Suite de Lucas

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En mathématiques, les deux suites de Lucas U(P, Q) et V(P, Q) associées à deux entiers P et Q généralisent la suite de Fibonacci et celle des nombres de Lucas. Les suites de Lucas furent étudiées en premier par le mathématicien français Édouard Lucas.

Relations de récurrence[modifier | modifier le code]

Soient deux entiers[1] P et Q qui satisfont

\Delta=P^2 - 4Q > 0.

Les suites de Lucas U(P,Q)\, et V(P,Q)\, sont définies par les relations de récurrence linéaire

U_0(P,Q) = 0\,
U_1(P,Q) = 1\,
U_n(P,Q)=PU_{n-1}(P,Q)-QU_{n-2}(P,Q) \mbox{  pour }n>1\,

et

V_0(P,Q)=2\,
V_1(P,Q)=P\,
V_n(P,Q)=PV_{n-1}(P,Q)-QV_{n-2}(P,Q) \mbox{  pour }n>1.

Terme général[modifier | modifier le code]

Puisque \Delta>0, le polynôme caractéristique X^2 - PX+ Q possède deux racines réelles distinctes

a=\frac{P+\sqrt{\Delta}}2\quad{\rm et}\quad b=\frac{P-\sqrt{\Delta}}2.

Alors U(P,Q)\, et V(P,Q)\, peuvent aussi être définies en fonction de a et b par l'analogue suivant de la formule de Binet :

U_n(P,Q)= \frac{a^n-b^n}{a-b} = \frac{a^n-b^n}{\sqrt\Delta}\quad{\rm et}\quad V_n(P,Q)=a^n+b^n,

dont on peut extraire les relations

a^n = \frac{V_n + U_n \sqrt\Delta}2\quad{\rm et}\quad b^n = \frac{V_n - U_n \sqrt\Delta}2.

Autres relations[modifier | modifier le code]

Les nombres dans les suites de Lucas satisfont aux relations qui sont analogues à celles entre les nombres de Fibonacci et les nombres de Lucas. Par exemple :

U_{m+n}=U_nU_{m+1}-QU_mU_{n-1}={U_nV_m+U_mV_n\over2} et
V_{m+n}=V_mV_n-Q^mV_{n-m}={\Delta U_mU_n+V_mV_n\over2},

en particulier

U_{n+1}={PU_n+V_n\over2}=V_n+QU_{n-1},\qquad V_{n+1}={\Delta U_n+PV_n\over2}=\Delta U_n+QV_{n-1}

et

U_{2n} = U_n V_n,\qquad V_{2n} = V_n^2 - 2Q^n.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Les suites de Lucas ont des noms spécifiques pour certaines valeurs de P et Q :

U_n(3,2) est la suite des nombres de Mersenne. Plus généralement, U_n(b+1,b) est la suite des répunits en base b.
U_n(1,-1) est la suite de Fibonacci (les nombres de la suite Vn associée sont appelés les nombres de Lucas).
U_n(2,-1) est la suite des nombres de Pell (les nombres de la suite Vn associée sont appelés nombres de Pell-Lucas).

Plus généralement, U_n(P,-1) et V_n(P,-1) sont les valeurs en P du n-ième polynôme de Fibonacci et du n-ième polynôme de Lucas.

U_n(1,-2) est la suite des nombres de Jacobsthal (en) (les nombres de la suite Vn associée sont appelés nombres de Jacobsthal-Lucas).
S_k:=V_{2^k}(\sqrt2,-1) (k ≥ 1) est la suite qui intervient dans le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne : S1 = V2 = 4 et Sk+1 = Sk2 – 2.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lucas sequence » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) D. H. Lehmer, « An extended theory of Lucas' functions », Ann. Math., 2e série,‎ , p. 419-448 (JSTOR 1968235), étend la définition au cas où P est la racine carrée d'un entier premier avec Q.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Lucas Sequence », MathWorld