Théorème de convergence dominée

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l'intégration de Lebesgue.

Sommaire

[modifier] Le théorème de convergence dominée

Théorème —  Soit (f_n)_{n\in\N} une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré (E,\mathcal A,\mu), à valeurs réelles ou complexes, telle que :

\forall n\in\N,\forall x\in E,|f_n(x)|\le g(x).

Alors f est intégrable et

\lim_{n\to\infty}\int_E|f_n-f|~\mathrm d\mu=0,

ce qui entraîne :

\lim_{n\to\infty}\, \int_E f_n~\mathrm d\mu=\int_E\lim_{n\to\infty}f_n~\mathrm d\mu=\int_Ef~\mathrm d\mu.

[modifier] Généralisation

En théorie de la mesure on peut définir la notion de propriété presque partout, c'est pourquoi on peut énoncer le théorème de convergence dominée de façon plus générale :

Théorème —  Soit \scriptstyle(f_n)_{n\in\N} une suite de fonctions mesurables sur \scriptstyle(E,\mathcal A,\mu), un espace mesuré, à valeurs dans ℝ ou ℂ, telle que :

  • la suite de fonctions \scriptstyle(f_n)_{n\in\N} admet une limite presque partout, c'est-à-dire, \scriptstyle\lim_{n\to\infty}f_n(x) existe pour presque tout x ;
  • il existe une fonction intégrable g telle que pour tout entier naturel n,
|f_n(x)|\le g(x) μ-presque partout.

Alors, il existe une fonction intégrable f telle que f_n converge vers f presque partout, et

\lim_{n\to\infty}\int_Ef_n~\mathrm d\mu=\int_Ef~\mathrm d\mu.

Afin de démontrer ce théorème, il suffit de faire en sorte de se ramener au cas précédent en s'affranchissant des parties négligeables.

Remarque :

Dans le cas d'une mesure de probabilité, la première hypothèse peut être modifiée en :

  • la suite de fonctions \scriptstyle(f_n)_{n\in\N} converge en probabilité vers une fonction mesurable f.

[modifier] Exemple d'application

Si  f\in L^1(\mathbf{R}), sa transformée de Fourier \widehat{f}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ixy}dx est continue. La vérification de l'hypothèse de domination est immédiate, puisque \vert f(x)e^{-ixy}\vert=\vert f(x)\vert ; le théorème de convergence dominée permet de voir que \widehat{f}\, est séquentiellement continue, donc continue.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

[modifier] Liens externes

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