Intégrabilité

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En mathématiques, l'intégrabilité d'une fonction est sa capacité à pouvoir être intégrée, c'est-à-dire à avoir une intégrale définie. Dans le cas contraire, on dit parfois que son intégrale est divergente. C'est un abus de langage, puisque quelque chose qui n'est pas défini (l'intégrale) ne saurait avoir de propriété autre que d'être indéfini.

Intégrabilité au sens de Riemann

Article détaillé : Intégrale de Riemann.

Cas des fonctions positives

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et à valeurs réelles positives. On dit que $f$ est intégrable sur $I$ s'il existe un réel $M$ tel que pour tout segment $[a,b]$ inclus dans $I$

$\int_a^b f(x)~\mathrm dx\le M.$

On appelle alors intégrale de $f$ sur $I$ la borne supérieure de ces intégrales.

Cas des fonctions quelconques

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et à valeurs réelles ou complexes. On dit que $f$ est intégrable sur $I$ si $|f|$ est intégrable sur $I$.

Intégrabilité au sens de Lebesgue

Article détaillé : Intégrale de Lebesgue.

Soien $\scriptstyle(X,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré et $f$ une fonction sur $X$, à valeurs dans ℝ ou ℂ et $\scriptstyle\mathcal A$-mesurable. On dit que $f$ est intégrable sur $X$ si

$\int_X|f(x)|~\mathrm d\mu(x)<+\infty.$

Voir aussi

• Espace L¹
• Intégrale
• Intégrale impropre