Intervalle (mathématiques)

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En mathématiques, un intervalle (du latin intervallum) est étymologiquement un ensemble compris entre deux valeurs. Cette notion première s'est ensuite développée jusqu'à aboutir aux définitions suivantes.

Intervalles de ℝ[modifier | modifier le code]

Inventaire[modifier | modifier le code]

Initialement, on appelle intervalle réel un ensemble de nombres délimité par deux nombres réels constituant une borne inférieure et une borne supérieure. Un intervalle contient tous les nombres réels compris entre ces deux bornes.

Cette définition regroupe les intervalles des types suivants (avec (a,b)\in\R^2,\ a<b) :

  • \{x\in\R \mid a < x < b \} = \;]a,b[ (ouvert et non fermé)
  • \{x\in\R \mid  a \leq x \leq b \} = [a,b] (fermé et non ouvert)
  • \{x\in\R \mid a < x \leq b \} = \;]a,b] (semi-ouvert à gauche, semi-fermé à droite)
  • \{x\in\R \mid a \leq x < b \} = [a,b[ (semi-fermé à gauche, semi-ouvert à droite)

Les intervalles du premier type sont appelés intervalles ouverts ; les seconds intervalles fermés, et les deux derniers intervalles semi-ouverts.

Une autre notation (d'origine anglaise mais très répandue également) utilise, pour les intervalles (semi-)ouverts, une parenthèse au lieu d'un crochet : les intervalles ci-dessus sont alors notés respectivement

(a,b),\qquad[a,b]\qquad(a,b],\qquad[a,b).

Ces deux notations sont décrites dans la norme ISO 31 (pour les mathématiques : ISO 31-11 (en)). À ces intervalles se sont ajoutés les ensembles des réels inférieurs à une valeur, ou supérieurs à une valeur. On ajoute donc les intervalles de ce type :

  • \left\{x \in\R \mid x < a\right\} = \;]{-\infty},a[\; = (-\infty,a) (ouvert et non fermé)
  • \left\{x \in\R \mid x \leq a\right\} = \;]{-\infty},a] = (-\infty,a] (fermé et non ouvert)
  • \left\{x \in\R \mid x > a \right\} = \;]a,+\infty[\; = (a,+\infty) (ouvert et non fermé)
  • \left\{x \in\R \mid x \geq a\right\} = [a,+\infty[\; = [a,+\infty) (fermé et non ouvert)

Auxquels se sont ajoutés les intervalles :

  • L'ensemble vide \varnothing (à la fois ouvert et fermé)
  • \left\{a\right\} = [a,a] (fermé et non ouvert)
  • \R= \;]{-\infty},+\infty[\; = (-\infty,+\infty) (à la fois ouvert et fermé)

En Analyse on parle d'intervalle réel "non trivial" pour désigner un intervalle non vide et non réduit à un seul point. Intuitivement, un tel intervalle est constitué d'une infinité non dénombrable de réels "juxtaposés", ce qui permet d'aborder les notions de limites, continuité ou dérivabilité locales.

Définition générale[modifier | modifier le code]

Un intervalle de ℝ est une partie convexe de ℝ, c'est-à-dire un ensemble I de réels vérifiant la propriété suivante :

\forall(x,y)\in I^2,\ (x\le y\Rightarrow[x,y]\subset I)

autrement dit :

\forall(x,y)\in I^2,\ \forall z\in\R,\ (x\le z\le y\Rightarrow z\in I)\ .

Union et intersection[modifier | modifier le code]

Une intersection d'intervalles de ℝ est toujours un intervalle. Par exemple,

  • [-3,5[\; \cap \;]{-\infty},2] = [-3,2]
  • [-3,5[\; \cap \;[2,+ \infty[\; = [2,5[
  • [3,5[\; \cap \;]{-\infty},2] = \varnothing

Une union d'intervalles de ℝ n'est pas toujours un intervalle. Ce sera un intervalle si l'ensemble obtenu reste convexe (intuitivement s'il n'y a pas de « trou »). Dans le cas d'une union de deux intervalles, il suffit que l'intersection de ces intervalles soit non vide pour que leur réunion soit convexe. Par exemple,

  • ]{-\infty},2]\; \cup [-3,5[\;= \;]{-\infty},5[
  • [-3,5[\; \cup \;[2,+\infty[\; = [-3,+\infty[
  • [3,5[\; \cup \;]{-\infty},2] = \;]{-\infty},2] \cup [3,5[ (on préfère ranger les intervalles par ordre croissant de leurs bornes).

