Répunit

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Dans le domaine des mathématiques récréatives, un répunit est un nombre entier dont l'écriture en base 10 ne comporte que des chiffres 1. Ce terme est une contraction de l'expression anglaise repeated unit (répétition de l'unité), utilisée pour la première fois en 1966 par Albert H. Beiler.

En français ont été proposées les traductions « nombre polymonadique », ou « multi-as », mais c'est l'anglicisme qui reste le plus utilisé.

Définition[modifier | modifier le code]

Les répunits sont définis en base 10 par :

R_n= \frac{10^n-1}{9}\qquad\mbox{pour }n\ge1.

Plus généralement, en base b, les répunits sont donnés par

R_n^{(b)}=\frac{b^n-1}{b-1}=\sum_{k=0}^{n-1}b^k\qquad\mbox{pour }n\ge1.

Ainsi, le nombre R_n^{(b)} s'écrit comme la juxtaposition de n chiffres 1

Exemples[modifier | modifier le code]

Les premiers termes de la suite des répunits sont :

1, 11, 111, 1 111, 11 111, 111 111, 1 111 111 (suite A002275 de l'Encyclopédie électronique des suites entières).

Les répunits en base 2 (répunits binaires) sont les valeurs de la suite M_n=2^n-1\,.

Les nombres de Mersenne (M_n=2^p-1\, avec p un nombre premier) sont des répunits binaires.

Propriété[modifier | modifier le code]

  • Les repunits sont des nombres de Zuckerman en toute base.

Répunits premiers[modifier | modifier le code]

Historiquement, c'est dans le cadre des mathématiques récréatives qu'a été entreprise l'étude des répunits, en tentant notamment de les factoriser. Le projet Cunningham se propose de répertorier les factorisations des répunits en base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, et 12.

On montre aisément que si n est divisible par a, alors Rn est divisible par Ra.

Par exemple, 9 est divisible par 3, et R9 est bien divisible par R3 :

111 111 111 = 111 · 1 001 001.

Plus généralement :

R_n^{(b)} \wedge R_l^{(b)} = R_{n\wedge l}^{(b)}

Ainsi, Rn n'est premier que si n est premier. Mais ce n'est pas une condition suffisante, comme l'illustre ce contre-exemple :

3 est premier mais R3 = 111 = 3 · 37 est composé[1]

Les répunits premiers sont assez rares (la probabilité qu'un nombre soit premier est a priori égale à l'inverse de son logarithme, donc proportionnelle à l'inverse de son nombre de chiffres ; voir théorème des nombres premiers). On conjecture cependant qu'il en existe une infinité.

Ce qu'il faut noter, par rapport au petit théorème de Fermat, lorsque p est premier : p divise R_p^{(b)}-1 donc b^{R_p^{(b)}-1}-1 est divisible par R_{p}^{(b)}

b^{R_p^{(b)}} \equiv b \pmod{R_p^{(b)}} lorsque p est premier


En base 10, Rn est premier pour n = 2, 19, 23, 317, 1031,... (suite A004023 de l'Encyclopédie électronique des suites entières). R49081[2], R86453[3], R109297[4] et R270343[5] sont des nombres premiers probables.

  • Les répunits premiers constituent un sous-ensemble des nombres premiers permutables, c'est-à-dire des nombres premiers qui demeurent premiers après toute permutation de leurs chiffres.
  • Étant donné un entier n que ne divisent ni 2 ni p, il existe un répunit de base 2p multiple de n[6].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Explications complémentaires sur ce site
  2. (en) Harvey Dubner, « New Probable prime Repunit, R(49081) », Number Theory List,‎ 9 septembre 1999 (consulté le 9 août 2007)
  3. (en) Lew Baxter, « R86453 is a New Probable Prime Repunit », =Number Theory List,‎ 26 octobre 2000 (consulté le 9 août 2007)
  4. (en) Harvey Dubner, « New Probable Prime Repunit, R(109297) », =Number Theory List,‎ 3 avril 2007 (consulté le 9 août 2007)
  5. (en) Maksym Voznyy, « New Probable Prime Repunit R(270343) », =Number Theory List,‎ 15 juillet 2007 (consulté le 9 août 2007)
  6. (en) Richard Rothwell, « A possibly interesting mathematical proof », PmWiki,‎ 7 août 2005 (consulté le 9 août 2007)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Albert Beiler, Recreations in the theory of numbers. ISBN 0486210960. Chapitre... 11.
  • Paulo Ribenboim, The New Book Of Prime Number Records. ISBN 0387944575.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]