Développement décimal périodique

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\begin{array}{l} 1/9  = 0,111111111111...\\ 1/7  = 0,142857142857...\\ 1/3  = 0,333333333333...\\ 2/27  = 0,074074074074...\\ 7/12 = 0,58333333333...\end{array}
Premières décimales de quelques rationnels

En mathématiques, le développement décimal périodique d'un nombre rationnel est une écriture qui explicite la suite des décimales de ce nombre, en indiquant un bloc de chiffres qui se répète à l'infini. Ce bloc, ou période, peut être constitué d'un ou plusieurs chiffres, un même chiffre pouvant apparaître plusieurs fois dans ce même bloc. Les décimales de ce bloc de chiffres sont parfois appelées décimales récurrentes.

Exemple introductif[modifier | modifier le code]

Pour évaluer le quotient 4/3, une calculatrice affiche usuellement le chiffre 1, un séparateur décimal (point ou virgule) et plusieurs chiffres 3. Or 1,333333333333 n'est qu'une valeur approchée10^{-12} près) de ce quotient, comme le montre le calcul de l'opération réciproque :

1,333333333333 \times 3 = 3,999999999999 \neq 4 .

L'algorithme de division appliqué à cet exemple produit à chaque étape le reste 1 qui, multiplié par 10 et divisé par 3, produit le quotient entier 3 et à nouveau un reste 1.

Pour écrire exactement le quotient 4/3 en notation décimale, il faudrait donc répéter le chiffre 3 à l'infini. Pour d'autres nombres rationnels, il faut répéter d'autres chiffres, voire un bloc de plusieurs chiffres. Ces blocs peuvent aussi être précédés par un bloc d'une ou plusieurs décimales qui ne se répète pas.

Notations[modifier | modifier le code]

\begin{array}{l}0,583333333333... \\= 0,58\overline{3} \\= 0,58\underline{3} \\= 0,58[3]
\end{array}
Différentes notations de
développement décimal périodique

Il est possible de noter la répétition de chiffres à l'infini en plaçant des points de suspension après plusieurs occurrences de décimales. Cette écriture peut paraître claire lorsqu'une seule décimale est répétée une dizaine de fois, mais d'autres notations sont plus explicites en décomposant le nombre rationnel en trois parties :

  • sa partie entière,
  • une partie décimale non périodique,
  • une partie décimale périodique.


Les chiffres de la partie entière sont placés classiquement à gauche de la virgule, qui est suivie par les chiffres de la partie décimale non périodique. Ceux-ci sont suivis des chiffres de la partie décimale périodique, marqués par une barre au-dessus ou en dessous, voire par des crochets les encadrant.

Développement périodique et nombre rationnel[modifier | modifier le code]

Écriture décimale d'un rationnel[modifier | modifier le code]

Dans l'idée de convertir un nombre rationnel représenté sous forme de fraction en forme décimale, on peut poser une division. Par exemple, considérons le nombre rationnel 5/74 :

5, 0 0 0 0 0 0 74
- 4 4 4 0,06756…
5 6 0  
- 5 1 8  
4 2 0  
- 3 7 0  
5 0 0  

etc. On observe qu'à chaque étape, il y a un reste ; les restes successifs affichés ci-dessus sont 56, 42 et 50. Lorsqu'on arrive au reste 50 et qu'on abaisse le « 0 », on divise à nouveau 500 par 74. C'est le même problème par lequel on a commencé. Par conséquent, les décimales se répètent : 0,0675675675… Le résultat est prévisible. Les seuls restes possibles — dans ce cas il y en a 74 — sont : 0, 1, 2, ... et 73. Dès que l'on retombe sur un reste déjà obtenu, la séquence entière se répète.

Cet exemple met en évidence la propriété suivante:

Écriture décimale — Tout quotient de deux entiers possède une écriture décimale finie ou périodique

Si le quotient est mis sous forme irréductible, c'est-à-dire sous la forme \scriptstyle\frac aba et b sont premiers entre eux, on se trouve devant plusieurs cas de figure. Si b est le produit d'une puissance de 2 et d'une puissance de 5, le quotient possède une écriture décimale finie, et c'est donc un nombre décimal. Si cela n'est pas le cas, le quotient possède un développement décimal périodique dont la période la plus courte a une longueur inférieure à b - 1 ne dépendant que de b. Si, en outre, b est premier avec 10, cette période commence immédiatement après la virgule.

