Transformation de Mellin

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En mathématiques, la transformation de Mellin est une transformation intégrale qui peut être considérée comme la version multiplicative (en) de la transformation de Laplace bilatérale. Cette transformation intégrale est fortement reliée à la théorie des séries de Dirichlet, et est souvent utilisée en théorie des nombres et dans la théorie des développements asymptotiques ; elle est également fortement reliée à la transformation de Laplace, à la transformation de Fourier, à la théorie de la fonction gamma et aux fonctions spéciales.

La transformation de Mellin d'une fonction f est

\left\{\mathcal{M}f\right\}(s) = \varphi(s)=\int_0^{\infty} x^{s-1} f(x) dx.

La transformation inverse est

\left\{\mathcal{M}^{-1}\varphi\right\}(x) = f(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} x^{-s} \varphi(s) ds.

La notation suppose que c'est une intégrale curviligne s'appliquant sur une droite verticale dans le plan complexe. Les conditions sous lesquelles cette inversion est valide sont données dans le théorème d'inversion de Mellin (en).

La transformation a été nommée ainsi en l'honneur du mathématicien finlandais Hjalmar Mellin (en).

Relations avec les autres transformations[modifier | modifier le code]

La transformation de Laplace bilatérale peut être définie en termes de transformation de Mellin par

 \left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x) \right\}(s)

et inversement, nous pouvons obtenir la transformation de Mellin à partir de la transformation de Laplace bilatérale par

\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s)

La transformation de Mellin peut être vue comme une intégration utilisant un noyau xs qui respecte la mesure de Haar multiplicative, \frac{dx}{x}, qui est invariante sous la dilatation x \mapsto ax, c'est-à-dire \frac{d(ax)}{ax} = \frac{dx}{x}; la transformation de Laplace bilatérale intègre en respectant la mesure de Haar additive dx\,, qui est un invariant de translation, c'est-à-dire d(x+a) = dx\,.

Nous pouvons aussi définir la transformation de Fourier en termes de transformation de Mellin et vice-versa ; si nous définissons la transformation de Fourier comme ci-dessus, alors

\left\{\mathcal{F} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f\right\}(is) 
= \left\{\mathcal{M} f(-\ln x)\right\}(is)

Nous pouvons aussi inverser le processus et obtenir

\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} 
f(e^{-x})\right\}(s) = \left\{\mathcal{F} f(e^{-x})\right\}(-is)

La transformation de Mellin est aussi reliée aux séries de Newton (en) ou aux transformations binomiales avec la fonction génératrice de la loi de Poisson, au moyen du cycle de Poisson-Mellin-Newton (en).

Intégrale de Cahen-Mellin[modifier | modifier le code]

Pour c>0, \Re(y)>0 et y^{-s} sur la branche principale, on a

e^{-y}= \frac{1}{2\pi i}
\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \Gamma(s) y^{-s}\;ds

\Gamma(s) est la fonction gamma d'Euler. Cette intégrale est connue sous le nom d'intégrale de Cahen-Mellin[1].

Exemples[modifier | modifier le code]

Application aux calculs de sommes de réseau[modifier | modifier le code]

Dans la littérature, on utilise souvent les transformées de Mellin pour le calcul analytique de toute une variété de sommes de réseaux, qui s'expriment sous forme de diverses fonctions spéciales comme les fonctions thêta de Jacobi ou la fonction zêta de Riemann[2].

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes », Acta Mathematica, vol. 41, 1916, p. 119-196 (voir les notes dans cet article pour plus de références sur le travail de Cahen et Mellin, dont la thèse de Cahen)
  2. (en) M. L. Glasser, « The Evaluation Of Lattice Sums, I. Analytic Procedures », dans J. of Math. and Phys. 14, 3, 1973

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mellin transform » (voir la liste des auteurs)
  • (en) R. B. Paris et D. Kaminsky, Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001
  • (en) A. D. Polyanin et A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, Boca Raton, CRC Press, 1998 (ISBN 0-8493-2876-4)
  • (en) Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations