Transformation de Laplace

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En mathématiques, la transformation de Laplace est une transformation intégrale, c'est-à-dire une opération associant à une fonction ƒ(t) (à valeur dans \mathbb{R}^{n} ou dans \mathbb{C}^{n}) une nouvelle fonction dite transformée de Laplace de ƒ(t), notée traditionnellement F(p), via une intégrale.

La transformation de Laplace est injective et par usage de tables il est possible d'inverser la transformation. Le grand avantage de la transformation de Laplace est que la plupart des opérations courantes sur la fonction originale ƒ(t), telle que la dérivation, ou un décalage sur la variable t, ont une traduction (plus) simple sur la transformée F(p). Ainsi :

  • la transformée de Laplace de la dérivée ƒ'(t) est simplement pF(p) - ƒ(0-) ;
  • et la transformée de la fonction « décalée » ƒ(t - τ) est simplement e-pτF(p).

Cette transformation fut introduite pour la première fois sous une forme proche de celle utilisée par Laplace en 1774, dans le cadre de la théorie des probabilités.

La transformation de Laplace généralise la transformation de Fourier qui est également utilisée pour résoudre les équations différentielles : contrairement à cette dernière, elle tient compte des conditions initiales et peut ainsi être utilisée en théorie des vibrations mécaniques ou en électricité dans l'étude des régimes forcés sans négliger le régime transitoire. Elle converge pour toutes les fonctions qui, pondérées par une exponentielle, admettent une transformée de Fourier ; par conséquent les fonctions admettant une transformée de Fourier admettent toutes une transformée de Laplace, mais la réciproque n'est pas vraie. De manière générale, ses propriétés vis-à-vis de la dérivée permettent un traitement plus simple de certaines équations différentielles, et est de ce fait très utilisée en automatique.

Dans ce type d'analyse, la transformation de Laplace est souvent interprétée comme un passage du domaine temps, dans lequel les entrées et sorties sont des fonctions du temps, dans le domaine des fréquences, dans lequel les mêmes entrées et sorties sont des fonctions de la « fréquence » (complexe) p. Ainsi il est possible d'analyser simplement l'effet du système sur l'entrée pour donner la sortie en termes d'opérations algébriques simples (cf. théorie des fonctions de transfert en électronique ou en mécanique).

Définition[modifier | modifier le code]

En mathématiques et en particulier en analyse fonctionnelle, la transformée de Laplace monolatérale d'une fonction ƒ (éventuellement généralisée, telle que la « fonction de Dirac ») d'une variable réelle t, à support positif, est la fonction F de la variable complexe p, définie par :

\mathrm{F}(p) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0^{-}}^{+\infty }{\rm e}^{-pt} f(t)\,\mathrm{d}t.

Plus précisément, cette formule est valide lorsque

  1. Re(p) > α, où α est l'abscisse de convergence (définie plus bas), –∞ ≤ α ≤ +∞ et
  2. ƒ est une fonction localement intégrable à support positif, c'est-à-dire nulle en-dehors de l'intervalle I = [0, +∞[, ou plus généralement un « germe » de distributions définies dans un voisinage ouvert (et borné inférieurement) de l'intervalle I = [0, +∞[ dont la restriction au complémentaire de I dans ce voisinage est une fonction indéfiniment dérivable (voir l'article Transformation bilatérale de Laplace)[1].

C'est un tel germe que nous appelons ici, par abus de langage, une fonction généralisée (en) à support positif, et la transformation de Laplace est injective appliquée à ces fonctions généralisées.

L'abscisse de convergence α se définit comme suit :

soit, pour un réel β,  f_{\beta }:t\mapsto{\rm e}^{-\beta t}f\left( t\right) . Alors α est la borne inférieure de l'ensemble B des β pour lesquels ƒβ est une distribution tempérée si B est non vide, et α = +∞ sinon.

La « fonction de Dirac » est de cette nature. Sa transformée de Laplace vaut 1 avec une abscisse de convergence de –∞.

