Théorème de convergence dominée

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l'intégration de Lebesgue.

Le théorème de convergence dominée[modifier | modifier le code]

Théorème —  Soit (f_n)_{n\in\N} une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré (E,\mathcal A,\mu), à valeurs réelles ou complexes, telle que :

\forall n\in\N,\forall x\in E,|f_n(x)|\le g(x).

Alors f est intégrable et

\lim_{n\to\infty}\int_E|f_n-f|~\mathrm d\mu=0.

En particulier :

\lim_{n\to\infty}\, \int_E f_n~\mathrm d\mu=\int_E\lim_{n\to\infty}f_n~\mathrm d\mu=\int_Ef~\mathrm d\mu.

Exemples[modifier | modifier le code]

Un cas particulier élémentaire mais utile[modifier | modifier le code]

Soit (f_n)_{n\in\N} une suite de fonctions continues à valeurs réelles ou complexes sur un intervalle I de la droite réelle. On fait les deux hypothèses suivantes :

  • la suite (f_n)_{n\in\N} converge simplement vers une fonction f ;
  • il existe une fonction continue g telle que\forall n\in\N, \forall x\in I, |f_n(x)|\le g(x)\text{ et }\int_I g(x){\rm d}x < +\infty. Alors\int_I \vert f(x)\vert{\rm d}x < +\infty\text{ et }\lim_{n\rightarrow +\infty}\int_I f_n(x){\rm d}x= \int_I f(x){\rm d}x.

Convergence d'une suite d'indicatrices[modifier | modifier le code]

Appliquons le théorème au cas où chaque fn est l'indicatrice d'une partie An de E. Puisque ces fonctions sont à valeurs réelles, la convergence simple de cette suite de fonctions équivaut à l'égalité de ses limites inférieure et supérieure, respectivement égales aux indicatrices des limites inférieure et supérieure de la suite d'ensembles. On obtient donc :

Soit (A_n)_{n\in\N} une suite de parties mesurables d'un espace mesuré (E,\mathcal A,\mu) telle que :

  • les limites inférieure et supérieure de la suite (A_n)_{n\in\N} sont égales ;
  • \mu(\cup_{n\in\N}A_n) < \infty.

Alors l'ensemble mesurable A défini par

A := \liminf_n A_n = \limsup_n A_n

est de mesure finie et vérifie :

\lim_{n\to\infty}\mu(A_n \Delta A) = 0,

où la notation Δ désigne la différence symétrique.

En particulier :

\lim_{n\to\infty}\mu(A_n) = \mu(A).

Remarquons toutefois que l'on peut obtenir ce résultat directement, sans avoir recours au théorème de convergence dominée. En effet

\mu(A_n \Delta A) = \mu(A_n \cup A) - \mu(A_n \cap A) \le \mu(\cup_{p \ge n} A_p) - \mu(\cap_{p \ge n} A_p) \xrightarrow[n \to \infty]{} \mu(\limsup_n A_n) - \mu(\liminf_n A_n) = 0.

Généralisation[modifier | modifier le code]

En théorie de la mesure on peut définir la notion de propriété presque partout, c'est pourquoi on peut énoncer le théorème de convergence dominée de façon plus générale :

Théorème —  Soit \scriptstyle(f_n)_{n\in\N} une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré \scriptstyle(E,\mathcal A,\mu), à valeurs dans ℝ ou ℂ, telle que :

  • la suite de fonctions \scriptstyle(f_n)_{n\in\N} admet une limite presque partout, c'est-à-dire, \scriptstyle\lim_{n\to\infty}f_n(x) existe pour presque tout x ;
  • il existe une fonction intégrable g telle que pour tout entier naturel n,
    |f_n(x)|\le g(x) μ-presque partout.

Alors, il existe une fonction intégrable f telle que fn converge vers f presque partout, et

\lim_{n\to\infty}\int_Ef_n~\mathrm d\mu=\int_Ef~\mathrm d\mu.

Afin de démontrer ce théorème, il suffit de faire en sorte de se ramener au cas précédent en s'affranchissant des parties négligeables.

Remarque :

Dans le cas d'une mesure de probabilité, la première hypothèse peut être modifiée en :

  • la suite de fonctions \scriptstyle(f_n)_{n\in\N} converge en probabilité vers une fonction mesurable f.

Exemple d'application[modifier | modifier le code]

Si  f\in L^1(\R), sa transformée de Fourier \widehat{f}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x){\rm e}^{-{\rm i}xy}{\rm d}x est continue. La vérification de l'hypothèse de domination est immédiate, puisque \vert f(x){\rm e}^{-{\rm i}xy}\vert=\vert f(x)\vert  ; le théorème de convergence dominée permet de voir que \widehat{f}\, est séquentiellement continue, donc continue.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]