Nombres premiers cousins

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En mathématiques, les nombres premiers cousins sont les paires de nombres premiers qui diffèrent de 4 ; comparer ceci avec les nombres premiers jumeaux, les paires de nombres premiers qui diffèrent de 2, et les nombres premiers sexy, les paires de nombres premiers qui diffèrent de 6. Les nombres premiers cousins (suites A023200 et A046132 dans OEIS, ou suite A140382) inférieurs à 1 000 sont :

(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233), (277, 281), (307, 311), (313, 317), (349, 353), (379, 383), (397, 401), (439, 443), (457, 461),(463,467), (487, 491), (499, 503), (613, 617), (643, 647), (673, 677), (739, 743), (757, 761), (769, 773), (823, 827), (853, 857), (859, 863), (877, 881), (883, 887), (907, 911), (937, 941), (967, 971)

Propriétés[modifier | modifier le code]

Le nombre premier appartenant à deux pairs de nombres premiers cousins est 7. Un des nombres nn+4, n+8 sera toujours divisible par 3, par conséquent, n = 3 est le seul cas où tous sont premiers.

En mai 2009, le plus grand nombre premier cousin découvert (pp + 4) était

p = (311778476 · 587502 · 9001# · (587502 · 9001# + 1) + 210)·(587502 · 9001# − 1)/35 + 1

où 9001# est un primorielle. Il a été trouvé par Ken Davis et possède 11594 décimales.[1]

Le plus grand couple de premiers cousins probables sont

474435381 · 298394 − 1
474435381 · 298394 − 5.

Il à 29629 décimales et a été découvert par Angel, Jobling et Augustin.[2] Alors que le premier de ces nombres a été prouvé premier, il n'y a pas de test de primalité connu pour déterminer facilement si le deuxième nombre est premier aussi.

Il découle de la première Conjecture de Hardy-Littlewood que les nombres premiers cousins ont la même densité asymptotique que les nombres premiers jumeaux. On peut définir, pour les nombres premiers cousins, un analogue de la constante de Brun associée aux nombres premiers jumeaux, en omettant le terme initial (3, 7) :

En utilisant les nombres premiers cousins jusqu'à 242, la valeur de B4 fut estimée par Marek Wolf en 1996 à

B4 ≈ 1,1970449.

Cette constante ne doit pas être confondue avec la constante de Brun pour les quadruplets de nombres premiers, qui est aussi notée B4.

Références[modifier | modifier le code]

Lectures complémentaires[modifier | modifier le code]

  • David Wells, Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, (ISBN 1118045718), p. 33
  • Benjamin Fine et Gerhard Rosenberger, Number theory: an introduction via the distribution of primes, Birkhäuser, , 206 p. (ISBN 0817644725)
  • Marek Wolf, Random walk on the prime numbers, vol. 250, , 335–344 p. (DOI 10.1016/s0378-4371(97)00661-4)

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Cousin Primes », MathWorld


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cousin prime » (voir la liste des auteurs).