Densité spectrale de puissance

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On définit la densité spectrale de puissance (DSP en abrégé, Power Spectral Density ou PSD en anglais) comme étant le carré du module de la transformée de Fourier, divisée par le temps d'intégration T (ou, plus rigoureusement, la limite quand T tend vers l'infini de l'espérance mathématique du carré du module de la transformée de Fourier du signal - on parle alors de densité spectrale de puissance moyenne). Ainsi, si x est un signal et X sa transformée de Fourier, la densité spectrale de puissance vaut \Gamma_x=|X|^2/T .

Elle représente la répartition de la puissance d'un signal suivant les fréquences.

Elle sert à caractériser les signaux aléatoires gaussiens stationnaires et ergodiques et se révèle indispensable à la quantification des bruits électroniques.

Pour de plus amples détails sur la densité spectrale de puissance et la densité spectrale d'énergie (où l'on ne divise pas par le temps d'intégration et qui n'existe que pour les signaux de carré sommable), voir l'article densité spectrale.

Densité spectrale de puissance et autocorrélation[modifier | modifier le code]

Calculer la densité spectrale de puissance à l'aide de l'autocorrélation permet d'accéder à une estimation parfaite de celle-ci, malgré le fait que le calcul de l'autocorrélation nécessite beaucoup de ressources. La définition de la fonction d'autocorrélation temporelle moyenne d’un signal x à temps continu est  :

\gamma(\tau)=\lim_{T \to \infty}  \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T}x^{*}(t)x(t+\tau) \, dt

* est la conjugaison complexe.

Prise au point \tau, cette fonction mesure en quelque sorte la manière dont les structures que l'on peut voir dans un signal se répètent sur des échelles de temps de l’ordre de \tau.

Les propriétés de la transformée de Fourier impliquent que la densité spectrale est la transformée de Fourier de l'autocorrélation. C'est le Théorème de Wiener–Khintchine :

\mathcal{F}[\gamma]=\mathcal{F}[x] \times \mathcal{F}[x^*(-)]=X \cdot X^*=\Gamma

De par l'hypothèse d'ergodicité, on assimile l'autocovariance du signal (propriété statistique) à son autocorrélation (propriété temporelle). Cette hypothèse n'est pas forcément vérifiée en pratique, en particulier lorsque le processus étudié n'est pas stationnaire (pour quelques précisions voir Processus continu et Processus stationnaire).

Calcul détaillé[modifier | modifier le code]

Calculons \Gamma(\omega) la transformée de Fourier de l'autocorrélation :

\Gamma(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}x^*(t)x(t+\tau)e^{-\jmath\omega\tau}\, dt \, d\tau, '\jmath' désignant le nombre complexe de carré égal à -1.

Cette expression peut se mettre sous la forme :

\Gamma(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{+\infty}x(t+\tau)e^{-\jmath\omega(t+\tau)}d\tau\right)x^*(t)e^{+\jmath\omega t} \, dt '

On effectue dans l'intégrale centrale le changement de variable u=t+τ et il vient :

\Gamma(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{+\infty}x(u)e^{-\jmath\omega u}du\right)x^*(t)e^{+\jmath\omega t} \, dt

Soit encore :

\Gamma(\omega)=X(\omega)\int_{-\infty}^{+\infty}x^*(t)e^{+\jmath\omega t} \, dt  (c)

On effectue le changement de variable u=-t et on obtient :

\Gamma(\omega)=X(\omega)\int_{-\infty}^{+\infty}x^{*}(-u)e^{-\jmath\omega u} \, du

On reconnaît, dans le deuxième terme, la transformée de Fourier de x*(-t). Or la transformée de Fourier de x* vaut X*(-ν), et la transformée de Fourier de x(-t) vaut X(-ν). Le deuxième terme vaut donc X*(jω), donc Γ(jω)=X(jω)X*(jω)=|X(jω)|2 : la densité spectrale de puissance est aussi la transformée de Fourier de l'autocorrélation.

Voir Analyse spectrale pour des considérations élémentaires

Estimation de la densité spectrale de Puissance[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Estimation spectrale.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  1. Le spectre d'un processus à valeurs réelles est symétrique[1] : S(-f)=S(f).
  2. La DSP est continue et dérivable sur [-1/2, +1/2].
  3. La dérivée est nulle à la fréquence nulle (f=0).
  4. On peut retrouver l'autocorrélation du signal par transformée de Fourier : la DSP est la transformée de Fourier de l'autocorrélation.
  5. On peut calculer la variance du signal. En particulier pour un signal 1D :
    \text{Var}(X_t)=\gamma_0=2\int_0^{1/2}S(\omega)~\mathrm d\omega.

Utilisations[modifier | modifier le code]

Traitement d'images[modifier | modifier le code]

En traitement d'images, on traite souvent avec des signaux aléatoires. La densité spectrale de puissance nous permet de caractériser les différents bruits présents sur l'image et d'estimer leur puissance. La suppression du bruit est impossible mais les méthodes de filtrage permettent d'en diminuer les effets.

La DSP qui est utilisée représente des fréquences spatiales et non temporelles et elle est à 2 dimensions. Elle présente toujours les mêmes propriétés que la DSP 1D sous certaines adaptations.

Télécommunications[modifier | modifier le code]

En télécommunications, on doit souvent traiter des signaux aléatoires. Cependant, on ne peut calculer la transformée de Fourier d’un signal non entièrement connu. En revanche, on peut calculer l’autocorrélation d’un signal aléatoire connu par ses propriétés statistiques. La densité spectrale de puissance est donc, souvent, utilisée en télécommunications.

Considérons, par exemple, le « bruit blanc ». Le bruit est un exemple type de signal aléatoire. La valeur du bruit, à un instant donné, n'est absolument pas corrélée avec la valeur du bruit aux autres instants. Cela se traduit par une fonction d'autocorrélation du bruit égale à une impulsion de Dirac (c'est-à-dire égale à l'infini en 0, et 0 ailleurs). La transformée de Fourier d'une impulsion de Dirac est la constante unité (le module vaut 1 quelle que soit la fréquence). On définit alors, par « bruit blanc », un bruit dont la densité spectrale est constante suivant la fréquence. En télécommunications, on considère souvent les bruits comme étant blancs, tout du moins dans les bandes passantes des systèmes étudiés.

Référence[modifier | modifier le code]

  1. (en) Hans von Storch (en) et F. W. Zwiers, Statistical analysis in climate research, CUP,‎ 2001 (ISBN 0521012309)