Les propriétés de cette transformation lui confèrent une grande utilité dans l'analyse des systèmes dynamiques linéaires. La plus intéressante de ces propriétés est que l'intégration et la dérivation sont transformées en division et multiplication par p, de la même manière que le logarithme transforme la multiplication en addition. Elle permet ainsi de ramener la résolution des équations différentielles linéaires à coefficients constants à la résolution d'équations affines (dont les solutions sont des fonctions rationnelles de p)

La transformation de Laplace est très utilisée par les ingénieurs pour résoudre des équations différentielles et déterminer la fonction de transfert d'un système linéaire. Par exemple, en électronique, contrairement à la décomposition de Fourier qui est utilisée pour la détermination du spectre d'un signal périodique ou même quelconque, elle tient compte de l'existence d'un régime transitoire précédant le régime permanent (exemple : la prise en compte de l'allure du signal avant et après la mise en marche d'un générateur de fréquence).

Il suffit en effet de transposer l'équation différentielle dans le domaine de Laplace pour obtenir une équation beaucoup plus simple à manipuler.

Par exemple, lors de l'étude d'une machine à courant continu :

e(t) = \mathrm{R} \cdot i(t)+ \mathrm{L} \frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}

dans le domaine temporel devient

\mathrm{E}(p) = \mathrm{R} \cdot \mathrm{I}(p) + p \cdot \mathrm{L} \cdot \mathrm{I}(p)

dans le domaine de Laplace. Ceci n'est valable qu'à conditions initiales nulles : i(0) = 0.

On a utilisé ici des propriétés de la transformation de Laplace, explicitées ci-dessous.

Remarque : la notation « s » (variable de Laplace) est souvent utilisée dans les pays anglo-saxons alors que la notation « p » est utilisée notamment en France et en Allemagne.

On définit aussi, dans les mêmes conditions que ci-dessus, la transformation de Laplace-Carson par[2] :

\phi(p) = p\int_{0^{-}}^{+\infty}{\rm e}^{-pt} f(t)\,\mathrm{d}t

qui permet d'associer à toute fonction d'une variable t\mapsto f(t) une fonction image p\mapsto \phi(p).

Cette transformation est utilisée par certains ingénieurs car  :

  • une constante sur [0, +∞[ a pour image la même constante ;
  • elle offre dans certains cas une plus grande facilité d'emploi en calcul matriciel et tensoriel.

Inversion[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Transformée inverse de Laplace.

L'inversion de la transformation de Laplace s'effectue par le biais d'une intégrale dans le plan complexe. À l'aide du théorème des résidus, on démontre la formule de Bromwich (en)-Mellin :

f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{\mathrm{F}(p)\} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{ \gamma - i \cdot \infty}^{ \gamma + i \cdot \infty} e^{pt} \mathrm{F}(p)\,dp,

où γ est choisi de sorte que :

  • l'intégrale soit convergente, ce qui implique que γ soit supérieur à la partie réelle de toute singularité de F(p) ;
  • et qu'à l'infini, |F(p)| tende vers 0 au moins aussi rapidement que \dfrac{1}{\vert p \vert ^{2}}.

Lorsque cette dernière condition n'est pas satisfaite, la formule ci-dessus est encore utilisable s'il existe un entier n tel que :

p-nF(p)| tende vers 0 aussi rapidement que \dfrac{1}{\vert p \vert ^{2}}

c'est-à-dire lorsque :

pour |p| tendant vers l'infini, |F(p)| est majorée par un polynôme en |p|.

En remplaçant F(p) par p-nF(p) dans l'intégrale ci-dessus, on trouve dans le membre de gauche de l'égalité une fonction généralisée à support positif dont la dérivée d'ordre n (au sens des distributions) est la fonction généralisée (elle aussi à support positif) cherchée.

En pratique néanmoins, la formule de Bromwich-Mellin est peu utilisée, et on calcule les inverses des transformées de Laplace à partir des tables de transformées de Laplace.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Linéarité[modifier | modifier le code]

\mathcal{L}\left\{a f + b g \right\}
  = a\, \mathcal{L}\left\{ f \right\} +
    b\, \mathcal{L}\left\{ g \right\}

Dérivation[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Dérivée.

