Peigne de Dirac

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La distribution peigne de Dirac est une série infinie de distributions de Dirac espacées de T.

En mathématiques, la distribution "peigne de Dirac", ou distribution shah (d'après la lettre cyrillique Ш), est une somme de distributions de Dirac espacées de T :

\mathrm{III}_T\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta_{k T}.

Cette distribution périodique est particulièrement utile dans les problèmes d'échantillonnage, remplacement d'une fonction continue par une suite de valeurs de la fonction séparées par un pas de temps T (voir Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon).

Séries de Fourier[modifier | modifier le code]

Cette distribution est T-périodique ; on peut donc la développer en série de Fourier :

\mathrm{III}_T=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n{\rm e}^{{\rm i}2 \pi n\cdot/T}

où les coefficients de Fourier cn sont (t0 désignant un nombre réel arbitraire) :

\begin{align}c_n&=\frac1T\int_{t_0}^{t_0 + T}{\rm e}^{-{\rm i}2 \pi n t/T}\, {\rm d}\mathrm{III}_T(t)\\
&=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}{\rm e}^{-{\rm i}2 \pi n t/T}\, {\rm d}\mathrm{III}_T(t)\\
&=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}{\rm e}^{-{\rm i}2 \pi n t/T}\, {\rm d}\delta_0(t)\\
&=\frac1T{\rm e}^{-{\rm i}2 \pi n \, 0/T}\\
&=\frac1T.\end{align}

La série s'écrit donc :

\mathrm{III}_T=\frac1T\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\rm e}^{{\rm i}2\pi n\cdot/T}.

En oubliant toute rigueur, on peut constater que les termes complexes de la série sont représentés dans le plan complexe par des vecteurs unités en rotation. Si t est un multiple de la période T, on obtient une somme d'une infinité de termes égaux à 1 ; sinon, les vecteurs tournent indéfiniment autour du zéro en donnant une somme nulle.[pas clair][réf. nécessaire]

Propriété fondamentale du peigne de Dirac[modifier | modifier le code]

La propriété fondamentale de la distribution de Dirac

\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\, {\rm d}\delta_{t_0}(t)= x(t_0)

conduit à la propriété fondamentale du peigne

\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\, {\rm d}\mathrm{III}_T(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(kT).

Le calcul approché d'une intégrale par la méthode des rectangles est équivalent au calcul de l'intégrale de la fonction multipliée par un peigne de Dirac.

Il faut préciser que la formule ci-dessus n'est pas correcte en termes de dimensions dans les problèmes d'échantillonnage où la variable t est généralement le temps. Pour cette raison, le peigne défini ci-dessus est alors multiplié par la largeur ''\tau'' de l'impulsion d'échantillonnage.


Le signal f_\tau(t) délivré en sortie de l'échantillonneur est une suite d'impulsions d'amplitude f(nT) et de largeur \tau (avec \tau \ll T).

f_\tau(t) peut alors s'écrire :

f_\tau(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \tau.f(nT).\delta(t - nT)

L'échantillonneur de période T ainsi réalisé répond, au facteur \tau près, à la définition de l'opérateur mathématique qui, à toute fonction f(t), fait correspondre une fonction f *(t) définie par :

f^*(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(nT).\delta(t - nT),

expression dans laquelle \delta(t - nT) désigne une impulsion de Dirac apparaissant à l'instant nT.

Ainsi, le signal généré en sortie de l'échantillonneur est : f_\tau(t) = \tau.f^*(t).

Transformée de Fourier[modifier | modifier le code]

La transformée de Fourier du peigne de Dirac en temps est également un peigne de Dirac, en fréquence :

TF(\mathrm{III}_T)=\frac1T\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta_{k/T}=\frac1T\mathrm{III}_{1/T}.


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dirac comb » (voir la liste des auteurs)