Exemples

  •  \frac{45}{160}=0,28125
  •  \frac{43}{26} = 1,6\underline{538461}
  •  \frac{43}{130}=0,3\underline{307692}
  • \frac{4}{13}=0,\underline{307692}
  • \frac47=0,\underline{571428}

Écriture fractionnaire d'un développement périodique[modifier | modifier le code]

Pour le développement périodique d'un nombre plus petit que 1, lorsque la période commence immédiatement après la virgule, la technique consiste à multiplier le nombre par la bonne puissance de 10 permettant de décaler complètement la période avant la virgule. Une soustraction permet alors de faire disparaître la partie décimale.

Exemple :

x=0,2121\cdots=0,\underline{21}
 100x=21,2121\cdots =21,\underline{21}
100x-x = 21 \Leftrightarrow x=\frac{21}{99}=\frac{7}{33}

Si la période ne commence pas juste après la virgule, il faut commencer par multiplier le nombre par la bonne puissance de 10 pour faire démarrer le développement décimal périodique juste après la virgule, puis on utilise la méthode précédente sur la partie décimale.

Exemple :

x=3,52121\cdots=3,5\underline{21}
 10x=35,2121\cdots =35+0,\underline{21}
10x= 35+\frac{7}{33}= \frac{1162}{33}
x= \frac{1162}{330}= \dfrac{581}{165}

Cet algorithme se généralise et conduit au résultat suivant :

Caractérisation des rationnels — Tout développement périodique est associé à un rationnel. En particulier, le rationnel associé au développement 0,\underline{a_1a_2\cdots a_{\ell}} peut s'écrire
0,\underline{a_1a_2\cdots a_{\ell}}=\frac{a_1a_2\cdots a_{\ell}}{\underbrace{99\cdots 9}_{\ell\text{ chiffres}}}

Le cas des nombres décimaux[modifier | modifier le code]

Un nombre décimal est un nombre qui admet un développement décimal limité, c'est-à-dire ne comportant qu'un nombre fini de décimales autres que zéro.

La méthode de calcul des fractions à partir des décimales répétées, par exemple, dans le cas de 0,9999…=0,9 conduit à un paradoxe apparent :

x = 0,9999\underline{9}
10x = 9,999\underline{9}
9x = 10x - x = 9,999\underline{9} - 0,9999\underline{9}
9x = 9\,
x = 1\,

L'égalité 1 = 0,999… est parfois contestée de façon naïve. Un bon argument est que si deux nombres réels sont distincts, alors il existe une infinité d'autres nombres réels entre les deux (strictement). Or, il n'existe aucun autre réel entre 0,99999 (une infinité de 9) et 1. C'est donc un seul et même réel, écrit de deux manières différentes.

Certains[Qui ?] argumentent que, dans la seconde étape ci-dessus, 10x vaut 9,9999…0 et non 9,9999. Mais ce n'est pas le cas ; le second membre ne se termine pas (il est récurrent) et donc il n'y a pas de fin pour laquelle un zéro peut être trouvé.

L'écriture de 1 sous forme 0,9999… pose le problème de l'unicité de l'écriture décimale d'un nombre. L'écriture sous forme 0,999…. est alors considérée comme un développement décimal impropre. Mais cela ne signifie pas que l'on ne soit jamais amené à l'écrire. En effet, le travail sur l'écriture décimale de 1/3, par exemple, conduit aux égalités :

x = \frac 13 =0,333\cdots = 0,\underline3
3x=3\times 0,3333... = 0,999....=0,\underline{9} = 1

Ou encore, lorsqu'il s'agit de déterminer le développement décimal de 1 - x, connaissant celui de x, la forme 0,999… est plus adaptée:

x = 0,52121…= 0,521
1- x = 0,99999…- 0,52121…= 0,47878…=0,478

Pour d'autres preuves de cette égalité, voir l'article Développement décimal de l'unité. Le raisonnement mené sur cet exemple peut l'être sur tout autre nombre décimal et donc en particulier tout nombre entier. La conclusion étant :

Développement décimal périodique d'un nombre décimal — Tout nombre décimal différent de 0 admet deux développements décimaux périodiques : l'un dont la période est 9, l'autre dont elle est 0.