Soit à calculer :

\mathcal{L}\{f'\}
  = \int_{0^{-}}^{\infty} e^{-pt} f'(t)\,dt\,.

En intégrant par parties, on obtient :

\mathcal{L}\{f'\}
  = \left[e^{-pt}f(t)\right]_{0^{-}}^\infty + p\int_{0^{-}}^{\infty} e^{-pt} f(t)\,dt\,,

soit finalement (et de proche en proche ou par récurrence pour les dérivations successives) :

\mathcal{L}\{f'\}
  = p \mathcal{L}\{f\} - f(0^{-})
\mathcal{L}\{f''\}
  = p^2 \mathcal{L}\{f\} - p f(0^{-}) - f'(0^{-})
\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\}
  = p^n \mathcal{L}\{f\} - p^{n - 1} f(0^{-}) - \cdots - f^{(n - 1)}(0^{-})

Cette dernière expression peut s'écrire, en désignant l'opérateur f\left( 0^{-}\right) \mapsto f^{\left( i\right) }\left( 0^{-}\right) par \partial _{0}^{i} pour tout entier i\geq 0,

\mathcal{L}\left( f^{\left( n\right) }\right) =p^{n}\mathcal{L}\left(
f\right) -\frac{p^{n}-\partial _{0}^{n}}{p-\partial _{0}}f\left(
0^{-}\right)

Notons que, vu la définition donnée plus haut d'une fonction généralisée à support positif (en utilisant la notion de germe), les quantités f(0^{-}), ..., f^{(n - 1)}(0^{-}) ne sont pas nulles en général.

Application à la dérivée de la fonction de Heaviside - Nécessité de la borne inférieure 0^-[modifier | modifier le code]

Article détaillé : fonction de Heaviside.

La fonction de Heaviside \Upsilon vaut 0 pour t < 0, 1 pour t > 0 (sa valeur en 0 n'a aucune importance). Cette fonction étant discontinue, elle n'est pas dérivable au sens habituel. En revanche, sa dérivée au sens des distributions est la « fonction » de Dirac \delta . Il vient

\mathcal{L}\left( \delta \right) =p\mathcal{L}\left( \Upsilon \right)
-\Upsilon \left( 0^{-}\right) =1-0=1,

puisque, comme le lecteur le vérifiera aisément,

\mathcal{L}\left( \Upsilon \right) =\dfrac{1}{p},  \Re \left( p\right) >0.

On notera que si l'on remplaçait, dans la formule de la règle de dérivation, ƒ(0-) par ƒ(0+), on trouverait \mathcal{L}\left( \delta \right) = 0 , ce qui est faux (on va y revenir plus loin). Ce point est pourtant encore discuté par certains auteurs, bien à tort comme on le voit ici.

De même, on voit parfois, y compris dans certains ouvrages, la définition erronée suivante de la transformation de Laplace :

F\left( p\right) =\int_{\alpha }^{+\infty }e^{-pt}f\left( t\right) dt

avec \alpha=0^+. Si f est une fonction au sens habituel de ce terme, à support positif, il s'agit d'une intégrale de Lebesgue qui coïncide avec celle correspondant à \alpha=0^-, puisque \left\{ 0\right\} est de mesure nulle ; on peut d'ailleurs dans ce cas écrire sans ambiguïté \alpha=0. Il en va pas de même si f est une « fonction généralisée », au sens que Gelfand et Shilov (en) ont donné à ce terme, c'est-à-dire une distribution, quand celle-ci a une masse non nulle à l'origine. Le prototype est la distribution de Dirac. Au plan algébrique, cette distribution \delta est l'élément neutre dans l'algèbre de convolution \mathcal D^{\prime}_+ des distributions à support positif ; et puisque la transformation de Laplace transforme le produit de convolution en produit ordinaire, il faut donc que \delta ait pour transformée de Laplace \mathcal L\left(\delta\right)=1. Or, cela ne sera vrai que si \alpha=0^-. En effet, avec \alpha=0^+ on obtiendrait une transformée de Laplace égale à 0. Cela serait d'autant plus aberrant que la transformation de Laplace ne serait pas injective, puisque \delta \neq 0.

