Suite de Lucas

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En mathématiques, les suites de Lucas U(P, Q) et V(P, Q) associées à deux entiers P et Q sont deux suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à valeurs entières qui généralisent respectivement la suite de Fibonacci et celle des nombres de Lucas, correspondant aux valeurs P = 1 et Q = –1. Les suites de Lucas furent étudiées en premier par le mathématicien français Édouard Lucas[1].

Relations de récurrence[modifier | modifier le code]

Soient P et Q deux entiers non nuls tels que

(pour éviter les cas dégénérés)[2].

Les suites de Lucas U(P, Q) et V(P, Q) sont définies par les relations de récurrence linéaire

et

Terme général[modifier | modifier le code]

Notons Δ l'une des deux racines carrées de Δ (éventuellement dans ).

Puisque Δ ≠ 0, le polynôme caractéristique X2PX + Q possède deux racines distinctes

Alors U(P, Q) et V(P, Q) peuvent aussi être définies en fonction de a et b par l'analogue suivant de la formule de Binet :

dont on peut extraire les relations

Autres relations[modifier | modifier le code]

Les nombres dans les suites de Lucas satisfont à de nombreuses relations[3], qui généralisent celles entre les nombres de Fibonacci et les nombres de Lucas. Par exemple :

[4],[5] et

en particulier

et

Divisibilité[modifier | modifier le code]

De la première identité (Um+n = UnUm+1QUn–1Um)[4], on déduit immédiatement (par récurrence sur k) que Unk est toujours un multiple de Un : on dit que la suite U(P, Q) est à divisibilité (en) faible.

Pour qu'elle soit même à divisiblité forte, c'est-à-dire qu'elle vérifie : pgcd(Ui, Uj) = |Upgcd(i, j)|, il faut et il suffit que P et Q soient premiers entre eux[6],[7].

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Les suites de Lucas ont des noms spécifiques pour certaines valeurs de P et Q :

est la suite des nombres de Mersenne. Plus généralement, est la suite des répunits en base b.
est la suite de Fibonacci (les nombres de la suite Vn associée sont appelés les nombres de Lucas).
est la suite des nombres de Pell (les nombres de la suite Vn associée sont appelés nombres de Pell-Lucas).

Plus généralement, et sont les valeurs en P du n-ième polynôme de Fibonacci et du n-ième polynôme de Lucas.

est la suite des nombres de Jacobsthal (en) (les nombres de la suite Vn associée sont appelés nombres de Jacobsthal-Lucas).
(k ≥ 1) est la suite qui intervient dans le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne : S1 = V2 = 4 et Sk+1 = Sk2 – 2.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lucas sequence » (voir la liste des auteurs).

  1. Édouard Lucas, « Théorie des fonctions numériques simplement périodiques », Amer. J. Math., vol. 1, no 2,‎ , p. 184-196, 197-240, 289-321 (lire en ligne).
  2. C'est le choix adopté par Ribenboim 2006, p. 2. (en) D. H. Lehmer, « An extended theory of Lucas' functions », Ann. Math., 2e série,‎ , p. 419-448 (JSTOR 1968235), l'étend au cas où P est la racine carrée d'un entier premier avec Q. Lucas prenait P et Q entiers premiers entre eux.
  3. « A look at the issues of The Fibonacci Quarterly will leave the impression that there is no bound to the imagination of mathematicians whose endeavor it is to produce newer forms of these identities and properties. […] I shall select a small number of formulas that I consider most useful. Their proofs are almost always simple exercises, either by applying Binet's formulas or by induction. » Ribenboim 2006, p. 2.
  4. a et b Cette équation est un cas particulier des identités remarquables vérifiées par les suites récurrentes linéaires d'ordre 2. Elle est encore satisfaite dans les cas dégénérés.
  5. (en) Peter Bala, « Divisibility sequences from strong divisibility sequences », sur OEIS,‎ , p. 9, Proposition A.3.
  6. Ribenboim 2006, p. 9.
  7. Lucas 1878, p. 206.
  8. Bala 2014, Appendix (p. 8-10). La seule propriété de l'anneau des entiers utilisée est que c'est un anneau intègre à PGCD. La démonstration reste valide dans les cas dégénérés.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory, Springer, (lire en ligne), chap. 1

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Lucas Sequence », MathWorld