Répunit

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Dans le domaine des mathématiques récréatives, un répunit est un entier naturel dont l'écriture en base dix ne comporte que des chiffres 1. Ce terme est une contraction de l'expression anglaise repeated unit (répétition de l'unité), utilisée pour la première fois en 1966[Informations douteuses] [?] par Albert H. Beiler[1].

En français ont été proposées les traductions « nombre polymonadique », ou « multi-as », mais c'est l'anglicisme qui reste le plus utilisé.

Définition[modifier | modifier le code]

Les répunits sont définis en base dix par :

Plus généralement, en base b, les répunits sont donnés par

Ainsi, le nombre R(b)
n
s'écrit comme la juxtaposition de n chiffres 1.

Histoire[modifier | modifier le code]

Bien que n'étant pas encore connus sous ce nom, les répunits en base 10 ont été étudiés par de nombreux mathématiciens au cours du XIXe siècle, dans un effort pour élaborer et prédire les tendances cycliques du développement décimal périodique[2].

Il a été trouvé très tôt que, pour tout nombre premier p supérieur à 5, la période de l'expansion décimale de 1/p est égale à la longueur du plus petit nombre répunit qui est divisible par p. Les tableaux de la période de réciprocité des nombres premiers jusqu'à 60.000 ont été publié en 1860, et ont permis la factorisation, par des mathématiciens comme Reuschle, de tous les répunits jusqu'à R16 et plus. En 1880, même R17 à R36 ont été factorisé[3] et il est curieux de constater que, bien que Édouard Lucas n'a montré qu'aucun nombre premier en dessous de trois millions avaient période de dix-neuf, il n'y a eu aucune tentative afin de tester ceci jusqu'au début du XXe siècle. Le mathématicien américain Oscar Hoppe a prouvé en 1916 que R19 est premier[4] et Lehmer et Kraïtchik ont indépendamment trouvé la primalité de R23 en 1929. Des avancées dans l'étude des répunits n'ont pas eu lieu jusque dans les années 1960, quand les ordinateurs ont permis à de nombreux nouveaux facteurs de répunits d'être trouvés. Le projet Cunningham à documenter les factorisations entiers des (entre autres) répunits de base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, et 12.

Exemples[modifier | modifier le code]

Les premiers termes de la suite des répunits sont :

1, 11, 111, 1 111, 11 111, 111 111, 1 111 111 (suite A002275 de l'OEIS).

Les répunits en base 2 (répunits binaires) sont les nombres de Mersenne Mn = 2n – 1.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Les répunits en base dix sont des nombres uniformes.
  • Le PGCD des répunits en base b suit la règle :

  • En particulier, si n est divisible par m, alors R(b)
    n
    est divisible par R(b)
    m
    .

Répunits premiers[modifier | modifier le code]

Historiquement, c'est dans le cadre des mathématiques récréatives qu'a été entreprise l'étude des répunits, en tentant notamment de les factoriser. Le projet Cunningham (en) se propose de répertorier les factorisations des répunits en base 2[5], 3, 5, 6, 7, 10[6],[7], 11 et 12.

D'après la dernière propriété ci-dessus, R(b)
n
n'est premier que si n est premier. Mais ce n'est pas une condition suffisante, comme l'illustre ce contre-exemple en base dix :

3 est premier mais R3 = 111 = 3 × 37 est composé[8].

Cependant, R(2)
3
= 7 est premier. R(b)
3
est également premier pour b égal par exemple (en base dix) à 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99 ou 111 (l'écriture en base dix de R(111)
3
est 12 433).

Les répunits premiers sont assez rares (la probabilité qu'un nombre soit premier est a priori égale à l'inverse de son logarithme, donc proportionnelle à l'inverse de son nombre de chiffres ; voir théorème des nombres premiers). On conjecture cependant qu'il en existe une infinité.

Ce qu'il faut noter, par rapport au petit théorème de Fermat, lorsque p est premier : p divise R(b)
p
– 1
donc bR(b)
p
– 1
– 1
est divisible par R(b)
p
. lorsque p est premier.

En base dix, Rn est premier pour n = 2, 19, 23, 317, 1031,... (suite A004023 de l'OEIS). Les répunits R49 081, R86 453, R109 297 et R270 343 sont des nombres premiers probables[9].

Tout répunit premier est premier permutable, c'est-à-dire qu'il reste premier après toute permutation de ses chiffres.

Si n et b sont premiers entre eux, au moins l'un des répunits R(b)
1
, … , R(b)
n
est un multiple de n.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Repunit » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Albert H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers, Dover Publications, 1966 (1re éd. 1964) (ISBN 978-0-486-21096-4), chap. 11 sur Google Livres.
  2. Dickson, Leonard Eugene and Cresse, G.H.; History of the Theory of Numbers; pp. 164-167 ISBN 0-8218-1934-8
  3. Dickson and Cresse, pp. 164-167
  4. Francis, Richard L.; "Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers" in The College Mathematics Journal, Vol. 19, No. 3. (May, 1988), pp. 240-246.
  5. (en) « Factorizations of 2^n-1, n odd, n<1200 », sur cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun.
  6. (en) Yousuke Koide, « Factorizations of Repunit Numbers »,‎ .
  7. (en) « Repunits and their prime factors », sur worldofnumbers.com.
  8. Explications complémentaires dans (en) Repunit sur The Prime Pages par Chris Caldwell .
  9. (en) « Repunit », sur primes.utm.edu/top20.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, (ISBN 978-0-387-94457-9).

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Repunit », MathWorld