  • Exemples : 2,5=2,49999 et -0,6001=-0,60009999. Dans les deux exemples qui précèdent, le premier développement décimal est dit développement décimal propre et le deuxième développement décimal est dit développement décimal impropre.
  • Remarque : un nombre réel qui possède deux développements décimaux distincts est nécessairement un nombre décimal différent de 0.

Période de 1/n[modifier | modifier le code]

La connaissance d'une période pour le développement décimal de 1/n permet d'en découvrir par multiplication pour tout quotient m/n. Le développement de 1/n possède plusieurs périodes (il suffit pour en créer une nouvelle de mettre bout à bout deux périodes identiques), l'intérêt est de travailler sur la plus courte que l'on appellera la période et d'en déterminer certaines propriétés.

Longueur de la période[modifier | modifier le code]

Les exemples précédents ont mis en évidence le rôle de la répartition des restes dans la division a par b, c'est-à-dire dans le cas présent, les restes dans la division de 1 par n. Ces restes correspondent aux restes de 10k dans la division euclidienne par n. Cette question se traite bien si l'on fait intervenir l'arithmétique modulaire et les notions de congruence sur les entiers et plus précisément l'ordre de 10 dans \Z_n^*muni de la multiplication. L'ordre de 10 est le plus petit entier ℓ tel que 10 -1 soit multiple de n. L'arithmétique modulaire démontre que, si 10 et n sont premiers entre eux, cet ordre est toujours un diviseur de φ(n) où φ est l'indicatrice d'Euler. φ(n) représente le nombre d'entiers premiers avec n compris entre 1 et n - 1.

On peut démontrer les résultats suivants :

Longueur de la période de 1/n —  Si 10 et n sont premiers entre eux, la longueur de la période est l'ordre de 10 dans \Z_n^*, c'est-à-dire le plus petit entier ℓ tel que 10 - 1 soit multiple de n. Cet entier divise φ(n) où φ est l'indicatrice d'Euler. Si n est le produit de n1 constitué de produit de puissances de 2 et de 5 de n2 premier avec 10, la période correspond à l'ordre de 10 dans \Z_{n_2}^*

Lorsque n est un nombre premier différent de 2 et 5, la période de 1/n peut être de n - 1. C'est la période maximale pour une division par n. Ce cas se produit par exemple pour 1/7 et 1/17

\frac17=0,\underline{142857}
\frac1{17}=0,\underline{0588235294117647}

mais elle peut aussi être plus courte comme dans le cas de 1/11 ou 1/13

\frac 1{11}=0,\underline{09}
\frac1{13}=0,\underline{076923}

Mais elle reste toujours un diviseur de n - 1.

Les périodes de longueur maximale sont donc celle des fractions 1/n où n est un nombre premier pour lequel l'ordre de 10 est n - 1. On dit alors que 10 est une racine primitive modulo n. Emil Artin s'est intéressé à ce type de nombre premier. Il a émis l'hypothèse qu'il existe une infinité de nombres premiers de cette sorte et que leur densité parmi les nombres premiers est une constante valant environ 0,374.

Lorsque n n'est pas premier, φ(n) < n - 1. La longueur de la période doit diviser φ(n) et elle n'est jamais maximale. Ainsi la période de 1/21 doit diviser φ(21) = 2 × 6 = 12. En effet la période de 1/21 est de longueur 6

\frac1{21}=0,\underline{047619}

Cycle et permutation[modifier | modifier le code]

Si n et 10 sont premiers entre eux, la division posée pour 1/n permet de trouver aussi les développements décimaux de rk/n pour tous les restes intervenant dans la division. En effet, rk a pour quotient ak + 1 et pour reste rk+1 dans la division par n. On retrouve alors pour le développement périodique de rk/n, celui de 1/n ayant seulement subi une permutation circulaire et commençant à ak+1. Ainsi on a

\frac1n=0,\underline{a_1\cdots a_{\ell}},
\frac{r_k}{n}=0,\underline{a_{k+1} \cdots a_{\ell}a_1\cdots a_k},

et l'écriture fractionnaire donne

\frac 1n=\frac{a_1 \cdots a_{\ell}}{9\cdots 9},
\frac{r_k}{n}=\frac{a_{k+1}\cdots a_la_1\cdots a_k}{9...9}=\frac{r_k\times a_1 \cdots a_{\ell}}{9\cdots 9}.

