Répunit

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Dans le domaine des mathématiques récréatives, un répunit est un entier naturel dont l'écriture en base dix ne comporte que des chiffres 1. Ce terme est une contraction de l'expression anglaise repeated unit (répétition de l'unité), utilisée pour la première fois en 1966[Informations douteuses] [?] par Albert H. Beiler[1].

En français ont été proposées les traductions « nombre polymonadique », ou « multi-as », mais c'est l'anglicisme qui reste le plus utilisé.

Définition[modifier | modifier le code]

Les répunits sont définis en base dix par :

Plus généralement, en base b, les répunits sont donnés par

Ainsi, le nombre R(b)
n
s'écrit comme la juxtaposition de n chiffres 1.

Exemples[modifier | modifier le code]

Les premiers termes de la suite des répunits sont :

1, 11, 111, 1 111, 11 111, 111 111, 1 111 111 (suite A002275 de l'OEIS).

Les répunits en base 2 (répunits binaires) sont les nombres de Mersenne Mn = 2n – 1.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Les répunits en base dix sont des nombres uniformes.
  • Le PGCD des répunits en base b suit la règle :

  • En particulier, si n est divisible par m, alors R(b)
    n
    est divisible par R(b)
    m
    .

Répunits premiers[modifier | modifier le code]

Historiquement, c'est dans le cadre des mathématiques récréatives qu'a été entreprise l'étude des répunits, en tentant notamment de les factoriser. Le projet Cunningham (en) se propose de répertorier les factorisations des répunits en base 2[2], 3, 5, 6, 7, 10[3],[4], 11 et 12.

D'après la dernière propriété ci-dessus, R(b)
n
n'est premier que si n est premier. Mais ce n'est pas une condition suffisante, comme l'illustre ce contre-exemple en base dix :

3 est premier mais R3 = 111 = 3 × 37 est composé[5].

Cependant, R(2)
3
= 7 est premier. R(b)
3
est également premier pour b égal par exemple (en base dix) à 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99 ou 111 (l'écriture en base dix de R(111)
3
est 12 433).

Les répunits premiers sont assez rares (la probabilité qu'un nombre soit premier est a priori égale à l'inverse de son logarithme, donc proportionnelle à l'inverse de son nombre de chiffres ; voir théorème des nombres premiers). On conjecture cependant qu'il en existe une infinité.

Ce qu'il faut noter, par rapport au petit théorème de Fermat, lorsque p est premier : p divise R(b)
p
– 1
donc bR(b)
p
– 1
– 1
est divisible par R(b)
p
. lorsque p est premier.

En base dix, Rn est premier pour n = 2, 19, 23, 317, 1031,... (suite A004023 de l'OEIS). Les répunits R49 081, R86 453, R109 297 et R270 343 sont des nombres premiers probables[6].

Tout répunit premier est premier permutable, c'est-à-dire qu'il reste premier après toute permutation de ses chiffres.

Si n et b sont premiers entre eux, au moins l'un des répunits R(b)
1
, … , R(b)
n
est un multiple de n.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Repunit » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Albert H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers, Dover Publications, 1966 (1re éd. 1964) (ISBN 978-0-486-21096-4), chap. 11 sur Google Livres.
  2. (en) « Factorizations of 2^n-1, n odd, n<1200 », sur cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun.
  3. (en) Yousuke Koide, « Factorizations of Repunit Numbers »,‎ .
  4. (en) « Repunits and their prime factors », sur worldofnumbers.com.
  5. Explications complémentaires dans (en) Repunit sur The Prime Pages par Chris Caldwell .
  6. (en) « Repunit », sur primes.utm.edu/top20.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Conjecture de Feit et Thompson

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, (ISBN 978-0-387-94457-9).

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Repunit », MathWorld