Cette union ne forme pas un intervalle étant donné qu'il y a un trou entre 2 et 3.

Connexité et compacité[modifier | modifier le code]

Les parties connexes de ℝ (pour la topologie usuelle) sont exactement les intervalles.

Les intervalles fermés bornés, c'est-à-dire contenant leurs bornes, sont appelés segments. Ce sont les seuls intervalles réels compacts. Ce résultat est un cas particulier du théorème de Borel-Lebesgue.

Décomposition des ouverts de ℝ[modifier | modifier le code]

On montre que tout ouvert de ℝ peut s'écrire comme une réunion dénombrable d'intervalles ouverts deux à deux disjoints.

En analyse et en topologie[modifier | modifier le code]

Les intervalles sont les parties de ℝ les plus intéressantes dès que l'on parle de continuité et de dérivabilité.

On trouve alors (entre autres) pour les fonctions réelles d'une variable réelle, des propriétés telles que :

  • L'image par une fonction continue d'un intervalle de ℝ est un intervalle de ℝ (théorème des valeurs intermédiaires).
  • Une fonction dérivable et à dérivée identiquement nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle.
  • Une fonction dérivable est croissante (au sens large) sur un intervalle non trivial si et seulement si sa dérivée reste positive (au sens large) sur cet intervalle[1].

Remarque : La fonction \ f : \R^* \to \R définie par \ f(x) = \frac{|x|}{x} est dérivable sur \ \R^*, et sa dérivée est identiquement nulle ; mais \ f n'est pas constante. Ceci tient au fait que ℝ* = ℝ\{0} n'est pas un intervalle.

Généralisation[modifier | modifier le code]

Dans tout ensemble totalement ordonné (S, ≤), on peut[2] définir les intervalles, de la même façon que dans ℝ, comme les ensembles convexes (au sens de la définition générale énoncée plus haut). On retrouve parmi eux les types suivants (mais ce ne sont plus les seuls) :

  • \left\{z \in S \mid  a < z < b \right\}, \left\{z \in S \mid  a \leq z \leq b \right\}, \left\{z \in S \mid  a < z \leq b \right\}, \left\{z \in S \mid  a \leq z < b \right\}
  • \left\{z \in S \mid  z < a\right\}, \left\{z \in S \mid  z \leq a\right\}, \left\{z \in S \mid  z > a \right\}, \left\{z \in S \mid z \geq a\right\}
  • \varnothing, \quad S

Les quatre premières notations généralisent respectivement l'intervalle ouvert, l'intervalle fermé, l'intervalle semi-ouvert à gauche et l'intervalle semi-ouvert à droite. La cinquième notation est un cas particulier de section commençante ouverte[3] ; les trois suivantes sont la section commençante fermée, la section finissante ouverte[4] et la section finissante fermée déterminées par a, respectivement.

Il est donc tout à fait possible de définir dans ℤ l'intervalle des entiers relatifs compris entre –5 et 3 mais il serait dangereux de le noter [–5, 3] sans avertissement préalable à cause du risque de confusion avec la notation des intervalles de ℝ. On utilise parfois la notation avec des crochets blancs[5] ⟦–5, 3⟧.

Une intersection d'intervalles est encore un intervalle.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pour plus de détails, voir le § Monotonie et signe de la dérivée de l'article sur les fonctions monotones.
  2. D. Guinin et B. Joppin, Algèbre et géométrie MPSI, Bréal, 2003 (ISBN 9782749502182), Définition 27 p. 176.
  3. Ce n'est qu'un cas particulier, car il peut exister des sections commençantes ouvertes dont a n'est pas la borne supérieure - c'est notamment le cas des coupures de Dedekind qui définissent un nombre réel et n'ont pas nécessairement de borne supérieure dans .
  4. Remarque analogue : une section finissante n'a pas nécessairement une borne inférieure.
  5. J.M. Arnaudiès et H. Fraysse, Cours de mathématiques-1 Algèbre, Dunod, 1987 (ISBN 2040164502), p. 52.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Arithmétique des intervalles