Multiplication par une puissance de t[modifier | modifier le code]

\mathcal{L}\left( t^n f\left( t\right) \right) =\left( -1\right) ^n \dfrac{\mathrm{d}^n\mathcal{L}\left\{ f \right\} }{\mathrm{d}p^n}.

La formule inverse (pour n = 1) est

\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t} \right\} = \int_p^\infty \mathrm{F}(\sigma)\, \mathrm{d}\sigma

et elle est valide à condition que ƒ soit de la forme  t\mapsto tg\left( t\right) g est une fonction généralisée à support positif. Une manière de démontrer ce résultat est indiquée ci-dessous.

Intégration[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Intégrale (mathématiques).
\mathcal{L}\left\{ \int_{0^{-}}^{t}f(\tau )\mathrm{d}\tau  \right\} = \frac{1}{p} \mathcal{L}\{f\}

et si ƒ est une fonction à support positif, continue sur [0, +∞[, on a pour tout a > 0 :

\mathcal{L}\left\{ \int_a^t f(\tau) d\tau \right\} = \frac{1}{p} \mathcal{L}\{f\} + {1 \over p}\int_a^0 f(\tau)\mathrm{d}\tau

Valeur finale[modifier | modifier le code]

Si la limite dans le domaine temporel existe, alors :

\lim_{t \to +\infty} f(t)=\lim_{p \to 0} p\mathrm{F}(p)

Valeur initiale[modifier | modifier le code]

Si la limite dans le domaine temporel existe, alors :

\lim_{t \to 0^+} f(t)=\lim_{p \to +\infty} p\mathrm{F}(p)

(On notera que c'est la seule propriété où un 0^+ apparaît.)

Convolution[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Produit de convolution.
\mathcal{L}\{f * g\}
  = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}

Transformée de Laplace d'une fonction de période T[modifier | modifier le code]

Si ƒ est une fonction nulle pour t < 0 et, pour t > 0, périodique de période T, alors

\mathcal{L}\{ f \} = \frac{1}{1 - e^{-\mathrm{T}p}} \int_0^\mathrm{T} e^{-pt} f(t)\,\mathrm{d}t

Tableau résumé des propriétés de la transformation de Laplace[modifier | modifier le code]

Quelques transformées usuelles[modifier | modifier le code]

La transformée de Laplace monolatérale n'est valide que pour des fonctions (éventuellement généralisées) à support positif. C'est pour cette raison que les fonctions temporelles de cette table sont multiples de (ou composées avec) \Upsilon, fonction échelon unité (Heaviside).

Exemple d'utilisation de la transformée de Laplace en électricité[modifier | modifier le code]

On considère un circuit dit « R,C », constituée d'une résistance électrique de valeur R et d'un condensateur de capacité électrique C, placés en série. Dans tous les cas on considère que le circuit n'est placé aux bornes d'un générateur idéal de tension délivrant une tension (en général) variable u(t) qu'à un instant choisi pour origine des dates, et que le condensateur est initialement déchargé.

On a ainsi respectivement pour la charge q(t) du condensateur et l'intensité dans le circuit  i\left(t\right) \equiv \frac{dq}{dt} les conditions initiales suivantes :

q\left( 0^{-}\right) =0 , i\left( 0^{-}\right) =0.

Charge d'un condensateur par un échelon de tension[modifier | modifier le code]

On applique la tension u(t) suivante :

u(t) = \begin{cases} 0,  \text{ si   } t < 0 \\ \mathrm{U}_{0} = cte,  \text{  si   } t \ge 0 \end{cases},

et l'équation différentielle reliant la réponse q(t) à l'entrée u(t) est en appliquant les lois usuelles de l'électricité :

\mathrm{U}_{0}\Upsilon(t) = \mathrm{R}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac{q(t)}{\mathrm{C}},

soit encore en posant \tau \equiv \mathrm{R}\mathrm{C} (cette quantité à la dimension d'une durée) et en divisant par R :

\frac{\mathrm{C}\mathrm{U}_{0}}{\tau}\Upsilon(t) = \frac{q(t)}{\tau} + \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.