En observant les numérateurs, on peut voir que multiplier la période de 1/n par rk équivaut à effectuer une permutation circulaire sur les chiffres de ce nombre

Lorsque la période de 1/n est de longueur maximale, les restes parcourent tous les entiers de 1 à n - 1. Dans ce cas, on peut multiplier la période de 1/n par tout entier m < n, on conservera toujours les mêmes chiffres à une permutation près. La nouvelle période obtenue sera celle de m/n.

Cette propriété rend remarquables les périodes des nombres 1/n pour lesquels 10 est d'ordre n - 1. C'est le cas par exemple de 142857 période de 1/7 ou 052631578947368421 période de 1/19 qui sont des nombres cycliques. On a ainsi :

  • 1 × 142857 = 142857
  • 2 × 142857 = 285714
  • 3 × 142857 = 428571
  • 4 × 142857 = 571428
  • 5 × 142857 = 714285
  • 6 × 142857 = 857142
  • 7 × 142857 = 999999 (période de l'écriture décimale impropre de 1.

Lorsque la période de 1/n n'est pas de longueur maximale, seuls ℓ entiers sont concernés, chacun associé à une permutation circulaire de la période de 1/n. Si l'entier m, premier avec n ne fait pas partie de ce premier groupe, la période de m/n est alors m *a1...a = b1...b différente de la précédente. À chaque permutation de cette nouvelle période est associée un autre quotient de la forme m'/n .On répartit ainsi tous les entiers premiers avec n dans des ensembles disjoints contenant ℓ éléments et associés à φ(n)/ℓ périodes différentes.

Pour n=27 par exemple, on a[1] φ(27)=2 × 9 = 18 et 1/27 a pour période 037. Cette période engendre 5 autres périodes qui sont les seules périodes possibles à une permutation circulaire près de tout quotient m/27 où m et 27 sont premiers entre eux.

  • 037 pour m=1, 370 pour m=10, 703 pour m=19
  • 074 pour m=2, 407 pour m=11, 740 pour m=20
  • 148 pour m=4, 481 pour m=13, 814 pour m=22
  • 185 pour m=5, 518 pour m=14, 851 pour m=23
  • 259 pour m=7, 592 pour m=16, 925 pour m=25
  • 296 pour m=8, 629 pour m=17, 962 pour m=26

Périodes de m/n —  Si l'ordre de 10 est ℓ, il existe φ(n)/ ℓ périodes possibles - à une permutation circulaire près - pour un quotient de la forme m/n où m et n sont premiers entre eux. Ces périodes sont obtenues en multipliant la période de 1/n par m

Construction[modifier | modifier le code]

Si n est premier avec 10, on peut construire la période de 1/n en posant la division mais on peut aussi la reconstituer uniquement par multiplication à partir de son dernier terme.

L'égalité

10r_{\ell-1}=a_{\ell}n + r_{\ell}=a_{\ell}n+1

permet de dire que

a_{\ell}n \equiv 9\pmod {10}

ou, plus simplement, que ce produit doit se terminer par 9.

Comme n est premier avec 10, un tel nombre a existe, il n'en existe d'autre part qu'un seul compris entre 1 et 9. On peut le trouver en résolvant l'équation diophantienne nx - 10y = 9. Le nombre a étant trouvé, on en déduit la valeur de rℓ-1.

D'autre part, si on note

a_1\cdots a_{\ell}

la période recherchée, on sait, par permutation circulaire que

r_{\ell-1} \times a_1\cdots a_{\ell} = a_{\ell}a_1\cdots a_{\ell-1}

Ce produit permet de déterminer aℓ -1 qui, réinjecté dans la même égalité permet de trouver aℓ -2 et de proche en proche permet de découvrir tous les chiffres de la période.

