Théorème de convergence dominée

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l'intégration de Lebesgue.

Sommaire

[modifier] Le théorème de convergence dominée

Théorème —  Soit (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré (E,\mathcal A,\mu), à valeurs dans \mathbb R ou \mathbb C telle que :

  • La suite de fonctions (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} converge simplement vers une fonction f \; sur E.
  • Il existe une fonction g \in L^1 telle que :
\forall n \in \mathbb N, \forall x \in E, |f_{n}(x)|\leq g(x)

Alors f \in L^1 et

\lim_{n \to \infty} \int_E |f_n-f|d\mu= 0

ce qui entraîne :

\lim_{n \to \infty}\, \int_{E}{\, f_{n}d\mu}= \int_{E}{\, \lim_{n \to \infty}\, f_{n}d\mu} =  \int_{E}{\, f}d\mu

La démonstration de ce théorème repose principalement sur le lemme de Fatou.

[modifier] Généralisation

En théorie de la mesure on peut définir la notion de propriété presque partout, c'est pourquoi on peut énoncer le théorème de convergence dominée de façon plus générale :

Théorème —  Soit (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} une suite de fonctions mesurables sur (E,\mathcal A,\mu), un espace mesuré, à valeurs dans \mathbb R ou \mathbb C telle que :

  • La suite de fonctions (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} admet une limite presque partout , c'est-à-dire, \lim_{n \to \infty} f_{n}(x) existe presque partout x\;
  • Il existe une fonction g \in L^1 telle que :
\forall n \in \mathbb N, |f_{n}(x)|\leq g(x) μ- presque partout.

Alors

\lim_{n \to \infty} \int_{E}{ f_{n} \ d\mu}= \int_{E} \lim_{n \to \infty} f_{n} \ d\mu

Afin de démontrer ce théorème, il suffit de faire en sorte de se ramener au cas précédent en s'affranchissant des parties négligeables.

Remarque :

Dans le cas d'une mesure de probabilité la première hypothèse peut être modifiée en :

  • La suite de fonctions (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} converge en probabilité vers une fonction mesurable f.

[modifier] Exemple d'application

Si  f\in L^1(\mathbf{R}), sa transformée de Fourier \widehat{f}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ixy}dx est continue La vérification de l'hypothèse de domination est immédiate, puisque \vert f(x)e^{-ixy}\vert=\vert f(x)\vert ; le théorème de convergence dominée permet de voir que \widehat{f}\, est séquentiellement continue, donc continue.

[modifier] Voir aussi

Créer un livre