Nombre premier équilibré

En mathématiques, un nombre premier équilibré est un nombre premier qui est égal à la moyenne arithmétique des nombres premiers les plus proches au-dessus et en dessous. Ou, exprimé de manière algébrique, pour un nombre premier donné $p_{n}$, où n est son index dans l'ensemble ordonné des nombres premiers, $p_{n}={{p_{n-1}+p_{n+1}} \over 2}$.

Liste de nombres premiers équilibrés

Les premiers nombres premiers équilibrés sont

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1 103, etc. (voir suite A006562 de l'OEIS).

Par exemple, 53 est le seizième nombre premier ; le quinzième et le dix-septième nombres premiers, 47 et 59, ont pour somme 106, qui a pour moitié 53, ainsi 53 est un nombre premier équilibré.

Quand 1 était considéré comme un nombre premier, 2 aurait pu correspondre au premier nombre premier équilibré puisque $2={(1+3) \over 2}$.

Propriétés des nombres premiers équilibrés

Il a été conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers équilibrés.

Trois nombres premiers consécutifs dans une progression arithmétique sont quelquefois appelés une CPAP-3 (en anglais). Un nombre premier équilibré est par définition le deuxième nombre premier dans une CPAP-3. En 2014, la plus grande CPAP-3 connue possède 10 546 nombres trouvés par David Broadhurst :

$p_{n}=1213266377\times 2^{35000}+2429,p_{n-1}=p_{n}-2430,p_{n+1}=p_{n}+2430$
La valeur de n n'est pas connue.

Voir aussi

Lorsqu'un nombre premier est plus grand que la moyenne arithmétique de ses deux voisins premiers, il est appelé un nombre premier fort (en). Lorsqu'il est plus petit, il est appelé un nombre premier faible (en).

Note et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Balanced prime » (voir la liste des auteurs).