Peigne de Dirac

En mathématiques, la distribution peigne de Dirac, ou distribution cha (d'après la lettre cyrillique Ш), est une somme de distributions de Dirac espacées de T :

\mathrm {III} _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta _{kT}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT).

Cette distribution périodique est particulièrement utile dans les problèmes d'échantillonnage, remplacement d'une fonction continue par une suite de valeurs de la fonction séparées par un pas de temps T (voir Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon).

Séries de Fourier[modifier | modifier le code]

Cette distribution est T-périodique et tempérée, comme dérivée d'une fonction constante par morceaux ; on peut donc la développer en série de Fourier^[1] :

{\mathrm {III} _{T}}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\rm {e}}^{{\rm {i}}2\pi nt/T}

.

Il faut cependant comprendre cette série comme convergente au sens des distributions ; en effet, le terme général ne converge pas vers 0.

Propriété fondamentale du peigne de Dirac[modifier | modifier le code]

La propriété fondamentale de la distribution de Dirac

\int _{-\infty }^{+\infty }x(t)\,\delta _{t_{0}}(t)\,{\rm {dt}}=x(t_{0})

conduit à la propriété fondamentale du peigne

\int _{-\infty }^{+\infty }x(t)\,\mathrm {III} _{T}(t)\,{\rm {dt}}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x(kT).

Le calcul approché d'une intégrale par la méthode des rectangles est équivalent au calcul de l'intégrale de la fonction multipliée par un peigne de Dirac.

Il faut préciser que la formule ci-dessus n'est pas correcte en termes de dimensions dans les problèmes d'échantillonnage où la variable $t$ est généralement le temps. Pour cette raison, le peigne défini ci-dessus est alors multiplié par la largeur $τ$ de l'impulsion d'échantillonnage.

Le signal $f_{\tau }(t)$ délivré en sortie de l'échantillonneur est une suite d'impulsions d'amplitude $f (nT)$ et de largeur $τ$ (avec $\tau \ll T$ ).

$f_{\tau }(t)$ peut alors s'écrire :

f_{\tau }(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\tau \,f(nT)\,\delta (t-nT)

L'échantillonneur de période $T$ ainsi réalisé répond, au facteur τ près, à la définition de l'opérateur mathématique qui, à toute fonction $f (t)$ , fait correspondre une fonction $f * (t)$ définie par :

f^{*}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(nT)\,\delta (t-nT),

expression dans laquelle $\delta (t-nT)$ désigne une impulsion de Dirac apparaissant à l'instant $nT$ .

Ainsi, le signal généré en sortie de l'échantillonneur est : $f_{\tau }(t)=\tau \,f^{*}(t).$

Transformée de Fourier[modifier | modifier le code]

Par l'utilisation de la formule sommatoire de Poisson, on peut montrer que la transformée de Fourier du peigne de Dirac en temps est également un peigne de Dirac, en fréquence :