On prend la transformée de Laplace membre à membre de cette dernière équation, en notant Q(p) la transformée de q(t), il vient, en prenant en compte le fait que q(0-) = 0 :

\mathrm{Q}(p) = \mathrm{C}\mathrm{U}_{0}\frac{\frac{1}{\tau}}{p\left((\frac{1}{\tau}) + p\right)},

ce qui peut aussi s'écrire sous la forme :

\mathrm{Q}(p) = \mathrm{H}(p)\mathrm{U}(p) \text{,  avec  } \mathrm{H}(p) \equiv \frac{\left(1/\tau\right)}{\left[ (1/\tau) + p\right]}, fonction de transfert du système RC, et \mathrm{U}(p) = \mathrm{C}\mathrm{U}_{0}/p, transformée de Laplace de l'entrée[5].

On peut aussitôt inverser cette équation en (on utilise l'entrée numéro 3 de la table ci-dessus avec \alpha = 1/\tau) :

q(t) = \mathrm{U}_{0}\mathrm{C}\left[1 - e^{-t /\tau}\right]\Upsilon(t).

L'interprétation physique de cette solution est très simple : il y a superposition d'un régime transitoire

\scriptstyle{q_\mathrm{trans} \left(t\right) = - \mathrm{U}_{0}\mathrm{C}e^{-t/\tau}},

qui décrit la charge progressive du condensateur, la quantité \scriptstyle{\tau \equiv \mathrm{R}\mathrm{C}} donnant l'échelle de temps (c'est un exemple de temps de relaxation d'un système), à un régime permanent

\scriptstyle{\mathrm{Q_{perm}} = \mathrm{C}\mathrm{U}_{0} \equiv \mathrm{Q_{m}}}

qui correspond à l'état du condensateur complètement chargé sous la tension continue U<su>0. On montre aisément que le condensateur est à 90 % chargé (\scriptstyle{q = 0,90 \mathrm{Q_{m}}}) au bout de la durée \scriptstyle{\mathrm{T} = \tau\ln{10} \approx 2,3025\tau}.

Le terme \scriptstyle{\left(1-e^{-t/\tau}\right)} est la fonction de transfert du système dans le domaine temporel.

On voit la facilité d'usage de la transformation de Laplace, qui permet de s'abstraire complètement de la résolution de l'équation différentielle dans l'espace des temps par un passage dans « l'espace p ». Par ailleurs, la prise en compte des conditions initiales est effectuée lors de la transformation.


Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Bourlès 2010 (§13.3.4), Bourlès et Marinescu 2011, § 7.3.4.1.
  2. Denis-Papin et Kaufmann 1967.
  3. Schwartz 1965, (VI,2;2)
  4. Bracewell 2000, Table 14.1, p. 385
  5. en unité de charge de par la multiplication par C

Références[modifier | modifier le code]

  • Henri Bourlès, Linear Systems, John Wiley & Sons,‎ 2010, 544 p. (ISBN 1848211627, lire en ligne)
  • Henri Bourlès et Bogdan Marinescu, Linear Time-Varying Systems: Algebraic-Analytic Approach, Springer,‎ 2011, 638 p. (ISBN 3642197264)
  • (en) Ronald N. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, Boston, McGraw-Hill,‎ 2000, 3e éd. (ISBN 0-07-116043-4).
  • M. Denis-Papin et A. Kaufmann, Cours de calcul opérationnel appliqué, Albin Michel,‎ 1967
  • Laurent Schwartz, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Hermann,‎ 1965 (ISBN 2705652132)
  • (en) D.V. Widder, The Laplace Transform, Dover Publications,‎ 2011 (ISBN 048647755X)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]