Par exemple, pour déterminer la période de 1/7, on cherche d'abord le chiffre qui multiplié par 7 donne un nombre se terminant par 9. Puisque 7 × 7 = 49, on peut poser

a_{\ell}= 7

puis, comme

10r_{\ell-1} = 7 \times 7 + 1

on sait que

r_{\ell-1} = 5

Les chiffres successifs de la période se trouvent en remplissant progressivement la multiplication à trous

5\times a_1\cdots a_{\ell} = a_{\ell}a_1\cdots a_{\ell-1}
. . . . . 7
× 5
.3 5
. . . . 5 7
× 5
. 2 8 5
. . . 8 5 7
× 5
. 4 2 8 5
. . 2 8 5 7
× 5
. 1 4 2 8 5
. 4 2 8 5 7
× 5
. 2 1 4 2 8 5
1 4 2 8 5 7
× 5
7 1 4 2 8 5

C'est ce principe qui est utilisé dans la construction de la période de 1/19 dont le dernier terme est 1 et dont l'avant dernier reste est 2.

Structure[modifier | modifier le code]

On se place ici dans le cas où n est premier, supérieur ou égal à 7 et on suppose que la période la plus courte de 1/n est de longueur ℓ =sts>1. La période est alors constituée de s blocs de t chiffres. Si on note A1, ... As ces blocs, ils peuvent être vus comme l'écriture décimale de s nombres. La somme de ces s nombres est alors toujours un multiple de 10t - 1 = 99…9. De plus, on peut démontrer[2] que, si le nombre de blocs n'est que de 2 ou 3, la somme est exactement égale à 10t - 1.

Par exemple, la période de 1/7 est de 142857, partageable en 6, 3, ou 2 blocs

  • en deux blocs :142+857 = 999
  • en 3 blocs : 14+28+57 = 99
  • en 6 blocs : 1+ 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 (divisible par 9)

Cette propriété porte le nom de théorème de Midy.

O. Mathieu a démontré[2] que si n est premier supérieur ou égal à 13, la décimale de rang \scriptstyle \frac{n+1}2 est selon le reste de n modulo 40, tantôt 0 tantôt 9.

Fragments d'histoire[modifier | modifier le code]

L'écriture décimale des entiers apparaît très tôt dans l'histoire des mathématiques notamment en Orient. L'idée de prolonger les opérations au-delà de l'unité est présente en Chine dès le IIIe siècle mais la partie décimale y est présentée sous forme d'une fraction décimale[3]. La présentation d'un nombre décimal avec une partie entière, une virgule et une partie décimale apparaît dans les écrits du mathématicien Ibrahim Uqlidisi au Xe siècle quand il présente le système de numération hindou[4] mais le calcul des nombres sous forme de fractions reste prédominant[5]. Le système décimal arrive en Europe tardivement (vers le Xe siècle) et c'est Simon Stevin qui prône l'écriture décimale des nombres fractionnaires qu'il appelle les rompus. Dans son traité La disme, écrit en 1585, il précise les méthodes de calcul sur les écritures décimales et envisage que celles-ci puissent être illimitées et s'appliquer même à des nombres irrationnels (nombres incommensurables)[6],[7].

Au cours du XVIIIe siècle, les mathématiciens se préoccupent de la période décimale des fractions. Un des premiers à utiliser une notation spécifique pour la période d'un nombre fractionnaire est John Marsh[8] qui signale le début et la fin de la période par un point placé au-dessus du chiffre. H. Clarke[9] préfère l'apostrophe tandis que d'autre utilisent des accents avant et après la période[10]. Tout est fait pour faciliter le calcul des fractions sous forme décimale et, tout comme il existe des tables de logarithmes ou des tables de sinus, existent aussi des tables de périodes. Jean le Rond D'Alembert en publie dans son Encyclopédie méthodique[11]. La révolution française privilégie le système décimal dans les unités de mesure et encourage le calcul sous forme décimale. On trouve ainsi dans Introduction abrégée sur les nouvelles mesures qui doivent être introduites dans toute la République au 1er vendémiaire an 10, avec des tables de rapports et de réductions, par C.H. Haros, une table donnant les périodes des fractions de dénominateurs inférieurs à 50[12].

