Peigne de Dirac

La fonction peigne de Dirac est une série infinie de fonctions de Dirac espacées de T.

En mathématiques, la fonction peigne de Dirac, ou fonction shah (d'après la lettre cyrillique Ш), est une somme de fonctions de Dirac espacées de T :

$\delta_T (t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - k T)$

Cette fonction est particulièrement utile dans les problèmes d'échantillonnage, remplacement d'une fonction continue par une suite de valeurs de la fonction séparées par un pas de temps T (voir Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon).

Séries de Fourier

Cette fonction est T-périodique, on peut donc calculer la série de Fourier associée. La série de Fourier complexe d'une telle fonction s'écrit :

$\delta_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i 2 \pi n t/T} \$

où les coefficients de Fourier c_n sont

$c_n\,$	$= \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} \delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \quad ( -\infty < t_0 < +\infty ) \$
	$= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \$
	$= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \$
	$= \frac{1}{T} e^{-i 2 \pi n \, 0/T} \$
	$= \frac{1}{T} \$

La série s'écrit donc :

$\delta_T(t) = \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i 2 \pi n t/T}$.

En oubliant toute rigueur, on peut constater que les termes complexes de la série sont représentés dans le plan complexe par des vecteurs unités en rotation. Si t est un multiple de la période T, on obtient une somme d'une infinité de termes égaux à un ; sinon les vecteurs tournent indéfiniment autour du zéro en donnant une somme nulle.

Propriété fondamentale du peigne de Dirac

La propriété fondamentale de la fonction de Dirac

$\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \delta(t-t_0) dt = x(t_0)$

conduit à la propriété fondamentale du peigne

$\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \delta_T(t) dt = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT)$

Le calcul approché d'une intégrale par la méthode des rectangles est équivalent au calcul de l'intégrale de la fonction multipliée par un peigne de Dirac.

Il faut préciser que la formule ci-dessus n'est pas correcte en termes de dimensions dans les problèmes d'échantillonnage où la variable t est généralement le temps. Pour cette raison le peigne défini ci-dessus est alors multiplié par T.

Transformée de Fourier

La TF du peigne de dirac en temps est également un peigne de dirac, en fréquence:

$TF(\delta_T (t)) = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(f - \frac{k}{T})$

ce qui se simplifie en:

$TF(\delta_T (t)) = \frac{1}{T} \delta_{1/T} (f)$