut définir la transformée de Fourier de la fonction tronquée à [-A,A] :

\hat{f}_A(\omega)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^A f(x)\, e^{-i \omega x}~\mathrm dx

Alors lorsque A tend vers l'infini, les fonctions \hat f_A convergent en moyenne quadratique (c'est-à-dire pour la norme ||.||2) vers une fonction qu'on note \hat f et que l'on appelle transformée de Fourier (ou de Fourier-Plancherel) de f.

En outre la formule d'inversion de Fourier est vérifiée : la fonction \hat{f} est elle-même de carré sommable et on a (au sens de la norme ||.||2) :

f = \lim_{A\to+\infty}\left[ \frac1{\sqrt{2\pi}}\, \int_{-A}^{A} \hat{f}(w)\, e^{iwx}~\mathrm dw\right]

Ainsi la transformation de Fourier-Plancherel définit un automorphisme de l'espace L2. De plus, c'est une isométrie de cet espace de Hilbert :

\|f\|_2 = \|\hat{f}\|_2.

Cette définition est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions intégrables.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Le théorème de Plancherel se généralise dans le cas où la transformée de Fourier est définie sur de nombreux groupes, on peut citer les groupes abéliens localement compacts (cf Dualité de Pontryagin), dont l'exemple le plus simple est celui des groupes abéliens finis (cf Analyse harmonique sur un groupe abélien fini).

Notes et Références[modifier | modifier le code]

  1. Michel Plancherel, « Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par les intégrales définies », dans Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, 1910, p. 298-335

Lien externe[modifier | modifier le code]