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) par Christian Albrecht Jensen

Une grande avancée et une formalisation de ces notions sont faites par Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801. Gauss se préoccupe de déterminer facilement le développement périodique de tout rationnel. Cet objectif le conduit à travailler sur les restes dans la division par n qu'il appelle les résidus. Il définit l'ordre d'un nombre modulo n comme le plus petit entier non nul k tel que ak ait pour reste 1 modulo n. Il s'intéresse aux racines primitives : celles dont les puissances modulo n permettent de donner tous les entiers inférieurs à n et premier avec n. Une racine primitive a étant choisie, Il définit l'indice d'un nombre b comme l'entier i tel que ai a pour reste b modulo n. Cet indice i s'appelle de nos jours le logarithme discret. Il remarque que, si n est premier ou puissance d'un nombre premier, il existe des racines primitives. Dans le chapitre 6 de son traité, il applique ces connaissances aux fractions. Il remarque que toute fraction peut se décomposer en éléments simples, c'est-à-dire en somme de fractions dont le dénominateur est une puissance de nombre premier. Pour chacun de ces dénominateurs n, il détermine une racine primitive a de Zn*. Il détermine ensuite l'indice i de 10 dans la base a. Il sait alors que la longueur de la période de 1/n est de φ(n)/i et il en détermine la valeur. Il prouve ensuite que la fraction m/n a aussi une période de même longueur et que cette période est à choisir entre i périodes différentes, à une permutation près. Il démontre ensuite que l'indice de m lui permet de déterminer quelle période il doit choisir ainsi que la permutation à effectuer. Il fournit alors pour chaque entier n, premier ou puissance de nombre premier, des tables donnant les périodes et les indices des tous les nombres premiers inférieurs à n[13].

On peut illustrer sa démarche sur un exemple : il s'agit de chercher le développement décimal de

X= \frac{251}{351}.

La première étape consiste à décomposer 351 en produit de facteurs premiers :

351 = 3^3\times 13.

Il faut ensuite décomposer cette fraction en éléments simples. Il faut trouver deux entiers x et y tels que

X= \frac x{27}+\frac y{13}.

La résolution de l'équation diophantienne 13x+27y=251 donne pour décomposition :

X= \frac {11}{27}+\frac 4{13}.

On prend d'abord n=27. La table numérique fournit comme racine primitive 2, l'indice de 10 est de 6, et l'indice de 11 est 13 = 2× 6 + 1[13]. Il existe 6 périodes possibles et celle associée à l'indice 1 est, d'après les tables[13], 074 donc la période associé 11 est 074 permutée de deux cases 407.

\frac{11}{27}=0,\underline{407}.

On prend ensuite n=13. la table[13] donne deux périodes, la racine primitive est 6, et 4 est d'indice 10 = 5×2. La période de 4 est la période d'indice 0 (076923) décalée de 5 cases.

\frac{4}{13}=0,\underline{307692}.

La somme de ces deux nombres a une période de longueur multiple commun des deux longueurs, ici, de longueur 6.

 X= 0,\underline{407407}+ 0,\underline{307692}=0,\underline{715099}.

À partir du XIXe siècle et jusqu'au développement des calculatrices, nombreux sont les ouvrages permettant de calculer à la main les périodes des nombres fractionnaires.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Recurring decimal » (voir la liste des auteurs)

  1. voir Indicatrice d'Euler
  2. a et b Développement décimal de 1/p, (d'après O.Mathieu), Diaporama du CRDP de Lyon-Sud.
  3. Karine Chemla et Guo Shuchun, Les neuf chapitres : Le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires [détail de l’édition], p 1004-1005
  4. (en) John N. Crossley (en), The emergence of number, World Scientific, 1987. , p 140
  5. Paul Benoît, Karine Chemla et Jim Ritter, Histoire des fractions, fractions d'histoire, Birkhäuser,‎ 1992, p 339
  6. (en) John N. Crossley (en), The emergence of number, World Scientific, 1987.
  7. Voir quelques extraits du texte de Stevin.
  8. John Marsh, Decimal Arithmetic Made Perfect (London, 1742), p. 5
  9. H. Clarke, The Rationale of Circulating Numbers (London, 1777), p. 15, 16.
  10. (en) Florian Cajori, A History of Mathematical Notations [détail des éditions], paragraphe 289
  11. Jean Le Rond d'Alembert, Jerôme de La Lande, Charles Bossut, Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet , Encyclopédie méthodique: Mathématiques, Panckoucke, 1785, [1], article fraction, p. 110
  12. Les calculs du citoyen Haros Par R Mansuy, janvier 2008
  13. a, b, c et d Eliane Cousquer, Gauss, médiamaths.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]