Théorème de convergence dominée

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l'intégration de Lebesgue.

Le théorème de convergence dominée

Théorème —  Soit $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré $(E,\mathcal A,\mu)$, à valeurs réelles ou complexes, telle que :

• la suite de fonctions $(f_n)_{n\in\N}$ converge simplement sur $E$ vers une fonction $f$ ;
• il existe une fonction intégrable $g$ telle que :

$\forall n\in\N,\forall x\in E,|f_n(x)|\le g(x).$

Alors $f$ est intégrable et

$\lim_{n\to\infty}\int_E|f_n-f|~\mathrm d\mu=0,$

ce qui entraîne :

$\lim_{n\to\infty}\, \int_E f_n~\mathrm d\mu=\int_E\lim_{n\to\infty}f_n~\mathrm d\mu=\int_Ef~\mathrm d\mu.$

Démonstration par le le lemme de Fatou

Référence : Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]

Commençons par montrer que $f$ est intégrable :

puisque $f$ est limite simple d'une suite de fonctions mesurables, elle est mesurable et comme pour tout $n$ on a $|f_n(x)|\le g(x)$, par passage à la limite, $|f(x)|\le g(x),\forall x\in E$ donc $f$ est intégrable.

Ensuite, on a $2g-|f_n-f|\ge0$ donc on peut appliquer le lemme de Fatou,

$\begin{align} \int2g~\mathrm d\mu&\le\liminf\int(2g-|f_n-f|)~\mathrm d\mu\\ \ & = \int2g~\mathrm d\mu+\liminf\int-|f_n-f|~\mathrm d\mu\\ \ & = \int2g~\mathrm d\mu-\limsup\int|f_n-f|~\mathrm d\mu\\ \end{align}$

et comme $\int g~\mathrm d\mu< \infty \;$ alors, $\limsup\int|f_n-f|~\mathrm d\mu\le0$

d'où

$\lim\int|f_n-f|~\mathrm d\mu=0$

et donc on en déduit :

$\begin{align} \ & \left|\int(f_n-f)~\mathrm d\mu\right|\le\int|f_n-f|~\mathrm d\mu\\ \Rightarrow & \left|\int f_n~\mathrm d\mu-\int f~\mathrm d\mu\right|\le\int|f_n-f|~\mathrm d\mu\rightarrow0\\ \Rightarrow & \int f_n~\mathrm d\mu\rightarrow\int f~\mathrm d\mu. \end{align}$

$\square$

Démonstration par le théorème de convergence monotone

Posons

$g_n=|f_n-f|,\quad\text{puis}\quad h_n=\sup_{m\geq n}g_m\quad\text{et}\quad k_n=2g-h_n.$

Les $k_n$ forment une suite croissante de fonctions mesurables positives, de limite $2g$. D'après le théorème de convergence monotone on a donc

$\lim\int k_n~\mathrm d\mu=\int 2g~\mathrm d\mu,$

et par conséquent

$\lim\int h_n~\mathrm d\mu=0,\quad\text{puis}\quad\lim\int g_n~\mathrm d\mu=0\quad\text{car}\quad 0\le g_n\le h_n.$

La fin de la preuve est la même que précédemment.

Généralisation

En théorie de la mesure on peut définir la notion de propriété presque partout, c'est pourquoi on peut énoncer le théorème de convergence dominée de façon plus générale :

Théorème —  Soit $\scriptstyle(f_n)_{n\in\N}$ une suite de fonctions mesurables sur $\scriptstyle(E,\mathcal A,\mu)$, un espace mesuré, à valeurs dans ℝ ou ℂ, telle que :

• la suite de fonctions $\scriptstyle(f_n)_{n\in\N}$ admet une limite presque partout, c'est-à-dire, $\scriptstyle\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ existe pour presque tout $x$ ;
• il existe une fonction intégrable $g$ telle que pour tout entier naturel $n$,

$|f_n(x)|\le g(x)$ μ-presque partout.

Alors, il existe une fonction intégrable $f$ telle que $f_n$ converge vers $f$ presque partout, et

$\lim_{n\to\infty}\int_Ef_n~\mathrm d\mu=\int_Ef~\mathrm d\mu.$

Afin de démontrer ce théorème, il suffit de faire en sorte de se ramener au cas précédent en s'affranchissant des parties négligeables.

Démonstration

Soit $N_0$ un ensemble négligeable sur le complémentaire duquel $f_n$ converge simplement et soit, pour tout entier $k>0$, $N_k=\{x:|f_k(x)|>g(x)\}$. Tous ces ensembles sont négligeables, donc en posant $\scriptstyle N=\cup_{k=0}^\infty N_k$, on a toujours $\mu(N)=0$. Il suffit, pour conclure, d'appliquer le théorème de convergence dominée dans le cas simple (sur le complémentaire de $N$), et de compléter la définition de la limite $f$ en la choisissant nulle sur $N$.

Remarque :

Dans le cas d'une mesure de probabilité, la première hypothèse peut être modifiée en :

• la suite de fonctions $\scriptstyle(f_n)_{n\in\N}$ converge en probabilité vers une fonction mesurable $f$.

Exemple d'application

Si $f\in L^1(\mathbf{R})$, sa transformée de Fourier $\widehat{f}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ixy}dx$ est continue. La vérification de l'hypothèse de domination est immédiate, puisque $\vert f(x)e^{-ixy}\vert=\vert f(x)\vert$; le théorème de convergence dominée permet de voir que $\widehat{f}\,$ est séquentiellement continue, donc continue.

Voir aussi

Articles connexes

• Intégrale paramétrique
• Théorème d'interversion série-intégrale
• Théorème de convergence monotone

Liens externes

• Théorème de la convergence dominée de Lebesgue. Corollaires sur les-mathematiques.net
• Le Théorème de la convergence dominée pour les fonctions Riemann-intégrables, J.-F. Burnol, notes d'un cours de DEUG à l'université de Lille